IV

Maintenant, puisque l'on a

y/ COS 71— cos (« + o)

/COS y/COS7l

COS (» + ffl)

si l'on fait varier dans ces expressions tant © que n, on aura d® smndn

dk:

\ndn r

J [cos«

\/cosn-cos(?i + <?) J [cos«-cos(«-t-(p)]2

dn f sin(re + œ)rfcp "J [cosn — cos [n -+- tp)]2

cos (n + cp) d(f s'mndn P cos (ra-t- 9)fi?9

^cosn-cos(n + <p) J [cosn- cos («•+ 9)]2

/* sin [n, + tp) c?cp rf;t /»sin (n + cp) cos (n -+- 9) dw

J v/cos«-cos(« + cp) aj [(c0S7l-C0S(« + Cp)f

i /" sin (n -I- cp) acp — i

V [cosn - cos (« + 9)f ~ \/™sn-cos(n

/sin (n + cp) c y/cos7i — cos (n

i /'sin (;i H- cp) cos (n + cp

f' J [cos 7i — cos (n -+- 9)

cos (n -t- 9)

y/cOS 71— cos (n -t- 9)

Donc on aura

dn-\-do sinndn f do

v/cos«-cos(« + 9) = J[cosn-cos(n + <?)?

,R cos n -+■ o) (dn . + a? 9) sin«c?« /* cos(n -4- 9) rfa

V'cosre — cos (/i -t- (o)

J [cosn — cos (7? . -f- 9) Supposons, pour plus de simplicité, do

Ç do Ç cos («h- y).

J [cosn — cos (re H- <p)]2 J [cosn — cos (n-

et comme on ne peut pas trouver les valeurs de F et G par l'intégration, il faut tâcher de les déterminer par le moyen des quantités A, B. Pour cela, je remarque que l'on a :

0 do cosndo cos (n + o) do

Vcos«-cos(« + 9) [cosn- cos (»-9)f [cosn - cos (n + 9)] = d'où, en intégrant, on aura

A = F cos /i — G.

cos\n + o) do cosn cos iTi -+- cp) do cos* (n -\- o) do

v/cosn-cos(n + <p) [COs«- cos(n + ?)f [cosn - cos (« + o)f et

sin(n + cp) cos (n -+- cp) do sin3(n -+- 9) do

v/Eo"sn-cos(n + ?) Jcosn- cos(n~+tf a [cosn CQS {n + ?)]f '

par conséquent

, sin n + 9)

/cos n — cos i n H- 9 )

cosn cos (n + 9) do cos(n -4- 9) do do

[cosn-cos(n + o)f s/cosn- cos ,n + 9) [cos/! Cos(n + 9)]^

Donc, en intégrant, on aura

asin(n + 9)

= G cosn -+- B — F.

y/cosn — cos(n -+- 9)

ni. i3

Ainsi, combinant cette équation avec la précédente

on tirera

A = Fcos/i — G,

B — A cos n T

^/cosre — cos(« -

sin2re

2cosresin(« a cosn — A

B cosn — A

y/cosre — cos(re 4- 9)

Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de dA et de rfB trouvées ci-dessus, on aura

,,__ dn -+- dcp sin(« H- <p) dn (B — Acos»)c?re

\jcosn — cos(ra 4- 9) sinrey/cosre— cos(re4- 9) asinw

■ „ cos (n 4- 9) {dn 4- dcp) cosn sin(«4- 9) dn (Bcosm — k) dn

\Jcosn— cos(n 4- 9) simiyjcosn— cos(» 4- 9) asinn

Donc, remettant à la place de n sa valeur q 4- y. — m, et faisant 9 = m, on aura

fl?A =

tfqr 4- do

y/cos(<7 4- a — m) — cos [q 4- a)

sin(g -+- oc) {dq 4- dot — dm)

sh\{q 4- a — m) y/cos(g 4- a — m) — cos {q 4- a) B — A cos (5 4- a -

2Sin(çf + a — tw)

(afy 4- rfa — dm),

, COS (g 4- a) (ety -4- rfa)

y/cos (<jf 4- a — m) — cos (q + oc)

cos {q -\- oc— m) sin{q + oc) {dq 4- (/a — chra)

sin(ç 4- a — m) Jcos{q 4- a — ni) — cos (g 4- a)

Bcosfg 4- a — m) — A , , , , .

ism{q -h oc — m) *

Donc, faisant pour plus de simplicité <x — m = j3, on aura enfin ces trois

équations

-^- sin</ = \Jcosiq -+- (3) — cosig + a)

l \/p\ dq -+- c?a

v/c.os (g -+- (3) — cos (g + a)

sin(ç + <*)(£?</ -t- af(3,

sin(g + (3)y/cos(<7 4- (3) — cos(ç + ai

rcosçr — /cos(g -f-|3) ,- , , !. . , \. Jp(dq ■+- a a),

zKsin{q -hfi) yt * r

r^Rcosq]z^ cos{q + x)(dq + da

k / y/cOS(</ -+- (3' ■ — COS (g H- ai

cos(</ -+- P)sin(g +«) (t/</ -+- tf(3) sin (g + (3) ^/cos (g + (3) — cos (gn- a)

rcosq cos (a -f- (3) — / ,-. , .„

H L- ■ £4 Jp(dq-t-dP).

2Ksitl(Ç + (3) vr v i r/

§ ix.

Telles sont les équations par lesquelles on doit déterminer les forces R =p cosq et T = psinq, que la lame élastique ABC, fixe en C [fig. 3, p. 86), exerce à l'extrémité A, en supposant donnés la longueur / de la lame ABC, la corde AC = r et l'angle TCA = a. Pour faciliter le calcul , on prendra la valeur de cos (q -+- 13) de la première équation et on la substituera dans les deux autres, lesquelles deviendront par là

/ \'p\ iK(dq + dot.)

K / r \Jp sin q

2Ksin(</ -I- a) njp cosq l Jp-fr^p sin2 q

cos{q

ry'ps'mq 2^

8K2/ • sjp sin q d {rJp sinq ) -+- i6K4rfcos(<7 -t- a) i6K*— [r2psin2q -+- 4K2 cos ^ -+-«)]2

,i rJp \ 2Kcos(o -t- a) (dq -4- dot.) d\-^-cosq I =

'V^siiif)'

.Ksin(^-)-a) r\/pcosq r \Jp sin <y ? K

r-ps'm2q 4K2

-cos(<jH-sc)

^ 8K3rv/psinçrf(/'v//?sin(/) 4- i6K4^cos(g + a) i6Kf — [r-/?sin2çf -4- 4K2cos(ç + a)]'2

Ces équations sont, comme on voit, trop compliquées pour qu'on puisse en tirer quelque lumière sur la loi des forces tendantes RetT; cependant elles pourraient servir à déterminer la vraie figure de la fusée au moins par une équation différentielle.

Pour cela on supposera que C ifig- 3, p. 86) soit le centre du barillet ou tambour, où le ressort est renfermé, et à la circonférence duquel l'extrémité mobile À est attachée; de cette manière r sera le rayon du tambour qui est constant, et a sera l'angle que le tambour aura parcouru en tournant autour de son axe pour bander le ressort; de sorte que rv. sera égal à la longueur de la corde désentortillée d'autour du tambour et entortillée autour de la fusée; donc, si l'on considère la courbe qui, par sa révolution autour de son axe, produirait le solide dont on doit faire la fusée, et qu'on nomme y l'ordonnée de cette courbe et ds l'élément de

l'arc, on aura iyds pour la portion de surface de la fusée qui sera couverte par la corde et qui devra par conséquent être égale a la longueur ar de la corde entortillée à la fusée, cette longueur étant divisée par le diamètre même de la corde; ainsi, nommant e le diamètre ou l'épaisseur de la corde, on aura d'abord

jrds

Maintenant il est clair que la corde ne sera tendue par le ressort qu'avec une force égale à T =/>siny, l'autre force R ne faisant que presser la surface du tambour au point où l'extrémité du ressort est attachée; donc le moment de la force du ressort pour faire tourner la fusée sera

Ty =yps'mq, lequel devant être constant, on aura l'équation

ypsinq = g;

ainsi, il n'y aura qu'à substituer dans les deux équations précédentes

f y ds à la place de p et • à la place de a, et chassant ensuite la va-

y sinç

riable q, on aura une équation entre y et ds, qui déterminera la nature

de la courbe de la fusée.

Dans les recherches précédentes nous avons supposé que le ressorl étant fixe par une de ses extrémités, l'autre était retenue dans une position donnée par deux forces appliquées à cette extrémité, et nous avons cherché la valeur de ces forces; mais si l'on voulait que la tangente à cette même extrémité fût aussi donnée, alors il faudrait qu'une troisième force agît sur la lame, et qu'elle fût appliquée à quelque distance de l'extrémité dont il s'agit pour qu'elle pût avoir quelque moment par rapport à cette extrémité.

Ainsi l'on imaginera qu'une verge inflexible AP (fig- 2, p. 83) soit jointe à la lame élastique en A, et que cette verge soit tirée au point P par une nouvelle force M, dont la direction soit perpendiculaire à AP, c'est-à-dire parallèle à la force Q qui agit suivant AQ (§ llj; et il résultera de ces deux forces M et Q une force unique M H- Q agissant perpendiculairement à la verge AP, et à une distance du point A égale à

ï-r- — 7T AP. Or la force P donne, comme nous l'avons vu dans le parais -+- Q •

graphe cité, le moment Pv par rapport au point B, et- la force M-r-Q

donnera par rapport au même point le moment (M + Q) (^ tt AP -h x\,

c'est-à-dire, en faisant AP = c et M -t- Q = N, le moment Me + Na?; d'où il s'ensuit qu'on aura pour l'équation de la lame élastique

Me + Nx -1- Pj=

Donc, faisant les mêmes substitutions que dans le § II, on aura

:K2(/ffi

de sorte que lorsque <p = o, on aura ici iK'd

Cette équation étant différentiée, et ensuite multipliée par -j- et intégrée de nouveau, donnera

K2rf<»-

C — Pcoscp + N sin 9

ds:

où la constante C doit être déterminée par la condition qu'en faisant

., da> , Me . . ,, m = o on ail -r = — ïtt', ainsi I on aura

1 as 2K-

donc

ds =

dy.

dx:

kda

/Wc--

i — cos 9) 31119 û?9

sin 9

I — cos 9) COS9 dw

sin 9

/M2c2 . , AT .

t / y-r- + P (1 — cos 9) -t- IN sin 9

équations qui ne diffèrent de celles du § II que par le terme constant |^-2