Corollaire. — Il suit des deux derniers Lemmes

i° Que si [\an-\-b est une des formes des diviseurs de t2 ±au2, ce sera aussi une des formes des diviseurs de t2^zau2 lorsque b sera de la forme t\m -+- i; et que si l\an -+- b est une des formes des non-diviseurs de t2±au?, ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de t2qzau2.

2° Que si l\an-sr b est une des formes des diviseurs de t2 ±au2, ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de f-^au1 lorsque b sera de la forme l\m — i; et que si l\an -+- b est une des formes des non-diviseurs de t2 ± au2, ce sera aussi nécessairement une des formes des diviseurs de t2 qzau2. Les quatre dernières Tables fournissent des exemples de la vérité de ces propositions.

Lemme VI.

43. Si un nombre premier- p est à la fois diviseur de différents nombres de ces formes t2 — a u2 , t2 — au2 , t2 — a"u'2 ,..., je dis qu'il sera aussi diviseur d'un nombre de la forme t2 — a a'a" . .. u2.

Si p divise en même temps les deux nombres t2 — au2 et t'2 — a'u'2, il divisera aussi le nombre

f2[ t'- — a'u'2) H- a'u'2( t2 — au2), c'est-à-dire

( tt'y — a a' (uu'f;

et, si le même nombre/? divise encore le nombre t"2 — a"u"3, on prouvera pareillement qu'il divisera aussi le nombre

[tf t")1 — aa'a"(uu'u")!;

et ainsi de suite. Au reste, on voit par cette démonstration que la proposition est vraie, en général, quel que soit le nombre/», premier ou non.

Lemme VII.

44. Si le nombre premier p ne peut jamais être diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, je dis qu'il sera nécessairement un diviseur d'un nombre

de la forme

{t + usJa)p+'-{t-us]a)p+> — ,

it \ja et même d'un facteur quelconque de cette formule .

Car si p ne peut être un diviseur de t2 — au2, alors a * — i ne sera pas divisible par/? (Lemme III); mais, ap~' — i étant toujours divisible

par/? (Lemme I), il faudra que a * ' -t- i soit divisible par/», puisque aP-' — i = \a~^' — i) \cT*~+i).

Maintenant si l'on considère la quantité (t -f- u\ja)p et qu'on la résolve en série par le Théorème de Newton, on verra qu'à cause que p est un nombre premier, tous les termes seront d'eux-mêmes divisibles par /?,

p excepté le premier tP et le dernier upa', et cela indépendamment des

valeurs de t, u, a. Donc

(t -4- uy/af— tP — uPa>

sera toujours divisible par/?. Mais t et «n'étant pas divisibles par/», on a, par le Lemme I, f^ — i et up-' — i divisibles par/?; donc aussi

p tP — t et (up — p)a* ,

et par conséquent

{t-\-u \Ja)p — t — ua'

seront divisibles par/?; or a ' -+- i est divisible par/?; donc ua* + u\ja

le sera aussi; donc

{ t -\- u \J a)p — t ■+- u \la

sera divisible par/?; donc, prenant le radical \[a en — ,

( t — u \fa)p — t — u \Ja

sera également divisible par/?; donc enfin multipliant la première de ces quantités par t-+-u\Ja, et la seconde par t — u\Ja, et prenant la différence, cette différence sera encore divisible par/?; ainsi

sera toujours divisible par/?; mais si l'on développe cette quantité, on voit qu'à cause que /? -t- i est pair, tous les termes sont divisibles par 2i\[â; donc, puisque ni t ni \]a n'est divisible par/?, il s'ensuit que la

quantité

{t+uyJaY+,— {t-usJay+l it \ja sera divisible par/?.

Cette quantité étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de t, devient un polynôme entier et rationnel du degré/? — i ; ainsi, supposant u donné, il y aura p — i valeurs de t tant positives que négatives,

mais moindres que -? lesquelles rendront ce polynôme divisible par p, ces valeurs étant

Donc on prouvera, comme dans le Lemme II, que si ce polynôme a un facteur rationnel et entier de l'ordre m, il y aura nécessairement m valeurs de t qui rendront aussi ce facteur divisible par/?.