Q = Q'-RP

H = P, + aQ> — Ra»= g~,Q>-

Et, en faisant attention que

(à cause de RP'= a — Q'2), on prouvera comme ci-dessus que, dans le cas de r positif, on aura

, ^ y/« — Q" , ^ s/â — Q" f* < v, ' lJ- >

\Ja ■+■ Q'

et dans le cas de r nésatif

, yft + Q"

\Ja -+-

\Ja —

De sorte que le nombre p.' sera aussi déterminé, et qu'il n'y aura d'indéterminé que le nombre p..

Or, si l'on veut de plus que 2Q ne soit ni plus grand que P ni plus

grand que R, comme les conditions du Problème l'exigent, il faudra

d'abord déterminer \x en sorte que Q = Q'— p.R ne soit pas plus grand

que — ■> abstraction faite des signes de Q et R; et il est clair que prenant

pour [j. un nombre entier positif, il n'y aura qu'une seule valeur de p. qui puisse satisfaire à cette condition; de sorte que le nombre \x sera par ce moyen entièrement déterminé. Ainsi il ne restera plus qu'à voir si Q est

aussi < — \ auquel cas la transformée 2 •

P*2 + iQsx — R.r'

aura les conditions requises.

On voit par là comment on peut résoudre la question proposée sans aucun tâtonnement, et voici la méthode qu'il faut suivre pour cet objet.

MÉTHODE POUR TRANSFORMER LA FORMULE p y ■+- 2 q JZ — r Z, DANS LAQUELLE ON A pr -+- q2 = a {a ÉTANT UN NOMBRE ENTIER POSITIF DONNÉ) ET OU 2q n'eST NI > p NI > r (ABSTRACTION FAITE DES SIGNES DE p, q, r), EN D'AUTRES FORMULES SEMBLABLES ET ASSUJETTIES AUX MÊMES CONDITIONS.

24. Nous changerons d'abord, pour mieux conserver l'analogie dans

nos formules, les lettres s et p en y' et r' ; de sorte que notre formule

deviendra

r'r'1 -4- 2 qyy' — r r'2,

où

i' . r" rr'+q-=a et g non >- - ni > — ■

Maintenant, comme r et r' doivent être de mêmes signes en vertu de l'équation /-'r-f-y2 — a, nous les supposerons d'abord tous les deux positifs; mais q pourra être positif ou négatif, et devra même être pris successivement en plus et en moins.

Cela posé :

i° On fera

ce qui donnera cette première transformée

r'y"*-)-2.q'y-"yl— r"y",

où l'on aura

On prendra, s'il est possible, pour m! un nombre entier positif, tel que

q-\-r'm! ne soit pas >— ; ensuite on verra si r" est > q' ou non, et

dans ce dernier cas la transformée trouvée aura les conditions requises. 2° On déterminera m' en sorte que

, ^\Ja— q , \Ja — q

Ensuite on fera

ce qui donnera cette seconde transformée

en faisant

, ,, „ a — q"2 r = r -+- 2 q m — r ni 2 = -f —

On prendra m" entier positif et tel que q' — r"m" ne soit pas > — -, et si

en même temps q" ne surpasse pas — la transformée précédente aura les

conditions requises.

3° On déterminera m" en sorte que

Ensuite on fera

y" = ni!" y'" -+- y lY,

et l'on aura cette troisième transformée

'•'"r'T2 -+- 2ç'"j,vr'"— ',ivj'"2.

dans laquelle

r"=r — iq m — /' m - = r~ —

On prendra pour m'" un nombre entier positif et tel que q" -+- r'm"' ne

soit pas > — 5 et si la valeur de q'" n'est pas en même temps > — i on

sera assuré que la transformée trouvée aura les conditions requises. 4° On déterminera m"' en sorte que

,„ ^-\Ja — <?" », ^ \la — q"

nr < ~— ? m > - ~ i .

Ensuite on fera

y'"—m"'y"-hy\

ce qui donnera la quatrième transformée

OÙ

<jfIV= q'" — /*,vmIV,

rv = r + 20 m" — /''vm,v2 = ï — .