Étant donnée l expression
pj-- -+- 7.q yz± rz2,
où p, q, r sont des nombres entiers donnés dont le premier ou le dernier est supposé impair, et y, z des nombres entiers indéterminés ; on propose
de la ramener à la forme
^an -f- b,
en supposant a=pr^iq-, b un nombre entier positif ou négatif qui ne soit pas plus grand que ia, et n un nombre entier indéterminé.
Supposons d'abord que/? soit un nombre impair, et faisant l'expression proposée égale à X, en sorte que l'on ait
py2 -+- zqyz zh rz2 = X,
qu'on multiplie cette équation par/?, elle deviendra
pX — (py-hqz)2±:az2,
à cause de a^pr+.q1 (hypothèse), ou bien en faisant py + qz = y', pTi. = j'2zt az2.
Maintenant supposons, en général , que la plus grande commune mesure de a et p soit//ca, p' étant un nombre non carré ni divisible par aucun carré; et faisant
il est clair que P et r' seront premiers entre eux, et que l'équation
a=prqzq2,
devenant
r'p'c2 = P rp'c2 rp q2,
ne pourra subsister en nombres entiers à moins que q ne soit divisible
par p'c; ainsi l'on aura
et divisant toute l'équation par jd'c2, il viendra
r' = Przrz q'2p',
où je remarque que P sera nécessairement premier à p'; car si ces deux nombres avaient une commune mesure autre que l'unité, il faudrait que le nombre r' fût aussi divisible par cette commune mesure; ainsi P et r' ne seraient plus premiers entre eux contre l'hypotlièse. Donc P sera en même temps premier hp' et à r', et par conséquent aussi à p'r' .
Cela posé, puisque p et q sont divisibles à la fois par p'c, il est clair que y' le sera aussi, de sorte qu'on aura
y' = p'cx,
et l'équation
pX. = y'2 ±az2,
étant toute divisée par p'c2, deviendra
PX = p'x- zL r'z'.
Or faisant p'r' — a', on pourra réduire, par le Problème précédent, l'expression p'x2 ± r' z- à la forme L\àn + b', où n sera un nombre entier indéterminé, et b' aura des valeurs connues. Qu'on mette Y à la place de n, et l'on aura l'équation
PX = 4a'Y-i- b',
laquelle devra avoir lieu en prenant pour X et Y des nombres entiers, et qu'on pourra, par conséquent, résoudre par les méthodes connues [voyez les Mémoires de cette Académie pour l'année 1768 (*)].
Or, comme on suppose que/? est impair, il est clair que P, qui est un facteur dep, sera aussi impair; par conséquent P et [±a! seront premiers entre eux, puisqu'on a déjà prouvé que P est premier à a' = p'r'; ainsi l'équation proposée sera toujours résoluble, quelques valeurs qu'on donne à b'.
Qu'on divise l\a' par P, puis P par le premier reste, puis le premier
["] OEuvres de Logrange, t. II, p. 669.
reste par le second reste et ainsi de suite, jusqu'à ce que la division se fasse exactement, et nommant /, /', /", /'", ... les quotients provenant de ces divisions, on en formera les fractions convergentes
IM
ir-hi
L'IM-t- L
' ïTTTi ' ' '
VI" H- i
Afl^-h A
dont la dernière sera la fraction même —-^ et l'avant-dernière, que nous
désignerons par ^ sera telle que aP — 4j3a'= ± i, le signe supérieur
étant pour le cas où le quantième de la fraction -= est impair, et l'inférieur pour celui où ce quantième est pair. Cela fait, on aura, en général,
X = 4<z' n' ± <xb',
ri étant un nombre quelconque entier.
Telle sera donc la forme de l'expression proposée X; d'où l'on voit que le Problème serait résolu si a! était égal à a; ce qui a lieu lorsque c = i, c'est-à-dire lorsque la plus grande commune mesure entre p et a n'est divisible par aucun carré. Dans ce cas il n'y aura donc qu'à prendre /; = ± ab' , en ajoutant ou retranchant de cette valeur, s'il est nécessaire, un multiple de l\a tel, que la valeur résultante de b ne surpasse pas 2a, comme on l'a dit dans le Problème précédent.
Mais, si c n'est pas égal à 1, alors, pour réduire la valeur de X à la
forme
4<wi -+- b ou ^.a'c'n -h b
(a étant égal à a'c"), on remarquera que, quel que soit le nombre entier ri, on pourra toujpurs le représenter par c-n + y, en prenant y<c2; ainsi, substituant cette valeur dans l'expression de X, on aura
X = ^an±ab' -h ^a'y.
C'est pourquoi il n'y aura qu'à prendre
b = ± ab' + ici' y.
en donnant successivement à y les valeurs o, i, 2,... jusqu'à ca — 1.
Si les nombres p et a sont premiers entre eux, la solution sera plus simple, car on aura non-seulement . c= 1, mais aussi p' = i, et de là r' = a.
Nous avons supposé jusqu'ici que p était impair; mais si p était pair et /' impair, il n'y aurait alors qu'à prendre la valeur de r à la place de celle de p, et si dans la formule
py2 -+- iqyz ± rz'1
le signe supérieur a lieu, il n'y aura aucun changement à faire aux valeurs de b trouvées d'après cette valeur; mais si c'est le signe inférieur qui a lieu, il n'y aura qu'à prendre les valeurs de b avec des signes contraires; ce qui est évident par la nature même de la formule dont il s'agit. A l'égard du cas où p et r seraient pairs à la fois, nous pouvons en faire abstraction, puisque dans ce cas l'expression
py- -+- iq yz ± rz~
ne donnerait que des nombres pairs.
33. Par l'application des méthodes précédentes on pourra donc construire deux nouvelles Tables correspondantes à celles du n° 28, et qui donnent pour chaque valeur de a et de p les valeurs convenables de b, en sorte qu'étant proposé un nombre de la forme t- -+- au2 ou t- — au2, on ait sur-le-champ toutes les formes particulières de l'espèce l±an + b dont les diviseurs de ce nombre sont susceptibles.
La Table III, qui suit, répond, comme on voit, à la Table I, et la Table IV à la Table II; on y a omis, pour plus de simplicité, les valeurs paires de b, ainsi que celles qui ne seraient pas premières à l\a; de sorte que ces Tables ne donnent que les formules des diviseurs impairs et premiers à a. Lorsque deux valeurs différentes de p ont donné les mêmes valeurs de b, on a réuni ces valeurs de p dans une même case.
