LN-M2=4BD-C

s et x étant aussi premiers entre eux.

Car soit a le quotient de la division de B*2-+- Ctu -+- Du2 par A, en sorte

qu'on ait

A«=:Bi!2-i- Ctu + Bu2,

et soit b la plus grande commune mesure entre a et u (si a et u sont premiers entre eux, on aura b = i), de manière qu'en faisant

a = bc, u = bs,

c et s soient premiers entre eux; on aura donc

Abc = Bt2-h Cbts + Db2s2;

par conséquent Bz2 sera divisible par b; mais t et u étant premiers entre eux (hypothèse), t sera aussi premier à b, qui est un diviseur de u; donc il faudra que B soit divisible par b; de sorte qu'on aura B = Eb, et l'équation étant divisée par b, elle deviendra

Ac = ~Et2-\-Cts + Dbs!.

Maintenant, puisque c et s sont premiers entre eux, on peut supposer (par l'Observation précédente)

t = 9s -t- ex, III. 88

ce qui, étant substitué, donnera

Ac— (E62 + C6 -h ï)b) s2 -h ( iES c -h Ce) sx -r- Ec2x2,

de sorte qu'il faudra que le nombre (ES2 -4-C0 + Db)s2 soit divisible parc; et comme c et s sont premiers entre eux, il faudra que Eô2 + C6 -+- Db soit divisible par c; donc divisant toute l'équation par c, et faisant

L= — , M = aEÔ4-C, N = Ec,

on aura

A — Ls2 -+- Msx + Nj!.

Or 4LN — M2 sera égal à

4E(E02 + CÔ-f-D6) -(2EÔ + C)2=4EDé-C2=4BD-C2,

à cause de B = Eb. Donc, etc.

Maintenant, comme t et u sont premiers entre eux (hypothèse), t et 5 le seront aussi, à cause de u = bs; mais si x et s n'étaient pas premiers entre eux, il est clair que t devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de t = 6s + cx; ce qui ne pouvant être, il s'ensuit que x et s seront nécessairement premiers entre eux si t et u le sont.

Théorème II.