Puisque la racine x est de la forme
Q + Rj-Mm— /) j2
S + Tj+j2 la quantité y devant être déterminée par l'équation à deux termes
yi -+- D = o,
il est facile de voir qu'on peut réduire l'expression de x à cette l'orme plus simple
x = a -\-.by -+- cy' -t- dy*,
a, h, c, d étant des coefficients dépendants de Q, R, — Car si l'on multiplie d'abord le haut et le bas de la fraction
Q -+- Rr-t- (m — f)y2
S + Ty-H.r2 par S — Ty-Hj2, le dénominateur de la nouvelle fraction deviendra
(S +,f2)2— T2j% c'est-à-dire S2 + ( 2 S — T2) j2 -+- y*, et, en mettant — D à la place de y\
donc, multipliant encore tant le numérateur que le dénominateur par S2 — D — (2S — T2)y2, le nouveau dénominateur sera
(S2 — D)2— (2S — T)2y\ ou bien, à cause de y* = — D,
où il n'y aura plus de y. Ainsi l'on pourra faire évanouir y du dénominateur de l'expression de x en le multipliant, aussi bien que le numérateur, par
(S - Tr H-r2) [S2 - d - (3s - t») y] ;
or par ce moyen le numérateur deviendra un polynôme où y montera au sixième degré; donc, en y substituant — D à la place dey', — By à la place de yh et — By2 à celle de ye, il ne s'y trouvera plus que les puissances y, y2 et y3, en sorte que l'expression de x sera de la forme
a -h by -h cy,J -+- dy3.
Maintenant, comme la substitution des valeurs de y tirées de l'équation y'' + D = o doit donner les quatre racines x de la proposée
on pourra regarder cette équation comme résultant de l'élimination de/ dans ces deux-ci
x = a -t- by -4- cy'1 -+- dy3 ei y* -t- D = o,
et la comparaison des termes homologues donnera quatre équations par lesquelles on pourra déterminer quatre quelconques des cinq coefficients a, b, c, d et D, le cinquième pouvant toujours être pris à volonté.
C'est la méthode que MM. Euler et Bezout ont proposée pour la résolution des équations du quatrième degré dans les Mémoires cités cidessus (18).
M. Euler fait c = i , et il trouve par l'élimination des trois autres indéterminées a, b, d une réduite en D du troisième degré. M. Bezout, au contraire, fait d'abord D — — i , et il trouve une réduite en c du sixième degré résoluble à la manière des équations du troisième, parce qu'elle ne contient aucune puissance impaire de l'inconnue. M. Bezout fait voir en même temps que, si au lieu de chercher c on cherchait b ou d, on tomberait dans une réduite du vingt-quatrième degré, avec des exposants multiples de 4. et par conséquent résoluble à la manière des équations du sixième degré. Il fait voir de plus que si l'on cherche une réduite
dont bd soit la racine, elle ne sera que du troisième degré; et par là il démontre que la réduite en b ou en d ne renfermera que les difficultés du troisième degré, puisqu'elle pourra, à l'aide de l'équation en bd, se décomposer en trois équations du huitième degré avec des exposants multiples de 4> lesquelles seront par conséquent résolubles à la manière de celles du second.
Nous nous contentons d'indiquer ici ces résultats, puisque le lecteur peut aisément les trouver de lui-même s'il n'est pas à portée de consulter les Mémoires cités; mais nous allons chercher à priori la raison de ces résultats, comme nous l'avons pratiqué jusqu'ici.
47. Nommons x', x", x'", xlv les quatre valeurs de x, c'est-à-dire les racines de la proposée, et les quatre valeurs de y tirées de l'équation y4 -+- D = o étant ± \j — D, ± y — D \/— i , on aura, par la substitution successive de ces valeurs dans l'équation
x= a ■+■ by ■+■ cy1 + dyz, ces quatre-ci
x' = a^b î/^-D + cï/~D2 + d ÏJ~—ÏÏ3, x" =a—b î/^-D -+- c ^D2 - d {/— D3,
Si l'on ajoute d'abord ensemble ces quatre équations on aura
x' + x" -v- x'" -+- x"1 = 4« = — rrij d'où
Ensuite, si l'on fait deux sommes à part des deux premières et des deux dernières., on aura
x'"-\- x'v= ia — ic \/D2, d'où l'on tire
CsjW = csj— D = — — -. — •
Donc, faisant avec M. Euler e = i, on aura
Et il est facile de conclure de cette expression de D que l'équation en D sera effectivement du troisième degré, comme M. Euler l'a trouvé, car elle ne sera autre chose que la réduite en t trouvée plus haut (32), dans laquelle on mettrait — 16D à la place de t, puisqu'on a fait
a, b, c, d désignant dans ce numéro-là les quantités que nous dénotons maintenant para;', x", x'", xlv, c'est-à-dire les quatre racines de la proposée.
Mais si M. Euler, au lieu de supposer c= r, avait supposé b = i, sa réduite en D n'aurait plus été du troisième degré, mais elle serait montée au sixième.
Car, si des quatre équations ci-dessus on prend la différence des deux premières et la différence des deux dernières, on a ces deux-ci
x' — x" = -ib\J — D-i-zdyf — D3, x'"— x'-= [26 J/^D — 2û?(/^D"3] ^/— 7, d'où l'on tire
, (,-^-if x'— x"— [x'"— x'y)sj— 1
De sorte qu'en faisant b = 1 et prenant les quatrièmes puissances on aura
quantité qui doit dépendre d'une équation du sixième degré, comme on le verra dans un moment.
48. Si l'on fait avec M. Bezoul D = — r, on aura par les formules III. 38
précédentes
d'où l'on peut conclure d'abord que la réduite en c sera du sixième degré avec tous les exposants pairs, ainsi que cet Auteur l'a trouvé; car il est évident que la valeur de — D, dans l'hypothèse de M. Euler, est la même que celle de c2 dans l'hypothèse présente, de sorte qu'en mettant — c- à la place de D dans la réduite de M. Euler on aura la réduite de M. Bezoul en c, laquelle sera par conséquent du sixième degré, résoluble à la manière des équations du troisième. Au reste, cette réduite en c sera la' même que celle en z du n° 29, en y substituant — ic à la place de s.
Voyons maintenant quelle devra être la forme des réduites en b et en d, en faisant toujours avec M. Bezout D = — r. On aura dans cette hypothèse, par les formules du numéro précédent,
, x' — x"+(x'" — XIV ) \j — I
d'où l'on tirera toutes les valeurs de b et de d en faisant toutes les permutations possibles entre les quatre racines a-', x", x'", x™, et l'on pourra juger, par le nombre et la forme de ces valeurs, du degré et de la nature des équations par lesquelles les quantités b et c? doivent être déterminées. Donc :
i° L'équation en b sera la même que l'équation en d, puisque la valeur de d résulte de celle de b en échangeant entre elles les deux racines x'", xlv, de sorte que les valeurs de b et de d seront les racines d'une même équation ;
2° Cette équation sera en général du degré 4-3.2.1, c'est-à-dire du vingt-quatrième, puisqu'il y a autant de permutations possibles entre les quatre quantités x' , x", x'", xu';
3° Cette équation du vingt-quatrième degré aura tous les exposants multiples de 4> car il est facile de voir que, b étant une de ses racines,
DES EQUATIONS. 299
— b, b\j — i , et —b\j—\ en seront aussi. En effet, prenant comme plus liaul
il est visible que la quantité b deviendra — b en échangeant x' en a?" et x'" en #IV, qu'elle deviendra b\l— 1 en échangeant x' en a;'" et a;" en x" , et qu'enfin elle deviendra —b\j— 1 en échangeant a;' en xlv et a?" en x'". Donc il faudra que l'équation en b demeure la même en y prenant b négatif et en y mettant ±bs] — 1 à la place de b, ce qui exige qu'elle ne contienne aucune puissance impaire de b ni aucune puissance pairement impaire. D'où il s'ensuit qu'en faisant b'' = v on aura une réduite en v du sixième degré. Et l'on remarquera que cette réduite en v sera la même que celle en — D dans l'hypothèse de b = 1 (numéro précédent); car il est visible que la valeur de — D est la même que celle de b'' ci-dessus.
On pourrait démontrer ici, par une méthode semblable à celle dont nous avons fait usage dans le n° 42, que cette équation en v pourra se décomposer en trois équations du second degré au moyen d'une réduite du troisième; mais on peut le prouver d'une manière plus simple que voici.
Je fais le produit des quantités b et d, j'ai
[x' — x"y--\- [x'"~ x,vy
bcl- ,6 ~~ '
or
= m2 — in — 2 {x'x" -+■ x"'x'y )',
et il est clair que la quantité x'x" + x'"x" est la même que la quantité u du n° 30 que nous avons vu dépendre d'une équation du troisième degré ; d'où il s'ensuit que l'équation en bd sera aussi du troisième degré. Et comme
bd =
ID
in — iu
on aura cette équation en bd, en substituant, dans l'équation en u du nu-
mero cite, a la place de u.
Supposons maintenant que p', p", p'" soient les racines de cette équation en bd, on aura (numéro cité)
m- — in x'x" -\- x'"x,y , ,
P = : PT = "Cl,
»i2 — 2 n x'x'" -4- x" x" P = — Tti — - 8 '
ni1 — in x1 x'" -\- x" x'" P = — Ib~ "8 "'
or, si l'on multiplie ensemble les deux équations
du n° 48, on a
et, prenant les carrés,
b4 — i b-d1 -+ d' = — 4 (p"' - p" ,)2 ; mais on a déjà 6û?= p'; donc
è< + </< — ap'2 — 4 (p'" — p")2,
et, à cause de d = y>
donc
équation du huitième degré, résoluble à la manière de celles du deuxième, ce qui s'accorde avec le résultat de M. Bezout.
Au reste, il est à propos de remarquer, touchant la réduite en b, qu'en
représentant (25) par i, a, a2, a3 les quatre racines de l'équation x" — i = o, on aura
, x' -\- ax'" -\- ot.-x" -\- oâx'"
ou bien, ce qui revient au même, en échangeant x" en x", x" en x" et
x'" en xlv,
, x' -f- ax" -\- a?x'" -f- a3ic,v o = — -. 1
expression analogue à celle qu'on a trouvée pour la réduite du troisième degré (nos 6 et 19), ce qui sert à faire voir l'analogie entre la résolution du quatrième degré déduite de cette dernière méthode et celle de la résolution des équations du troisième degré.
