XV

Au reste, la condition que p elq soient presque égaux à — ne serait

pas nécessaire si l'on supposait que les quantités / et m fussent trèsgrandes du même ordre; car alors les quantités T et V pourraient être

supposées très-petites de l'ordre de — » et l'on aurait dans cette hypothèse (| XIII) les équations

Vm . ïni

i — cos m — — q cos m

q sin m

d'où l'on tire

2 1 -j q — i ) sin/71

fin

— i ] cos m

■> KJT ? K2\*

de sorte que P= " Ba et N = " R2 seront des quantités fort petites,

comme on l'a supposé dans les calculs du § XII.

Ce cas aura donc lieu lorsque le ressort sera fort long et qu'il fera un très-grand nombre de tours en forme de spirale. Ainsi, si l'on suppose qu'un pareil ressort soit appliqué à un balancier dont le centre soit C {fig-l, p- io4), et que l'une des extrémités du ressort étant arrêtée en C, l'autre soit fixée perpendiculairement au rayon C'A du balancier,

on nommera p et r, comme dans le § XIV, les distances données CC et AC\ A l'angle donné C'CH et a l'angle variable AC'C, et l'on aura

psinA psina

71 q = -r1-, TT el m = U.TB-h(X— A,

r sin(« — A) * sin(a — A)

75 étant la circonférence du cercle et \j. dénotant le nombre des tours que le ressort t'ait autour de C et qui doit être fort grand.

Donc la force tangentielle P, qui tend à faire tourner le balancier, sera

à très-peu près, en faisant X = r-r-»

K2[X3psin<x — X2sin(a — A)]

d'où l'on voit que cette force sera nulle lorsque lp sina = sin(« — A);

ainsi, dénotant par w la valeur de a. qui répond à cette équation, en sorte

que l'on ait

sinA tangw :

cosA— Àp et supposant en général a = co -\- ty . on aura

K2À2[Apcos&} — cos(i» — A)] sini|>

et le moment pour faire tourner le balancier sera P/-.

Donc, si l'on nomme H le moment d'inertie du balancier, et qu'on fasse, pour abréger,

K2À2r[Xpcosco — cos(w —A)] p.roH

on aura, pour le mouvement du balancier, l'équation

-î-l = — n suit,

dt* T

qui est la même que celle du mouvement d'un pendule simple dont la longueur serait ^> pétant la force de la gravité; de sorte que le balancier fera des oscillations semblables à celles d'un tel pendule, et le point de repos sera où i|> = o, c'est-à-dire où l'angle y. sera égal à w.

Ainsi, plus la longueur du ressort et le nombre de ses tours augmenteront, plus le mouvement du balancier approchera de celui d'un pendule simple circulaire, de sorte que le mouvement du pendule peut être regardé comme la limite, et l'asymptote de celui d'un balancier mû par un ressort spiral, pourvu que le ressort soit d'une épaisseur uniforme et que son état libre soit la ligne droite.