NOUVELLES RÉFLEXIONS SUR LES TAUTOCHRONES

et qu'on mette au lieu de dx sa valeur pdy, on aura

dq = ( P;, -+■ Q ) dy\

ce qui, étant substitué dans l'équation de M. Bernoulli, donnera celle-ci

Vp + Q = K + 'ïq.

qui est l'équation de condition de M. Fontaine.

On voit par là que ce Théorème n'était pas nouveau le 19 novembre x 738, lorsque M. Fontaine le publia à Paris, comme il le dit à la page 28 du Recueil de ses OEuvres. On doit dire la même chose du Théorème de M. Fontaine qui concerne les fonctions où les variables remplissent partout le même nombre de dimensions; car on voit que M. Euler avait déjà fait usage de ce Théorème dans le second volume de sa Mécanique imprimée en 1736, pages 49 » 252 et 22^. Je ne nie pas, au reste, que M. Fontaine n'ait trouvé ces Théorèmes de lui-même : du moins je suis persuadé qu'il était aussi en état que personne de les trouver; mais on ne saurait disconvenir, ce me semble, qu'il n'ait été prévenu là-dessus par MM. Bernoulli et Euler.

[Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1770.)

C'est un Théorème connu depuis longtemps que tout nombre entier non carré peut toujours se décomposer en deux, ou trois, ou quatre carrés entiers; mais personne, que je sache, n'en a encore donné la démonstration. M. Bachet de Méziriac est le premier qui ait fait mention de ce Théorème; il paraît qu'il y a été conduit par la question 3ie du IVe Livre de Diophante, où le Théorème dont nous parlons est en quelque sorte tacitement supposé; mais M. Bachet s'est contenté de s'assurer de la vérité de ce Théorème par induction, en examinant successivement tous les nombres entiers depuis 1 jusqu'à 325; et quant à la démonstration générale, il avoue qu'il n'avait pas encore pu y parvenir. « Mihi sane (dit-il dans son Commentaire à la question citée) perfecta id démonstrations assequi nondum licuit, quam qui proferet maximas ei liabebo gratias, prœsertim cum non solum in hac quœstione sed et in nonnulhs libri quinti hoc supponere videatur Diophantus . » Je ne connais, jusqu'à présent, que deux Auteurs qui se soient appliqués à cette recherche, savoir M. Fermât et M. Euler. Dans les Notes que le premier a ajoutées au Commentaire de Bachet sur Diophante, il annonce un grand Ouvrage qu'il avait dessein de composer sur la théorie des nombres, et il promet

d'y démontrer cette proposition générale : que tout nombre est, ou triangulaire, ou composé de deux ou de trois nombres triangulaires; qu'il est, ou carré, ou composé de deux, ou de trois, ou de quatre carrés, et ainsi de suite; mais cet Ouvrage n'a jamais paru, et dans tout ce qui nous reste des écrits de ce grand Géomètre, on ne trouve absolument rien qui puisse fournir la moindre lumière pour la démonstration dont il s'agit. A l'égard de M. Euler, si son travail sur ce sujet n'a pas eu tout le succès qu'on pourrait en désirer, on ■lui a du moins l'obligation d'avoir ouvert la route qu'il faut suivre dans ces sortes de recherches. On peut voir dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pe'tersbourg le résultat des tentatives ingénieuses que ce grand Géomètre a faites pour parvenir à démontrer le Théorème de M. Bachet.

M. Euler fait voir que le produit de deux, ou de plusieurs nombres, dont chacun serait composé de quatre carrés entiers, sera aussi toujours composé de quatre, ou d'un moindre nombre de carrés entiers; d'où il suit d'abord que si le Théorème proposé peut être démontré pour tous les nombres premiers, il le sera aussi pour tous les autres nombres. M. Euler démontre, de plus, qu'un nombre premier quelconque étant proposé, on peut toujours trouver deux ou trois nombres carrés dont la somme soit divisible par ce nombre sans que chacun des carrés en particulier le soit, et que ces nombres carrés peuvent toujours être supposés tels que le quotient de la division de leur somme par le nombre premier donné soit moindre que ce même nombre. De là M. Euler conclut, avec raison, que le Théorème en question serait démontré pour tous les nombres premiers si l'on pouvait seulement démontrer cette autre proposition, savoir, que lorsque le produit de deux nombres est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, et que l'un des nombres produisants est pareillement la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, l'autre produisant le sera de même. « Si summa quatuor quadratorum (dit-il, page 55 du volume cité) a1 -+- b- -+- c- + d- fuerit divisibilis per summam quatuor quadratorum p'1 -f- q- 4- r- -+- s2, tum quotum non solum in fractis sed etiam in integris esse summam quatuor quadratorum, est Theorema elegantissimum Fermatii, cujus demonstratio cum ipso nobis

D'UN THEOREME D'ARITHMETIQUE. 191

est erepta ; fateor me adhuc hanc demonstratlonem invenire non potuisse, etc. »

C'est donc cette dernière proposition seule qu'il s'agit de démontrer. Or pour cela nous n'aurons pas besoin de supposer que le diviseur soit aussi représenté par la somme de quatre carrés, et nous démontrerons, en général, que tout nombre premier qui est diviseur d'un nombre quelconque composé de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, sans l'être de chacun des carrés en particulier, est nécessairement aussi composé de quatre ou d'un moindre nombre de carrés; après quoi il n'y aura plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème général de Bachet, que nous nous sommes proposé de donner dans ce Mémoire.

Lemme.

Les nombres qui sont la somme de deux carrés premiers entre eux n'admettent d'autres diviseurs que ceux qui sont pareillement la somme de deux carrés.

Cette proposition, qui est de M. Fermât, a été démontrée par M. Euler dans un Mémoire imprimé dans le tome IV des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Corollaire I. — Si deux nombres égaux chacun à la somme de deux carrés, tels que p2 ■+- q2 et r2 -+- s2, sont divisibles par un même nombre p, et que les quatre carrés p1, q2, r2, s2 n'aient aucun diviseur commun, je

dis que les deux quotients — — et seront aussi chacun égaux à

la somme de deux carrés.

Car soit m la plus grande commune mesure de p et q. et n la plus grande commune mesure de ret s, de sorte qu'en faisant

p = mp' , q = mq', r = nr', s—.iis'

les nombres p' et q' soient premiers entre eux, comme aussi les nombres r' et s' entre eux; on aura donc les deux nombres m2(p'2 -h q'2) et n2 (r'2 -+- s'2) qui seront divisibles à la fois par p. Or je remarque d'abord

que m et n seront premiers entre eux; autrement les quatre nombres p, q, rets auraient une commune mesure, ce qui est contre l'hypothèse. Maintenant soit p la plus grande commune mesure entre m2 et p, en sorte que l'on ait p = u.p', et que p' soit premier à — ; donc m2 sera divisible par p, et il faudra que p" -+- q'2 le soit par p', de sorte qu'on aura

or/)' et q' étant premiers entre eux, il suit du Lemme précédent que tant le diviseur p1 que le quotient seront la somme de deux carrés; ainsi l'on , aura

Soit de plus v2 le plus grand facteur carré du nombre p, en sorte que p = v2p.', p' étant un nombre qui ne soit divisible par aucun carré, et il est clair que m2 ne pourra être divisible par p à moins que m ne le soit par vp.'; soit donc m — Kvp', et l'on aura

— = Ky.

Or n2 [r"- h- s'2) doit être aussi divisible par p = pp'; donc p. divisera n2 (V2 -+- s'2); mais p divise déjà m2; donc, puisque m2 et n2 sont premiers entre eux, il s'ensuit que p sera aussi premier à n2 ; par conséquent il faudra que p divise r'2 -+- s"2 ; et comme p. = v2p', p' sera aussi un diviseur de r'2 -hs'2\ donc, puisque r' et s' sont premiers entre eux, le diviseur p' sera égal à la somme de deux carrés par le Lemme. Faisant donc p' = 72 ■+- 52, on aura

K2(y2 + aj) (a2 + (32) = K2(ya -+- ô(3)2+ K2(y(3 - Ôa)2, c'est-à-dire ésal à la somme de deux carrés. On démontrera de la même

manière que le quotient sera aussi égal à la somme de deux carrés.

Corollaire II. — Si la somme de deux carrés est divisible par une autre somme de deux carrés, le quotient sera toujours égal à la somme de deux carrés.

Car soit ci- + b2 divisible par c2 + d2, et si les nombres a, b, c, d ont une commune mesure, dénotons-la par /, en sorte que l'on ait

a= lp, b = lq, c = lr, d = Is,

et que p, q, r, s n'aient aucun commun diviseur; donc on aura

c- 4- d" r2 -f- s2 de sorte que p- + q'1 sera divisible par r'2 -+- s- ; or, faisant r2 ■+- s'2 = p, on aura par le Corollaire précédent P—2- égal a la somme de deux carrés; donc, etc.

Théorème I.

Si la somme de quatre carrés est divisible par un nombre premier plus grand que la racine carrée de la même somme, ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre carrés.

Car soit p'1 -+- q- + /•- + s- divisible par A, A étant un nombre premier, en sorte que l'on ait

et comme on suppose que le diviseur A est plus grand que

\fp2 -h q2 -h r2 -h s'',

il est clair que le quotient a sera plus petit que la même racine, de sorte qu'on aura a< A.

Cela posé, si les nombres/), q, r et s ont un diviseur commun d, il est clair que la somme de leurs carrés sera divisible par d'2, et qu'ainsi il faudra que ka le soit aussi; or d2 étant plus petit que Aa, d sera plus petit que v'AÔ < A, à cause de A < a ; donc , puisque A est premier (hypo-