JJ

a 2R6 — Ac-h3d ' a

et ainsi de suite; ce qui donne les formules connues de Newton.

De cette manière on ne peut déterminer chaque coefficient qu'à l'aide de tous les coefficients précédents; mais si l'on voulait avoir tout de suite l'expression du coefficient d'une puissance quelconque xm, coefficient (jiie nous appellerons M, et qui sera par conséquent égal à

on pourra s'y prendre de la manière suivante. 3. On considérera que

/ bx — ex2 -+- dx3 — . . . \ / bx\ , r — ex1 + dx3 -

log 1 - =log '-— ■ +log

[~ — ex2 + dx3 — . . . ~|

Soit, pour abréger,

a en sorte que l'on ait

/ bx — ex'2 -h dx3 — ...\ , / bx\ , / X

log 1- — — - -log I-— +log/i

Donc, réduisant ces deux derniers logarithmes en série, on aura bx — ex'2 -+- dx3 — .

-log 1 —

a bx b2x2 b3x3 X X2 X3

a ici' 3 a3 bx I bx\2 „ / bx 1 21 3 lift \ a I

A + Bx -+- Cx2 -+- . . . + Ma"" -+- . . . .

Or, on sait que

ï bx b'x2 b3x3

?.bx 3/;2x2 âb3x3

i.3.bx 3.4-.6!.ra i.5.b3x3 « a- a3

bx a

/ . 2.3,/i.è.r 3 . 4 • 5 . ft-jp2 4-5.6.43^5

bx \ - 2 . 3 \ a a: a-

;t ainsi de suite.

Donc, si l'on suppose, pour plus de simplicité,

X = a x- ■+- «, x3 -+■ a.i x'' -+- . . . , X2 = (3 x" + (3, xh -4- (32 x* + ..., X3 = y xe -+- y, x'1 -+- y, x3 -t- . . . ,

il est facile de voir que le coefficient de la puissance x'" dans la quantité — J—r- > développée suivant les puissances de x, sera représenté par

X2 que celui de la même puissance x'" dans la quantité — -, -. — r-2 sera

i[t-^p(i)"*<— «fr(i)-+...+^}

X3 etque, dans la quantité — -, -, — —■> il sera

i^Uin — 4)(m — 5)y M + (m - 5)(m — 6) y, f-j +... + i.2.y,„J,

et ainsi des autres.

De là il s'ensuit qu'on aura

Donc, puisque

on aura, en général,

Mm — 1 1 —

'b\- iby-* /b\

- I + ma - + m a, - +... + /»«,„

m (m — 5)(»i — 6)(m — tK/^V"-8 »»(m — 6) (/h — 7)(m — 8)„ ( b\'"-' m ,