PR— Q2 = 4BD-C

puisse subsister en nombres entiers, il faut que Q soit pair ou impair, suivant que C sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre des valeurs de Q.

Connaissant Q, on trouvera facilement P et R par la même équation;

car, à cause de

PR = 4BD-p+(y)

il est clair qu'il n'y aura qu'à prendre pour P et R les facteurs du nombre

entier

Q2 + 4fiD-C2

en ayant soin de rejeter ceux dont l'un ou tous les deux seraient plus grands que Q.

Problème I.

12. Trouver toutes les formes possibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré

Bt2+Ctu -hD«2,

t et u étant des nombres premiers entre eux.

Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme

Vf2+ Qrz + Rz-,

jets étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients P, Q, R, lorsque celles de B, G et D sont données.

Pour cet effet je distingue deux cas, l'un lorsque le nombre 4BD — C2 est positif, et l'autre lorsque ce nombre est négatif.

i° Soit 4BD — C2 = K (K désignant un nombre positif); on- déterminera d'abord Q par ces conditions : que Q soit pair ou impair suivant

que K le sera, et qu'il ne surpasse pas le nombre ± y—; ensuite on

déterminera P et R par ces conditions-ci : que P et R soient deux fac-

K -4- O2 teurs du nombre — j^—> et que chacun de ces facteurs ne soit pas

moindre que Q (9 et 11).

20 Soit 4BD — C2 = — K; on déterminera Q par ces conditions: que Q soil pair ou impair suivant que K le sera, et qu'il ne surpasse pas

le nombre ±l/-?-; après quoi l'on déterminera les valeurs correspondantes de P et R par ces conditions, que P et R soient deux facteurs du nombre -=-^ — ■> et que chacun d'eux ne soit pas moindre queQ(lOetll).

13. Remarque 1. — Si l'on avait 4BD — C2 = o, alors K étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que Q = o, et ensuite on aurait aussi PR = o, de sorte que l'un des nombres P ou R serait nul et l'autre serait tout ce qu'on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule

B V- h- C tu +- D m2

se réduit à celle-ci

de sorte que, comme 2RJ -t- Cu peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.

14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule

B t- -+- G tu -+- D iO

est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que at -t- bu et et -+- du, dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2); c'est ce qui arrive quand 4BD — C2 est égal à un nombre carré pris négativement; car supposant