THÉORÈMES SUR LES NOMBRES PREMIERS DE LA FORME !\H — I

45. Comme les nombres premiers de cette forme qui ne sont pas diviseurs de t~ ± au- le sont nécessairement de t- zp au- par le Lemme V (41 ), on pourra appliquer k ces nombres les propriétés qui conviennent aux

78i RECHERCHES

diviseurs de t2 rp au2; donc en combinant la Table V avec la Table II et la Table IV, et la Table VI avec la Table I et la Table III, et ne considérant que les valeurs de b qui sont de la forme l\m — i , on aura les Théorèmes suivants :

i° Tous les nombres premiers de la forme 8n -+- 3 sont de la forme

2° Tous les nombres premiers de la forme 8n — i sont en même temps de ces deux formes y2 — iz2 et 2z2 — y2.

3° Tous les nombres premiers de la forme 1 2 n — 5 sont de la forme y2 + 3z2.

4° Tous les nombres premiers de la forme i2n — i sont de la forme

5° Tous les nombres premiers de ces formes 20 n + 3, 20 n -f- 7 sont de la forme 2y2 ± zyz + 3 s2; ou bien ces nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y2 + 5 s2.

6° Tous les nombres premiers de ces formes 20 n — 1 , 20 n — 9 sont en même temps de l'une et de l'autre des deux formes y2 — 5s2 et 5s2 — y2.

70 Tous les nombres premiers de la forme 2L\n -+- 7 sont de la forme y2 -+- 6s2; et tous ceux de la forme 2^n -+- 1 1 sont de la forme 2y2 -+- 3s2.

8° Tous les nombres premiers de la forme 2l\n — 1 sont de la forme 6z2 — y2; et ceux de la forme 2[\n — 5 sont aussi de la forme y2 — 6s2.

90 Tous les nombres premiers de ces formes 28/1 + 11, 28/? — 5, 28/1 — i3 sont de la forme y2 -t- 7 s2.

io° Tous les nombres premiers des formes 2&n -+- 3, 28/1 — 1 , 28/1 — 9 sont de la forme 7 s2 — y2.

1 1° Tous les nombres premiers de ces formes l\on -+- 1 1 , l$on -\- 19 sont de la forme y2 -t- 10 s2; et ceux des formes 40^ + 7, l\on — 17 sont de la forme 2 y2 -+- 3s2.

1 20 Tous les nombres premiers de ces formes l\on — 1 , l\on — 9 sont en

même temps de l'une et de l'autre de ces formes y- — ios2 et ioz2 — y2; et ceux des formes 4o" -f- 3, l^on — i3 sont de l'une et de l'autre des formes iy- — 5s2 et 5s2 — ly2 .

i3° Tous les nombres premiers de ces formes 44" + 3, 44w -1- 1 5 , 44" — i3, 44" — 17, 44" — 21 sont ou de la forme y2 + 1 is2, ou bien de la forme '5 y2 ± zyz + l\z2.

i4° Tous les nombres premiers de ces formes l\l\n-\-rj, 44" + I9» 44" — ! . 44" — 5, 44" — 9 sont de la forme 1 iz2 — y2.

i5° Tous les nombres premiers de ces formes 5:2/? h— 7, 52/? + 11, 52« + i 5, 52/2 + 19, ^2n — 5, 52/2 — 21 sont de la forme 2y2± lyz + 7 s2, ou bien ces nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y 2 -f- 1 3 z2 .

160 Tous les nombres premiers de ces formes 52n + 3, 52/7 + 23, San — 1, 52/1 — 9, 527? — 17, 52/; — 25 sont en même temps de l'une et de l'autre de ces formes y2 — i3z2 et i3s2 — y2.

170 Tous les nombres premiers des formes 56/z + i5, 56n+23, 56/i — 17 sont ou de la forme y2 + i^z2, ou de celle-ci o.y2 + 7s2; et les nombres premiers des formes 56n + 3, 56n + 19, 56/i + 27 sont de la forme 3y2 ± 2yz + 5 s2; ou bien ces nombres étant multipliés par 3 deviendront de la forme y2 + il\z2,

180 Tous les nombres premiers de ces formes 56/z + ii, 56 n — 5, 56" — i3 sont de la forme y2 — il\z'\ et tous ceux des formes 56 n — r , 56n — 9, 56/? — 25 sont de la forme \l\z2 — y2.

190 Tous les nombres premiers de ces formes Gon + 19, 6on — 29 sont de la forme y2 + i5s2; et tous ceux des formes 6on + 23, Son — i3 sont de la forme 3j2 -+- 5s2.

200 Tous les nombres premiers de ces formes 60 n + n, 60 n — 1 sont de la forme i5s2 — y2; et ceux des formes 60 « + 7, 60 /? — 17 sont de la forme 3y2 — 5s2.

2i° Tous les nombres premiers de ces formes 68 n + 3, 68/î + ii, 68n -4- 23, 68/1 + 27, 68" + 3i , 68n — 5, 68/1 — 29 sont ^e ^a forme III. 99

3y2 ± lyz + 6z2; ou bien ces nombres étant multipliés par 3 deviendront de la forme y- + 1 7 z2 .

220 Tous les nombres premiers de ces formes 68 n + i5, 68/2-1-19, 68/7— 1, 68n — 9, 68/? — i3, 68n — 21, 68/2. — 25, 68/t — 33 sont en même temps de ces deux formes y2 — 1 7 z2 et 1 7 z2 — y2 .

23° Tous les nombres premiers de ces formes 76/7-1-7, 76/2-1-11, 76/7 + 23, 76/7 + 35, 76/2 — t3, 76/2 — 2i, 76/2 — 29, 76/2 — 33, 76/2 — 37 sont ou de la forme y2 + I9=2, ou bien de la forme L\y2 ± iyz + 5s2.

240 Tous les nombres premiers de ces formes 76/2 + 3, 76/2 + 15, 76/7 + 27, 76/2 + 31, 76/7 — î, 76/2 — 5, 76/2 — 9, 76/2 — 17, 76/2 — 25 sont de la forme 19-2 — y2.

25° Tous les nombres premiers de ces formes 84/1 + 19, 84/2 + 3i, 84/2 — 29 sont de la forme 3y2 + 7 z'2 ; et ceux des formes 84/2 + 11, 84/2+23, 84 « — i3 sont de la forme 2 y2 ± iyz + nz2, 022 fo'e/7 ce* nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y2 + 21 r-2.

260 Tous les nombres premiers de ces formes 84/7—5, 84/2 — 17, 84/2 — 41 *o/i2 ^e &* forme y2 — 21s2; et ceux des formes 8l\n — 1 , 84/2 — 25, 84/2 — 37 sont de la forme 21 z2 — y2.

270 Tous les nombres premiers de ces foimes 88/2 + i5, 88/2 + 23, 88/7 + 3i , 88/7 — 17, 88/2 — 41 50ni* de la forme y2 + 22s2; et ceux des formes 88/2 + 19, 88n + 35, 88/7 + 43, 88/7 — 5, 88/2 — 37 sont de la forme 2y2+ 11 z2.

2 8° Tous les nombres premiers de ces formes 88/2 + 3, 88/2 + 27, 88/2 — i3, 88/2 — 21, 88/7 — 29 sont de la forme y2 — 22 z2; et ceux des formes 88/2 + 7, 88/2 + 39, 88/2 — 1 , 88/2 — 9, 88 n — y 5 sont de la forme 22s2 — y2.

2g0 Tous les nombres premiers de ces formes 92/2 + 3, 92/2 + 27, 92/7 + 31, 92/7 + 35, 92/7+39, 92/2 — 5, 92/7 — 17, 92/2 — 21, 92/7 — 33, 92/7 — 37, 92/7 — 45 ^0/72* ou de la forme y2 + 23 r.2, ou bien de la forme 3y2 ± lyz + 8z2.

3o° Tous les nombres premiers de ces formes 92/1 + 7, 9272 + 11, 92/1 + 1 5, 9272 + 19, 92/1 + 43, 92/2 — r , 92/2 — 9, 92/2 — i3, 92/2 — 25, 92/2 — 29, 92/2 — L\\ sont de la forme 23s2 — y2.

3i° Tous les nombres premiers de ces formes îo/yn + 3, 104/2 + 27, 104/2 + 35, io4« + 43, io4/2 + 5i, ïolin — 29 sont ou de la forme y2 + 26s2, ou bien de la forme 3 y2 ± 2ys + 9s2; et tous ceux de ces formes 104/2 + 7, io4« + i5, io4/* + 3i, 104/2 + 47» iot\n — 33, 104 « — 41 sont ou de la forme 2y2+i3s2, ou bien de la forme 5 y2 ± kyz -\-6z2.

32° Tous les nombres premiers de ces formes 104/2 + 23, io(\n — 1, iol\n — 9, \ol^n — 17, 104/2 — 25, io[\n — 49 sont de l'une et de l'autre de ces formes y- — 2Ôz2 et 26a2 — y2; et ceux des formes 104/2 + 11, 104/2+19, 104 72 — 5, îo^n — 21, iol\n — 37, io4/2 — 45 sont en même temps de l'une et de V autre de ces formes-ci iy2 — \?>z2 et i3s2 — 2y2.

33° Tous les nombres premiers de ces formes 1 i6n + 3, 116/2 + 11, ii6// + i5, 116^2 + 19, 116/2 + 27, ii6/2+3i, 116/2 + 39, 116/2 + 43, 116/2 + 47. 1 16/2 + 55, 116/2 — i'], 116/2 — 21, 116/2 — 37, 116/2 — 41 son/; 02/ de Informe iy- ± 2jyz + 1 5z2 , ou bien de celle-ci 3 y- ± 2yz + 1 o z2 .

34° Tous les nombres premiers de ces formes 116/2 + 7, 116/2 + 23, n6/2 + 35, ii6/2+5i, 116/2 — 1, 116/2 — 5, 116/2 — 9, 116/2 — i3, 116/2 — 25, 116/2 — 33, 116/2 — 45, 116/2 — 49» ii6/i — 53, 116/2 — 57 so/i ' à la fois de ces deux formes y- — 29 s2 et 29 a2 — y2.

35° Tous les nombres premiers de ces formes 120/2 + 3i, 120/2 — 4f sont de la forme y2 + 3os2 ; ceux des formes 1 20/2 + 23, 1 20/2 + 47 sont de la forme 2j2+ i5s2; ceux des formes 120/2 + 43, 12072 — 53 sont de la forme 3j/2+ io;2; enfin ceux des formes 120/2 + 1 1 , 120/2 + 59 sont de la forme Sy2 + 6 z2.

36° Tous les nombres premiers des formes 120/2 + 19, 120/2 — 29 sont de la forme y2 — 3oz2 ; tous ceux des formes 12011 — 1 , 1 20/2 — 49 sont de la forme 3oz2 — y2; tous ceux des formes 120/2 + 7, 120/2 — 17 sont

de la forme 1 5 z'2 — 2j2; enfin tous ceux des formes \ion — 1 3, i ion — 3y

sont de la forme ly"1 — i5r-2.

Nous nous arrêtons ici, n'ayant poussé nos Tables que jusqu'à a = 3o; mais ceux qui sont curieux de ces sortes de Théorèmes pourront aisément les continuer aussi loin qu'ils voudront à l'aide des principes et des méthodes que nous avons donnés jusqu'ici.

46. Maintenant il est clair que le Théorème i° du numéro précédent renferme le Théorème 4° de M. Fermât (36); que le Théorème 2° cidessus renferme une partie du Théorème 5° de M. Fermât, et qu'il est même plus général que celui de ce Géomètre, en ce que le nôtre nous apprend que tous les nombres premiers de la forme Sn — i sont non-seulement de la forme j2 — 2s2, mais aussi de celle-ci i.z- — y-. Enfin il est visible que notre Théorème 3° renferme aussi le Théorème 2° de M. Fermât, mais pour le cas seulement où n est impair.

Quant au Théorème 6° de cet Auteur, quoiqu'il ne soit point contenu immédiatement dans le Théorème 5° du numéro précédent, il est cependant facile de l'en déduire. En effet, on peut d'abord démontrer que tous les nombres de la forme 4^ + 3, qui sont terminés par les caractères 3 ou 7, sont nécessairement de l'une de ces deux formes 2on + 3, 2on -+- 7; car en faisant successivement

la forme l\m -+- 3 donne celles-ci

20 II -+- 3, 20 71 -+- 7, 20 7Z + II, 20 M -f- l5, 20 7l-r-IL);

où l'on voit qu'il n'y a que les deux premières qui puissent donner des nombres terminés par 3 ou par 7. Ainsi le Théorème de M. Fermât se réduit à ce que le produit de deux nombres premiers de ces formes 2on + 3, 2on -+- 7 est toujours de' la forme y'1 + 5z2. Or notre Théorème 5° nous apprend que tous les nombres premiers des formes aon + 3, 20/H-7 sont nécessairement de la forme 2y- ± 2yz -+- 3s2. Donc il n'y a qu'à prouver que le produit de deux nombres de la forme

2j-±2js + 3s2 est de la forme y2 -\- 5s2; ce qui est facile, car on trouve que

(2j'2 + irz + 3z2.) (a/" -(- iy'z' -h 3s'') = (zry'-hrz' -+- zy' ■+- 3z3')2-t- 5 (/»' — zy')2.

A l'égard des autres Théorèmes de M. Fermât qui concernent les nombres premiers de la forme 4" + i> on en trouvera la démonstration ciaprès.

47. Les Théorèmes du n° 45 ne regardent que les nombres premiers de la forme ^n — i. Pour avoir de pareils Théorèmes sur les nombres premiers de la forme L\n + \, il faudrait pouvoir démontrer que les nombres premiers de la forme l\na + b, lorsque b est de la forme [\m -+- 1 , peuvent toujours être diviseurs de quelque nombre de la forme t2-\-au2 ou t2 — au2; car nous avons déjà prouvé (40) que tout nombre premier de la forme L\n -+- 1 qui est un diviseur de t2 ± air l'est aussi de t2 zpau2. Or quoique l'induction paraisse prouver que les nombres premiers des formes qui conviennent aux diviseurs de t2 ± au2 peuvent toujours être effectivement des diviseurs de pareils nombres, cette proposition ne peut être démontrée rigoureusement par rapport aux nombres premiers de la forme l\n -+- 1 que pour un très-petit nombre de cas; du moins toutes les tentatives que j'ai faites pour en venir à bout ont été jusqu'à présent inutiles; de sorte que je me bornerai ici à rapporter les résultats de mes Recherches dans quelques cas particuliers où j'ai réussi à trouver la démonstration de la proposition dont il s'agit; ce sont ceux où b = i et où a = i, 2, 3, 5, 7 ou = au produit de quelques-uns de ces nombres, et où b = 9 et a = 5, 10.

THÉORÈMES SUR LES NOMBRES PREMIERS DE LA FORME [\Tl -\- l .

48. Nous avons vu (Lemmes I et II) qu'on peut toujours trouver une valeur de x telle que x>'~K — 1 , ou un quelconque des facteurs rationnels et entiers de ce binôme soit divisible par p. Soit donc p — l\na 4- 1, on

aura

x''-' — 1 = xina — 1 = (x-"a — i)(x-m -+- 1) ;

ainsi x2"c !-+- 1 pourra être divisible par l\na -+- i , lorsque c'est un nombre premier. Faisons œ" = r, et l'on aura le binôme r2a ■+- i qui pourra être divisible par L\na -+- 1; faisons de plus r2 -+- 1 = s, et le binôme r2a -+- i pourra se réduire à cette forme

s" — as"'1)-1 H ' .fa- ' /• ' - ^ '- s"-e rb H ' v ,, , ' — .«"■ s r* — . . . ,

quantité que nous appellerons R pour plus de simplicité. Ainsi tout nombre premier de la forme [\na -+- 1 pourra être un diviseur du polynôme R, ou même d'un facteur quelconque entier et rationnel de ce polynôme. II faut seulement remarquer, à l'égard de la série qui représente ce polynôme, qu'elle ne doit être poussée que jusqu'aux termes exclusivement qui contiendraient des puissances négatives de s; c'est de quoi il est facile de se convaincre par la nature même de cette série, laquelle, en y substituant r2 -+- 1 à la place de s, doit se réduire a r'2" -h i . Cela posé, soit d'abord a = i; on aura

donc tout nombre premier de la forme 4" -+- » pourra être un diviseur d'un nombre de la forme f- -+- w2; donc (18) :

i° Tout nombre premier de la forme [\n -+- i estausside la/ormey- -+- z2. Soit ensuite a = 2, on aura

d'où il s'ensuit que tout nombre premier de la forme Sn -+- 1 peut être un diviseur d'un nombre de la forme t- — 211'-, et par conséquent aussi d'un nombre de la forme t- -\- 21? (Lemme IV); donc (18 et 20) :

20 Tout nombre premier de la forme 8n+i est en même temps de ces trois formes y- + 2s2, y2 — 2s2 et 2z2 — y2.

Soit en troisième lieu a = 3, on aura

donc tout nombre premier de la forme 12/1 + 1 pourra être diviseur d'un nombre de la forme t- — 3w2, et par conséquent aussi d'un nombre de la forme t2 + 3«2 (Lemme IV); donc ( 18 et 20) :

3° Tout nombre premier de la forme \in + 1 sera en même temps de la forme y- + 3z- et de l'une de ces deux y- — 3 s2 et 3z2 — y2; mais on voit par la Table IV que la forme — y2 + 3 s2 ne donne que des nombres de la forme 12/1 — 1; donc tout nombre premier 12/1 + 1 sera nécessairement de ces deux formes y2 + 3s2 et y2 — 3s2.

Soit en quatrième lieu a = 5, on aura

R = s5 — 5sir2 ■+- 5s r" = s s* — 5s'2 r- -f- 5r4) ;

donc tout nombre premier de la forme 20/1+ 1 pourra être un diviseur de s'' — 5s2r2-+- 5r\ par conséquent aussi de

c'est-à-dire d'un nombre de la forme t2 — 5w2; donc il pourra l'être aussi d'un nombre de la forme ï2 + 5m2 (Lemme IV); donc (18 et 20) :

4° Tout nombre premier de la forme 20 n + 1 est en même temps de ces trois formes y2 + 5s2, y2 — 5s2 et 5s2 — y2.

En cinquième lieu, soit a = 7, on aura

donc tout nombre premier de la forme 20/1 + 1 pourra être un diviseur de s6 — 7 (s2 — r2)2r2, et par conséquent d'un nombre de la forme t2 — 7112, comme aussi d'un nombre de la forme t2 + 7112 (Lemme IV); donc (18 et 20) :

5° Tout nombre premier de la forme 28/1 + 1 sera en même temps de la

forme y" -+- 'jz2 et de l'une de ces deux-ci y- — 7s2, 7s2 — y2; mais la Table IV montre que la forme — j2 -h 7 s2 ne peut donner des nombres de la forme 287?. 4- 1; donc tout nombre premier 28^ + 1 sera nécessairement de ces deux formes y2 -+- 7s2 et y2 — 7s2.

Si l'on faisait encore a = 1 1 , on aurait

R = s" — 1 1 s'' r2 -+- 1 1 .4*'',< — 1 1 • 7 s'/*6 -f- 1 1 . 5s3rf — 1 1 s r"> ;

de sorte que tout nombre premier de la forme 44" -+- 1 pourra être un

diviseur de

s1' — 1 iUs — 4*'!''3 "+" 7 ■s4''" — 5 s2 r" -f- r8) /-2;

mais je ne vois pas comment cette quantité pourrait se réduire à la forme t- — 11 m.2; c'est pourquoi il me paraît que l'usage de la méthode précédente est borné aux seuls cas que nous venons d'examiner; d'autant plus que ces cas sont les seuls où l'on ait pu jusqu'ici déterminer les racines de l'équation r2a +1=0, en supposant a un nombre premier; en effet, si l'on pouvait trouver, pour une valeur quelconque de a, l'expression de la racine r, et que cette expression contint d'une manière quelconque le radical \Ja ou \i— a, il est facile de voir qu'on pourrait toujours avoir un facteur de r2a -+- 1 qui serait de la forme t2 ±air, et qui pourrait par conséquent être divisible par tout nombre premier de la forme l\na -+- 1.

Ayant trouvé jusqu'ici que tout nombre premier de la forme l\na -+- 1 est toujours un diviseur de t2 ± au2 lorsque a = 2, 3, 5, 7, il s'ensuit du Lemme VI que cela sera vrai aussi lorsque a sera égal au produit de quelques-uns des nombres 2, 3, 5, 7. Ainsi, faisant successivement

on trouvera, d'après les Tables I et II combinées avec les Tables III et IV, les Théorèmes suivants :

6° Tout nombre premier de la forme 24^-1-1 est en même temps de l'une et de l'autre de Ces deux formes y2 -+- 6z2 et y2 — 6 s2.

70 Tout nombre premier' de la forme [±on -+- i est en même temps de chacune de ces trois formes y2 -+- ioz2, y- — ioz2 et ioz2 — y2.

8° Tout nombre premier de la forme 56n + i est de la forme y'2 ■+■ \l±z2 ou iy2 -+- 7 z2, et en même temps de la forme y2 — il\z2.

9° Tout nombre premier de la forme 6071 -+- t est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -t- i5z2 et y2 — 1 5 z 2 .

i o° Tout nombre premier de la forme 84 n + 1 est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -+- 21 z2 et y2 — 21 z2.

1 1° Tout nombre premier de la forme 120/i + 1 est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -t- 3oz2 et y2 — 3oz2.

Considérons maintenant les nombres premiers de la forme 2on + 9, et je dis que ces nombres sont nécessairement diviseurs de quelques nombres de la forme t2—5u2. Car si on le nie, il faudra qu'on admette (Lemme VII, n° 45) que le nombre

(f-t-My/oJ — (t— U\/5)

et même qu'un facteur quelconque de ce nombre est divisible par le nombre premier 20/1 + 9. Or l'expression précédente a évidemment ce

facteur

2 y' 5 c'est-à-dire, en développant les termes,

5(/4-l- io/-i«2-i- 5u4) = z5(t2 -i- m2)2— 5(o. t2)2;

donc le nombre ion -+- 9 sera nécessairement diviseur d'un nombre de la forme t2 — 5a2. De là et des Tables citées résulte d'abord ce Théorème :

12° Tout nombre premier de la forme 20/1 + 9 est en m^me temps de ces trois formes y2 -+- 5z2, y2 — 5 s2 et 5z2 — y2.

Enfin puisque les nombres de la forme 4o« + 9 sont aussi de la forme III. 100

Sn-hi, et que nous avons déjà vu que les nombres premiers de cette dernière forme sont toujours diviseurs de quelques nombres de la forme t- — 2ir; il s'ensuit du Lemme VI qu'en faisant a= 2.5, les nombres premiers de la forme l\na + 9, c'est-à-dire (\on -+- 9, seront toujours diviseurs de quelques nombres de la forme u2 — at-, c'est-à-dire de if— 10 1'-.

1 3° Tout nombre premier de la forme [±on -+- g est en même temps de ces trois formes y- -+- ioz-, y- — ioz2 et 10s2 — y-.

49. Scolie I. — Au reste, si l'on combine les Théorèmes que nous avons démontrés jusqu'ici avec le Lemme III, on en pourra déduire un grand nombre d'autres Théorèmes d'Arithmétique qui seraient peut-être bien difficiles à démontrer directement.

Ainsi, si p est un nombre premier d'une de ces formes 8« ± 1 , 2 ' — 1

sera divisible par p, et si p est de la forme 8n± 3, 2 ' -f- 1 sera alors

divisible par p.

p—1 De même, si p est de la forme i2n ± 1 , 3 ' — 1 sera divisible par p,

p—1 et si p est de la forme ian ± 5, 3 ' -t- 1 sera alors divisible par p.

Si p est d'une de ces formes 20/1 ± 1 , ion ± 9, 5 2 — 1 sera divisible

p — 1 par p; et si p est d'une de ces formes 20 n ± 3, 20 n ± 7, alors 5 * + 1

sera divisible par p. Et ainsi de suite.

50. Scolie II. — Les nombres premiers de la forme t\n ■+- 1 sont toujours la somme de deux carrés (48); mais les nombres premiers de la forme l\n — 1 ne pouvant jamais être la somme de deux carrés, seront nécessairement la somme de trois ou de quatre carrés, puisqu'il est démontré que tout nombre entier est ou carré ou la somme de deux ou trois ou quatre carrés [voyez les Mémoires pour 1770 (*)]. Or je remarque que la forme [\n— 1 se réduit à ces deux-ci 8n— 1 et 8n-f- 3;

(*) OEuvres de Lagrange, t. III, p. 189.

à l'égard des nombres premiers de la forme 8/1 + 3 on a prouvé qu'ils sont toujours la somme d'un carré et du double d'un carré (45); et quant à ceux de la forme Sn — i , M. Fermât assure que le double de chacun de ces nombres est toujours aussi la somme d'un carré et du double d'un carré (voyez la Lettre à M. Digby citée ci-dessus, n° 36) ; mais ce dernier Théorème est du nombre de ceux qui restent encore à démontrer. On peut observer que la forme 8n — i se réduit à ces trois-ci il\n — i, 24^ + 7, 2[\n-+- 15, dont il n'y a que les deux premières qui puissent convenir à des nombres premiers; or il est déjà démontré (45) que tout nombre premier de la forme il\n + 7 est de la forme y2 + 6s2; donc le double d'un nombre premier de la même forme sera de la forme

2j2-h i2z2= (y+ izf -T- {y — 2 z)2 + (az)2,

c'est-à-dire la somme de trois carrés. Ainsi le Théorème dont il s'agit est démontré pour tous les nombres premiers de la forme 8n— 1 lorsque n n'est pas un multiple de 3; et il ne reste plus qu'à le démontrer pour les nombres de la forme 2^n — 1; mais je ne vois pas, quant à présent, comment on y pourrait parvenir.

J'ajouterai, en finissant, que j'ai remarqué que tout nombre premier de la forme l\n — 1 est la somme d'un nombre premier de la forme 4" + 1 et du double d'un nombre premier de la même forme ; ainsi

3=it-2.i, 7 = 5-)-2.i, 11 = 1 + 2. 5, 19=17-1-2, 23 = i3 + 2.5=i + 2.ii, 3i = 2g+2, 43 = 4I|~2>

mais ce n'est que par induction que j'ai trouvé ce Théorème.