III

Pour cela j'observe qu'à cause de

pr + q- = a, la quantité P peut se mettre sous cette forme

et la quantité R sous celle-ci Rz=-»(N +

Ja

\ja

Or, comme s/a est > q, il est clair que la quantité q + \/a sera toujours positive, et la quantité q — \ja toujours négative; de sorte que les deux quantités

q -+- \[a q — \Ja P P

seront nécessairement de sianes différents. Nommant donc a celle de ces deux quantités qui sera positive, et — jS celle qui sera négative (a et |3 dénotant des nombres positifs), on aura

P=/>(M -I- am) (M — (3m), R = — ^(N +a»)(N — (3«).

D'où l'on voit que, pour que les nombres P et R soient de mêmes signes, il faut que les facteurs M — /3 m et N — |3n soient de signes différents, parce que les facteurs M -+• am et N-f- an sont tous les deux positifs. Cela posé, soit M>N, on pourra faire

et prendre pour p. un nombre entier positif tel, que M' soit aussi positif et moindre que N; car pour cela il n'y aura qu'à diviser M par N, et faire le quotient égal à ij. et le reste égal à M'. Qu'on fasse de même

m' élant un nombre quelconque, et substituant ces valeurs dans l'équation

on aura celle-ci

M'n— Nra' = ±i,

d'où l'on voit qu'à cause de M', N et n positifs, il faudra que ni soit aussi un nombre positif.

Or les valeurs de y et de z deviendront par ces mêmes substitutions

y = ( \j.s -t- x) N -l- M'*, z = ( fxs -+- x) n -t- ni s,

ou bien, en faisant comme plus haut #'= [±s -+- x,

j,= M's + Nx', z = ni s -+- nx';

et, ces valeurs étant substituées dans la formule

pr2 -+- ?.qyz — rz2,

on aura la transformée

PV + 2 Q'sx' — Rx'2,

où

P' = p M'2 -t- 2 q M' ni — mi-,

Q' = /?M'N -+- q(M'n + Nm'l — rm'n,

R =rn-— çNra — pN2.

Et je dis que les nombres P' et R seront nécessairement de mêmes signes;

car on aura

V' — p{W+ xm'){W— (3 m'),

R= — />(N-ha/i)(N — (3/i);

or

M — (3m = u(N — (3re) + M'— (3 m';

donc, comme p. est un nombre positif et que M — pm et N — [in sont de signes différents, il faudra, pour que cette équation puisse subsister, que les quantités M — j3m et M'— j3/ra' soient de mêmes signes, et par conséquent que N— [in et M'— /3/n' soient de signes différents; mais N + «netM'+ ani sont des quantités positives, N, n, M', ni et a étant

des nombres positifs; donc les deux nombres P' et R seront nécessairement de même signe.

De même, puisque N>M', on pourra supposer

et prendre \j' positif et tel, que N' soit aussi positif et moindre que M'; et

faisant

n — fi! m' -+- n' ,

on aura (en substituant ces valeurs dans l'équation Wn — Nm'= ± i)

M'ra'— N'ira' = ± i,

de sorte que n' sera nécessairement aussi positif. Ensuite, si l'on fait

et, substituant ces valeurs dans la formule

pyi f- iqyz — rz1, on aura cette autre transformée

PV2-l- o.Q"s'x' — R'x'\

où

P' = p M'2 + 2 q M' m' — rm'2,

Q" = jr>M'N' + q ( M'n' -+- N'm' ) — rm'n', R' = m"— qN'n' — p'N'2.

Et l'on prouvera, comme on a fait plus haut, que les nombres P' et R' seront de mêmes signes.

On pourra trouver pareillement une troisième transformée telle que

P'V2 -l- iQ'"s'x" — R'x"2, dans laquelle

X" = fi." s1 -+- x' ,

et où P" et R' seront de mêmes signes, et ainsi de suite.

Maintenant, comme les nombres

forment une suite décroissante de nombres entiers, il est clair qu'on doit parvenir nécessairement à un terme qui soit nul. Supposons donc, par exemple, que l'on ait N'= o, et à cause de

M're' — N'ira' = ± i , on aura

M'ra'= i

(car, à cause que les nombres M' et n' sont tous deux positifs, il est évident qu'il faut prendre dans ce cas le signe supérieur), donc

M' = i et n' = i ;

de sorte qu'on aura dans ce cas

D'où je conclus que, pour transformer la formule proposée

py2 -+- iqyz — rz2

en celle-ci

P s2 + 2.Qsx — Rx2,

dans laquelle on ait

PR -4- Q2 = pr ■+- q2 = a,

et où P et R soient de mêmes signes, il faut faire les substitutions suivantes

et prendre les nombres m', \j! et a positifs et tels, que dans les transformées résultantes

Vy2 + 2 Q"yx' — R'x",

PV -+- iQ'sx' — R/!, P s2 4-2Q sx — Rx2,

les coefficients R', P', R et P soient tous de mêmes signes. Voyons donc comment on pourra remplir ces conditions. En faisant d'abord la substitution de m'y ■+■ x' à la place de z, on aura

la première transformée, où

Q" = q — rm',

P' —p + -zqnï — rmn— — —

Or

donc, pour que P' et R' soient de mêmes signes, il faudra que les facteurs

, Ja — q , Ja + q

soient de signes différents; mais, à cause de \fa^>q, il est clair que \ja±q sera toujours un nombre positif; donc, si r est positif, m1 -+- - — — "

sera toujours positif, et il faudra que m' — ^ — ~ 2 soit négatif, et par

conséquent que

, Ja -f- q m'< ï — — i;

si au contraire r est négatif, m' ~ - — —2 sera positif, et il faudra que m' -h ^ 2 soitnéeatif; donc

Substituons ensuite [)' x' -+■ s à la place de y, et l'on aura la seconde transformée, dans laquelle

Q' = Q" + P>', J'observe que

R = R' 2Q» V! F ft" = 1^

R=-P'(^^ïï,'-^

de sorte que pour que R et P' soient de mêmes signes il faut que les deux facteurs

Ja -t- Q" , Ja — Q" f* + J!— p/ ' F - jv

soient de signes différents; or comme

(P' etR' étant de mêmes signes), il s'ensuit que Q"2 sera plus petit que a, et par conséquent Q"<\/a, de sorte que y/a±Q" sera toujours un

nombre positif; donc, si P' est positif, p/+ - sera positif, et il

faudra que jx'— - — p, soit négatif ; donc

mais, (x' devant être un nombre entier, il faudra que ^a soit plus

grand que l'unité; donc P'<C y/a — Q"; donc, à cause de

il faudra que R' soit plus grand que Ja -+- Q", c'est-à-dire

r^> \Ja-\- q — rm', et par conséquent

/ ^ Ja+ q

Or P' doit être positif lorsque r est positif, auquel cas on a déjà trouvé

, ^ Ja-hq A ,

m < -; donc on aura dans ce cas

v/«+ g , Ja-h q

On trouvera de même, pour le cas de r négatif,

sja

\ja

D'où l'on voit que le nombre m', devant, être entier, sera nécessairement déterminé, puisque les deux limites entre lesquelles il doit se trouver ne diffèrent que de l'unité.

Enfin on substituera [xs -+- x à la place de x' , et l'on aura la troisième transformée dans laquelle