Étant donnée l'expression

py*±rz\ où p et r sont des nombres entiers donnés, et y, z des nombres entiers indéterminés, on propose de la réduire à la forme

[\an -y- h, a étant égal à pr, b étant un nombre positif ou négatif, égal ou moindre que 2a, et n un nombre entier indéterminé.

Il est clair que, quels que soient les nombres y et z, on peut toujours les représenter par les formules 2mr ± p et 2m'p ± zs, m, m', p et s étant des nombres entiers indéterminés; il est visible de plus qu'on pourra toujours prendre les nombres m, m' avec les signes des nombres p et v>, en sorte que ces derniers soient l'un, savoir p, moindre ou au moins non plus grand que r, et l'autre, savoir rs, non plus grand que p.

Qu'on substitue donc ces valeurs dans l'expression pyï ±.rz\ elle

deviendra, à cause de pr = a,

4« [m-r± mp ± [m"p ± m'zîs)] -+- pp2 ± rm2; d'où l'on voit que la réduction proposée aura lieu en faisant

b = pp2zh i-tb2,

et prenant successivement pour zs tous les nombres entiers jusqu'à p, et pour p tous les nombres entiers jusqu'à r; et il est clair que les valeurs de b qu'on trouvera de cette manière pourront être augmentées ou diminuées de tels multiples de l\a qu'on voudra; moyennant quoi on pourra toujours réduire ces valeurs à être au-dessous, ou au moins à n'être pas plus grandes que 2a; pour cela il n'y aura qu'à diviser d'abord b par [\a, et si le reste est égal ou moindre que 2a, on le prendra pour la vraie valeur de b; mais si ce reste est plus grand que 2a, on en retranchera !\a, et l'on aura un reste qui sera nécessairement moindre que 2a, et qu'on prendra à la place de b.

30. Corollaire. — Il est clair que si l'on change en même temps les signes des nombres p et r, la valeur b devra aussi changer de signe; par conséquent, si l\an -4- b est la forme des nombres py2 — rz2, on aura sur-le-champ l\an — b pour celle des nombres rz2—py2, les valeurs de b étant les mêmes.

31. Remarque. — Si l'on ne veut considérer que les nombres impairs qui peuvent être représentés par la formule py2 ± rz2, lorsque p et r ne sont pas pairs à la fois, il faudra dans ce cas rejeter toutes les valeurs paires de b, et ne prendre par conséquent à la fois pour zs et p que des nombres qui rendent l'une des quantités pp2, riz2, paire et l'autre impaire.

Si l'on voulait de plus ne considérer que les nombres qui seraient premiers à a = />r, il faudrait encore rejeter toutes les valeurs de b qui ne seraient pas premières à p ou à r; et il est visible qu'il ne faudrait prendre alors pour rs que des nombres moindres que p et premiers à />, et pour p que nombres moindres que r et premiers à r.