VIII
Nous avons supposé jusqu'ici que la courbure du ressort devait être très-pelite; voyons maintenant comment on peut résoudre le Problème, en général, quelle que puisse être la figure de la lame élastique. Or, comme les équations trouvées dans le § II sont absolument inintégrables, il est impossible de déterminer les forces P et Q en /, a et b, ou bien les forces R et T en /, r et a (§ IV) par des équations finies; mais peut-être pourrait-on les déterminer par des équations différentielles qui donneraient les variations de T et de R répondantes à celles de r et a; c'est ce qu'il est bon d'examiner.
Reprenons donc les trois équations du § II, et, mettant d'abord à la
place de P et Q les valeurs trouvées dans le § IV, elles se changeront en
celles-ci
Kdc?
ds
y/jo y/cos [q ■+- a. — ni) — cos (}+«-m + ip)
dy = - - Ks'inC?d<?
dx=z
\Jp y/cos (q -+- a. — m) — cos [q -+- a ■ K cosc» d<s
\/p v'cos {q -+- a. — m) — cos (q ■+- oc — m ■
La seconde de ces équations étant multipliée par sin (q -+- a — m) et ensuite retranchée de la troisième multipliée par cos (q -+- a — m), on aura
cos [q -h a — m) dx — sin (q -+- ce — m) dy
K cos ( (/ + a — m -t- cp ) f/cp
\Jp y/cos [q 4- a— m) — cos [q +tx — m -+- 9) De même, en multipliant la seconde par cos (y -h oc — m) et l'ajoutant à
la troisième multipliée par sin (q -+- oc — m), on aura
cos [q -+- a — m) dy -+- sin (q -t- a — m) dx Ksin (g 4- a — ;n + 9) c/9 y//> y/cos (g + a — m) — cos (g + a — m + 9)
équation qui est absolument intégrahle et dont l'intégrale, prise en sorte que x et y s'évanouissent lorsque f = o, est celle-ci
jcos (q -+- y. — m) 4- a; sin (q + a — m)
Ky/cos (g -+- a — m) — cos (g -I- a — m -t- 9)
Ainsi il faudra combiner cette équation avec ces deux-ci
~s/pJ\
Jp J y/cos (g -h a — m) — cos {q 4- « — m -h 9)
a; cos (g -t- a — m) — r sin (q -h a — m) K /" cos (g + a — m -h 9) c?9
Jp J y/cOS (g -+- a — m) — COS (g -t- a — W -t- 9)
Soit, pour abréger, q-î-a — m = n, et supposons que les intégrales
Ç dy Ç cos (tu- 9)^9
J Jcosn — cos (re-f- 9) J y/cosre — cos (re + 9)
prises en sorte qu'elles soient nulles lorsque v = 0, deviennent A et B lorsque cp = m, et l'on aura, en faisant x = a, y = b, 5 = /et y=m, ces trois équations
^ [6 cos (g -t- a — m) 4- ashUg 4- a — m)] = y/cos (g H- a — m) — cos [q -ha),
~r- [a cos ^ + a — m) — /> sin ( q 4- a — m) ] = R,
(*) Dans le texte primitif, le l'acteur 1 se trouve placé au dénominateur de cette formule; l'inadvertance commise ici par l'illustre Auteur a pour effet d'altérer les résultats qui suivent. Nous avons cru devoir faire les rectifications nécessaires pour l'exactitude des formules.
( Note de l'Éditeur. )
ou bien, en substituant pour a et b les Valeurs du § IV,
r\fP T>
— - y- coso = B,
-^- sinqr = y/cos (q -+- oc — m) — COS (</ -1- a).
