Si l'on reprend les équations du n

x = a -+- hy -t- cy- -f- dy3, y* -t- D = o,

et qu'on y suppose y- = z, on aura ces deux-ci

x = {a + cz). -h (b -\- dz) Jz, z2 + D = o,

dont la première, étant délivrée de l'irrationn alité, devient

[x — a — cz Y — (b -f- dz Y z = o, laquelle, à cause de -2= — D, se réduira à cette forme

X1 -'-{f-+- gZ ) X -t- h -i- IfZ = O.

De cette manière on aura donc les deux équations

x2-\- (f -t- gz ) x -f- h -f- kz = o,

qui, par l'élimination de s, donneront une équation du quatrième degré comparable à la proposée

x* -\- mx3 -+- nx- -+- px H- </ = o ;

de sorte que, par la comparaison des termes analogues, on pourra déterminer quatre des cinq coefficients/, g, h, k et D, le cinquième demeurant à volonté.

Cette méthode revient à la même que celle que M. Bezout a donnée à la fin de son Mémoire de 1762 sur les équations, et qu'il a redonnée dans le Mémoire de 1765, page 548, comme un exemple d'une méthode générale qui s'étend à toutes les équations dont le degré est marqué par un nombre composé. Dans le premier de ces endroits l'Auteur suppose d'abord g = — 1 , et il trouve une équation finale en k du troisième degré. Dans le second il fait D — — 1 , et il parvient à une équation finale en g du sixième degré avec des exposants pairs, et par conséquent résoluble à la manière des équations du troisième degré.

Pour voir la raison de ces résultats, il n'y a qu'à remarquer que, puisque z = ± y/— D, on aura ces deux équations

x- -+- {f -\- g\j— D).r -t- h -f- k v'— D = o, x2 -4- (/— g y/=rD) x-hh — k y/^D = o,

dont le produit doit donner l'équation proposée; de sorte qu'il faudra que l'une de ces équations renferme deux des racines de la proposée, et que l'autre en renferme les deux autres. Ainsi l'on aura, par la nature des équations,

donc

Si l'on fait d'abord g = — 1, et qu'on substitue la valeur de y/— D tirée de la première équation dans la seconde, on aura

et de là on peut conclure que l'équation eu k ne sera que du troisième

degré; car, quelque permutation qu'on fasse entre les quatre racines x', x" , x'", xn', on n'aura jamais que ces trois valeurs différentes de k,

— x" — xiy

d'après lesquelles valeurs on pourrait, si l'on voulait, trouver directement l'équation même en k.

Si l'on fait D = — i , on aura

en sorte que la quantité g sera la même que la quantité z du n° 29, et qu'on y pourra appliquer les conséquences trouvées au n° 32. Si, dans cette hypothèse de D = — i, on cherchait k au lieu de g; on aurait

et l'équation en k serait aussi du sixième degré avec tous ses exposants pairs, ses racines étant

Au reste, cette équation en k pourrait se dériver aisément de l'équation en u du n° 30; car puisque

h = el u = xx -i- x xts

fil faut se souvenir que x , x", x'", xlx désignent ici les mêmes quantités

que a, b, c, d dans le numéro cité, c'est-à-dire les racines de la proposée),

on aura

donc

Ainsi, si dans l'équation en u on substitue cette valeur, et qu'on fasse ensuite disparaître l'irrationnalité.on aura une équation en k du sixième degré, dont tous les exposants seront multiples de 2.

50. Nous terminerons ici notre analyse des méthodes qui concernent la résolution des équations du quatrième degré. Non-seulement nous avons rapproché ces méthodes les unes des autres, et montré leur liaison et leur dépendance mutuelle; nous avons encore, ce qui était le point principal, donné la raison à priori pourquoi elles conduisent, les unes à des réduites du troisième degré, les autres à des réduites du sixième, mais qui peuvent s'abaisser au troisième; et l'on a dû voir que cela vient en général de ce que les racines de ces réduites sont des fonctions des quantités x' , x" , x'",xlv, telles, qu'en faisant toutes les permutations possibles entre ces quatre quantités, elles ne peuvent recevoir que trois valeurs différentes comme la fonction x'x" -i-x'"x™, ou six valeurs, mais deux à deux égales et de signes contraires, comme la fonction ce' -h oc"— x"— xlv, ou bien six valeurs telles, qu'en les partageant en trois couples et prenant la somme ou le produit des valeurs de chaque couple, ces trois sommes ou ces trois produits soient toujours les mêmes, quelque permutation qu'on fasse entre les quantités x', x", x'", xiv, comme la fonction trouvée au n° 42. C'est uniquement de l'existence de telles fonctions que dépend la résolution générale des équations du quatrième degré (*).

(*) La longueur déjà trop grande de ce Mémoire nous oblige d'en réserver la suite pour le volume de 1771, auquel il appartient naturellement. On y trouvera une Analyse générale des méthodes de MM. Tschirnaus, Euler et Bezout, faite par des principes analogues à ceux que nous avons suivis jusqu'ici, et d'après laquelle on sera en état de connaître à priori les résultats qu'on doit attendre, de l'application de ces méthodes aux équations qui passent le quatrième degré. On y trouvera aussi des remarques générales sur la résolution et la réduction des équations, lesquelles serviront à jeter un nouveau jour sur cette partie de l'Algèbre.

DES EQUATIONS. 305