III

thèse), il est clair que A et d seront premiers entre eux ; d'où il s'ensuit que ka ne pourra être divisible par d2 à moins que a ne le soit; ainsi, divisant tant le nombre a que chacun des carrés p2, g-,... par d-, on aura une équation de la même forme que la précédente, où le coefficient a sera toujours plus petit que A et où les quatre carrés p2, q2, r2, s2 n'auront plus de commun diviseur.

Considérons donc l'équation

Afl = p- -+- q2 -t- r2 ■+- s'

comme déjà réduite à cet état, et si le nombre p2 -+- q2 n'est pas premier' à a, soit p leur plus grande commune mesure, en sorte que l'on ait

a = bp et p'-hq-=tp,

b et t étant premiers entre eux; on aura donc

A bp = ■ tp -+- r- -t- s2,

d'où l'on voit que r'1 -h s2 doit être aussi divisible par p, de sorte que, nommant le quotient u, l'équation deviendra

or, puisque p divise tant/?2-!- q2 que r2 -h s2, et que p, q, r et s n'ont aucun diviseur commun, il s'ensuit du Corollaire I du Lemme précédent

que les quotients = t et • .- — = m seront l'un et l'autre la

somme de deux carrés; ainsi l'on aura

t = m- -+- n2 et « — li2 + i2 ;

donc, multipliant toute l'équation par t, on aura

\bt = t2-\- tu,

ou bien, en fa\s&nt oc = mh -t- ni et y = ml — nh, en sorte que tu = x2 -h y2, on aura cette équation-ci

\bt=t2-i-x2-{- y2.

Maintenant, comme b et t sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux multiples de b et t tels que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre quelconque donné, et de plus on peut supposer

que l'un de ces multiples soit moindre que — [voyez le Lemme I du

Mémoire sur les Problèmes indéterminés, qui est imprimé dans le tome XXIV des Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pour l'année 1768 (*)] ; ainsi l'on peut faire

x = at -hyb et y=fit + êb,

a, |3, y et S étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et l'on peut supposer en même temps que a et jS, pris positivement, soient l'un et l'autre plus petits que -■ Qu'on fasse donc cette substitution dans l'équation précédente, elle deviendra

A4/=(:li + 2'' + P!) + 207 tb -+- ifiàtb -+- y-b- -t- o'-b2,

où l'on voit que tous les termes sont multipliés par b, à l'exception de

ceux-ci

ainsi, pour que cette équation puisse subsister en nombres entiers comme il le faut, il est nécessaire que t- (1 -1- a1 -+- fi'2 J soit aussi divisible par b; mais b et t sont premiers entre eux, donc il faudra que b divise 1 H- a2 -+- /3-, de sorte qu'en nommant le quotient a' on aura

et comme a. et /5 sont chacun plus petits que --, 1 + sr-+- /52 sera plus

petit que — h 1 ; par conséquent a sera plus petit que - -î- t-

Or, mettant dans l'équation ci-dessus a'b à la place de 1 -+- cr -+- /3-, et divisant ensuite par b, on aura

At = a't2+ itzyt -+- 2j3o/ -t- (y2 + ô2) b, ( * ) OEuvres de Lagi-ange , t. II, p. 65g.

où je remarque encore que tous les termes étant multipliés par t, excepté

ceux-ci

il faudra que le nombre (7- -+- à2) b soit divisible par t, et comme b et t sont premiers entre eux, il faudra que -f + §- soit divisible par t.

Si l'on multiplie l'équation que nous venons de trouver para', elle pourra se mettre sous cette forme

Aa't = (a't-h ocy -+- (3d)2 -f- (y2 ■+- è2)a'b — (ocy -t- (3<5)2,

ou bien sous celle-ci

A«7= (a't + ay ■+- (3<3)2 H- y2 (a'/> — a!) + è'(a'b — p2) — 2*(3yd;

mais on a

donc l'équation précédente deviendra

Aa'ï = (a'f-(- ay -1- (3 <3)2 + y2 (1 + (32)+ <32(i-t- a2)— 2 a(3 y â,

c'est-à-dire

A a'/ — (a't + ay -+- (3â)2 H- ( (3 y — ad)2 + y- ■+■ è2.

Or nous avons dit ci-dessus que y- -1- 52 doit être divisible par t, donc il faudra aussi que le nombre

( a't + ay -t- (3â)2+ ((3y — aâ)2 le soit; mais on a

donc, par le Corollaire II du Lemme, chacun des deux quotients sera nécessairement la somme de deux carrés; de sorte qu'on aura

y2+ <52= t(p"2-h q'2) et (a't -h xy -h pd)2 -h (fiy — ocd)2 — t (r'2 -h s'2).

Donc on aura, après avoir divisé toute l'équation par t,

Il s'ensuit de là que si Aa est la somme de quatre carrés, Aa' sera aussi

la somme de quatre carrés, à étant plus petit que --i- t et a = bp\ ainsi

si a est plus grand que i , a' sera nécessairement plus petit que a; et, si a' est encore plus grand que i , on prouvera de la même manière que Aa" sera aussi la somme de quatre carrés, a" étant plus petit que a'; et ainsi de suite; donc comme les nombres a, à ' , a",... sont des nombres entiers, dont aucun ne peut être égal à zéro (à cause que ces nombres sont des diviseurs des nombres i + u2 -+- jS2, i + a"2 -+- [i'-,. . . qui, comme on voit, ne peuvent jamais devenir nuls), et que ces nombres vont en diminuant, il est clair qu'on parviendra nécessairement à un de ces nombres qui sera égal à l'unité, et alors on aura A égal à la somme de quatre carrés entiers.

Corollaire. — Si un nombre premier quelconque est un diviseur de la somme de quatre carrés qui n'aient point de commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre carrés.

Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier donné et p- -+- q- -t- r2 + s- le nombre composé de quatre carrés qui est divisible par A, il est clair que, si chacune des racines p, q, r, s était moindre

que — s on aurait

de sorte que A serait plus grand que \Jp2 -+- q- + r- ■+- s2 comme on l'a supposé dans le Théorème précédent; donc, etc.

Or je disque quels que soient les nombres p, q,...,on peut toujours les

réduire à être moindres que — -, car soit, par exemple, />>— ' il est visible que si p'2 H- q- -i- r- ■+- s'2 est divisible par A, (p — mA)2 + q2-^r2-+- s'2 le sera aussi, de même que {mA— p)2 -+-q2 + r'2 -{-s2, quel que soit le nombre m\ or on peut toujours prendre m tel que p — m A ou mA—p

soit moindre que — ; donc il n'y aura qu'à mettre au lieu de p le nombre

p — mk ou mk — p; et l'on fera la même chose par rapport aux autres

nom lires s'ils se trouvent plus grands que — • Si p était divisible par A on aurait

de soi'te que dans ce cas il faudrait mettre o à la place de p; il en serait de même à l'égard de q s'il était aussi divisible par A, et ainsi des autres; mais comme on suppose que p, q, r et s n'ont aucun diviseur commun, ils ne peuvent pas être tous divisibles à la fois par A, et même il ne pourra pas y en avoir plus de deux qui le soient; autrement il faudrait que tous quatre le fussent; de sorte qu'il n'y a pas à craindre que, par ces réductions, le dividende p~ -+- q- ■+- r- -+- s'2 devienne nul.

Remarque. — Au reste il est clair que la démonstration du Théorème précédent n'en subsistera pas moins si l'on suppose qu'un ou deux des quatre carrés qui composent le dividende soient nuls; d'ailleurs il peut aussi arriver qu'un ou deux des quatre carrés qu'on trouvera pour le diviseur A soient nuls; donc, en général, tout nombre premier qui divisera la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers, pourvu qu'ils n'aient entre eux aucun diviseur commun, sera nécessairement égal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers.

Théorème II.

Si A est un nombre premier et que B et C soient des nombres quelconques positifs ou négatifs non divisibles par A, je dis qu'on pourra toujours trouver deux nombres p et q tels que le nombre p1 — Bq~ — C soit divisible par A.

Car : i° Si l'on peut trouver un nombre q tel que Bq'2 + C soit divisible par A, il n'y aura alors qu'à prendre p divisible par A, ou bien p = o;

20 S'il n'y a aucun nombre qui étant pris pour q puisse rendre Bq--hC divisible par A, faisons, pour abréger, B^2-f- C= b, et supposant

A— 3 P =^A 3-|- />/>A-5-+- ¥pk —l->r-,..-r- b ' ,

D'UN THEOREME D'ARITHMÉTIQUE. 199

on aura

multiplions cette équation par b -\-\ que nous supposerons égal à Q,

et l'on aura

(/>*-B^-C)PQ = Q(j9A-'-i)-(6A-'-i).

Or, par le Théorème connu de Fermât, que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, on sait que si A est un nombre premier quelconque et a un autre nombre quelconque non divisible par A, ak~' — i sera toujours divisible par A. Donc, si l'on suppose que/? ne soit pas divisible par A, on aura les deux nombres p's~' — r et bh~' — i divisibles à la fois par A, à cause que b n'est jamais divisible par A, quel que soit çf (hypothèse). Donc le nombre (p- — Bq- — CjPQ sera divisible par A, de sorte que, si ni P ni Q n'étaient divisibles par A, il faudrait quej»2 — By2 — C le fût, à cause que A esl un nombre premier par l'hypothèse. Ainsi la difficulté se réduit à prouver que l'on peut toujours prendre p et q tels que ni P ni Q ne soient pas divisibles par A, p ne l'étant pas non plus.

Pour cela je remarque d'abord que, quelle que soit la valeur de q, on peut toujours trouver une valeur de p plus petite que A et par conséquent non divisible par A, telle que P ne soit pas divisible par A. Car si l'on substitue successivement dans l'expression de P les nombres i, 2, 3,... jusqu'à A — 2 inclusivement à la place de p, et qu'on nomme P', P", P "',..., P'*-') les valeurs résultantes de P, on aura, par la théorie connue des différences,

Or, si tous les nombres P', P", P'",... jusqu'à P<A 2> étaient divisibles par A, il faudrait que le nombre 1 . 2 . 3 . . . (A — 3) le fût aussi; ce qui ne pouvant être à cause que A est premier, il s'ensuit que parmi les nombres P', P",..., P<A-2> il s'en trouvera nécessairement quelqu'un qui ne sera pas divisible par A; donc, etc.

Ainsi il ne reste plus qu'à prouver que l'on peut toujours prendre q tel

que Q ou (Bq* -+- C) -+- 1 ne soit pas divisible par A. Soit, pour plus de simplicité, =/??, et l'on aura

Q = BV~' -+- m.B"'-' gA-3C+ m(,"~I} B"-'gA-5C2 + . . . -h mBç'O-' + C» + 1 .

Or si C" -4- i n'est pas divisible par A, il est clair qu'il n'y aura qu'à prendre q divisible par A, ou bien q = o ; car alors Q ne sera pas divisible par A.

Mais si C" -+- 1 est divisible par A, alors pour que Q ne le soit pas, il faudra que q ne le soit pas, et que la quantité

B"' r/A - 3 + m B™-' q" ~ :' C -+- '"(/"~ '' B»-2gA- ' C2 -4- . . . -t- m B C'"-

ne le soit pas non plus; or on peut démontrer, comme plus haut, qu'il doit nécessairement exister une valeur de q plus petite que A et par conséquent non divisible par A, telle que la quantité dont il s'agit ne le soit pas. Car nommant R cette quantité, et désignant par R , R", R",..., R(A 2) les valeurs de R qui résulteraient de la substitution des nombres i , 2, 3,..., A — 2 à la place de q, on aura

(A-3HA-4)y.,. + R(A-„ = 1,a.3...(A 3)B,.

Or comme A est premier et que B n'est pas divisible par A, il est clair que le nombre 1.2. 3. . .(A — 3)B'" ne lésera pas non plus; donc, etc.

Corollaire I. — Si l'on fait B = — 1 et C — — 1 , on aura le nombre p- -+- q2 -+- 1 qui sera divisible par A; d'où il s'ensuit qu'étant donné un nombre premier quelconque on peut toujours trouver un nombre égal à la somme de trois carrés entiers dont l'un soit même l'unité, lequel soit divisible par le nombre premier donné.

Ce Théorème a déjà été démontré par M. Euler d'une autre manière, dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg ; mais pour

ne rien laisser à désirer à nos lecteurs nous avons cru devoir le démontrer de nouveau, d'autant plus que notre démonstration a l'avantage d'avoir une très-grande généralité.

Corollaire II. — Combinant donc le Théorème précédent avec celui de la Remarque qui est après le Théorème I, on en déduira celle-ci : que tout nombre premier est nécessairement égal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers. D'où il est aisé de conclure que tout nombre entier est aussi çgal à la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés entiers; car on sait que le produit de deux, ou de plusieurs nombres égaux chacun à la somme de quatre, ou d'un moindre nombre de carrés, est aussi nécessairement égal à la somme de quatre, ou d'un moindre nombre de carrés; en effet on a

(p2~+- 12~t~ ''2 "+" i2) (/,'2 + l'2 -+- r" -hs'2)

= ipp'— qq'— rr' + **' )2 -+- (pq' + qp' — rs' — sr' Y

-+- (pr' -+- qs' ■+■ rp' -+- sq')2 -t- ( qr' — ps' -+- sp' — rq' )2,

et même plus généralement

[p2 — Kq2— Cr--\-BCs2)(p'2 -Bq"— O'2 h- BCs'2)

— iPP' + Bqq'±C ( rr'-hBss')f — B [pq' -l- qp'± C( rs' -h sr')]2

— C [pr' — Bqs' ± [rp' — Bsq')]2 -+- BC [qr' — ps' ± [sp' — rq')]2.