Considérons en général l'équation du p/ème degré
{a) x* -+- mx^1 -+- nx^-2-h px'"3 + . . . = o.
Suivant la méthode de M. Tschirnaus on prendra une équation subsidiaire, telle que
( b s x'< -hfx?-1 -+■ gx?~2 + . . . -+- y = o,
qui contient p indéterminées/, g,... avec une nouvelle inconnue y; on éliminera par le moyen de ces deux équations l'inconnue x, et l'on aura une transformée en y qui sera du même degré \x que la proposée, et qui aura cette forme
( c ) y* h- A y?-' H- B yf-2 -+- C y*-* + . . . = o,
où les coefficients A, B, C,... seront des fonctions rationnelles et entières des coefficients indéterminés, y, g,..., et où l'on aura, en particulier, A égal à une fonction de la première dimension, B égal à une fonction de la seconde dimension, et ainsi de suite (14).
Or, ayant p indéterminées, on pourra par leur moyen faire évanouir, dans la transformée en y, p termes à volonté, ou bien établir entre ces termes telles relations qu'on voudra, dépendantes de p équations, et par là rendre l'équation en y résoluble, ou au moins réductible à une équation de degré inférieur. La résolution de cette équation en y donnera sur-le-champ celle de l'équation proposée en x, car nous avons démontré (11) que l'équation en y renferme les conditions nécessaires pour que les deux équations d'où l'on a éliminé x aient une racine commune; de sorte que la valeur de x ne pourra être que la racine commune aux deux équations (a) et (b), qu'on trouvera en cherchant leur plus grand commun diviseur et l'égalant à zéro.
On fera pour cela l'opération ordinaire, qu'on continuera jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste où x ne soit plus que linéaire : ce reste sera le diviseur cherché; ou bien, ce qui revient au même, on éliminera successivement des deux équations précédentes les puissances de x, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation qui ne renferme que la première puis-
sanee de x, et il est aisé de prouver que cette équation sera de la l'orme
F -4- G y 4- By2 -t- . . . + K yx 4- (L 4- M y +P)j' + ...+ R y1) x = o ; d'où l'on aura
F -+- G y ■+■ H y2 + . . . -+- Ky'>
X étant égal à — si p. est pair, et égal à si p. est impair.
De cette manière on aura donc x exprimé par une fonction rationnelle de y, de sorte que si l'on connaît, toutes les p valeurs de y, on aura par leur substitution successive les p. valeurs correspondantes de x qui seront les racines de la proposée.
52. Cette méthode est, comme on voit, très-simple et très-générale; mais la difficulté est de pouvoir déterminer les indéterminées/, g, h,..., en sorte que la transformée en y soit résoluble.
La supposition la plus naturelle et en même temps la plus générale qu'on puisse faire pour cet objet, c'est d'égaler à zéro les coefficients A, B,... de tous les termes intermédiaires; en sorte que l'équation en y se réduise à cette forme
yv- ■+■ V = o,
dont on peut toujours avoir immédiatement une ou deux racines suivant que p est impair, ou pair, et dont les autres racines ne dépendent plus
que d'une équation du degré ou — — (21), outre qu'on peut aussi
les déterminer toutes directement par la division de la circonférence du cercle (23).
Il faudra donc prendre dans ce cas p = p. — i pour avoir autant d'indéterminées que d'équations à remplir, et l'on tombera, en général, dans une équation finale du degré 1.2. 3. . .(p. — 1), comme on l'a prouvé dans le n° 14.
Si l'exposant p. est un nombre composé, en sorte que l'on ait p. = vsr, il est clair qu'on pourra, en faisant jw= s et faisant disparaître tous les termes de l'équation en y dont l'exposant ne sera pas divisible par ts, réduire cette équation en une équation en z du degré inférieur v. On aura
<-2)...(2ET — l)(25J-M]
(2SJ
ro. 2ro. 3ns. . .( v — i)
ro
V(V + l)(v -h 2). . .(fj.
donc, dans ce cas, v (ar — i) termes à faire disparaître; par conséquent il faudra prendre p = v(w— i) pour avoir autant d'indéterminées, et de ce qu'on a démontré dans le n° 14 il est facile de conclure que l'équation finale qu'on aura dans ce cas sera, en général, du degré marqué par le nombre
1.2.3... (ci— l)(BT + l)(OT + 2)...(2ro— l)(25J-M)(2BJ+ 2)...(3gj — i)...(vgt — l),
c'est-à-dire du degré ou bien de celui-ci
Tels seront donc les degrés auxquels pourront monter les réduites qu'il faudra résoudre lorsqu'on voudra faire usage de la méthode de M. Tschirnaus; mais il peut se faire que ces réduites soient telles qu'elles puissent s'abaisser à des degrés moindres : c'est ce qu'il serait comme impossible de reconnaître à posteriori, c'est-à-dire par la forme même de ces réduites, mais on pourra s'en assurer à priori par la considération de leurs racines, regardées comme des fonctions de celles de l'équation proposée, et de l'équation transformée en y, ainsi qu'on va le voir.
53. Désignons, en général, par x', x", se'", x", ... les p. racines de l'équation proposée
X* -+- mxv—' -+- nx^2 -h. . . = o,
et par y', y", y'",.-- les p. racines de la transformée
y* -+- A y'"'' -+- B/-^-2 + ■ . . -+- V = o ; substituant successivement ces racines dans l'équation subsidiaire
xf^-fxf-' -+- gxt~- -+■ hx?-% ■+- . . . -+- l-h y = à,
on aura p. équations particulières par lesquelles on pourra déterminer les coefficients indéterminés/, g, h,...; et comme chacune des racines
y', y", y"', . . . peut répondre également à chacune des racines x', x", x'", . . . ,
il s'ensuit que les inconnues/, g, h,... seront susceptibles de différentes valeurs, qu'on trouvera toutes en faisant toutes les combinaisons possibles des racines x', x", x'", . . . avec les racines/', y", y'", .... C'est par le nombre et la forme de ces différentes valeurs d'une même inconnue qu'on pourra juger du degré et de la nature de l'équation par laquelle elle doit être déterminée.
54. Supposons d'abord que tous les termes intermédiaires de la transformée en y doivent disparaître, en sorte qu'elle se réduise à la forme
pour cela il faudra faire dans l'équation subsidiaire p = (n — i pour avoir \}.— i indéterminées (52), et comme l'équation y^-t-V = o donne [en supposant pour plus de simplicité
et désignant par i, x, a2-,..., o^{ les racines de l'équation y^—i = o(24)], les racines u, au, a2w,..., a?~*u, on aura, en prenant ces racines pour y', y", y'",--, et les substituant, ainsi que les racines x' , x", x'",..., dans l'équation subsidiaire, on aura, dis-je, ces p. équations
/ x'*-* -hfx'*-2-\-gx'v-3-h. . .-h 1-+- « = o,
I x"v—i , fx"r—2 -+- gx"v-> 4...+ l^aK = o,
I x'"*-' +t/V>-2 -t- gx'"*-* -+- . . . -+- / -+- a2u= o,
par lesquelles on pourra déterminer tant la quantité u que les \x— i quantités/, g,..-, I-
Comme ces inconnues ne sont qu'au premier degré dans les équations précédentes, il est clair que le système de toutes ces équations ne donnera qu'une seule valeur déterminée pour chacune de ces inconnues. Or, supposons que l'on ait trouvé, par la méthode ordinaire d'élimination, la valeur de l'inconnue/ (on fera les mêmes raisonnements pour chacune
des autres indéterminées g, h /), il est visible que cette valeur sera
exprimée par une fonction des p. racines x', x", x'",... et de la racine a. Donc, si l'on y fait toutes les permutations possibles entre les p. racines a;',
x", x" ,..., on aura toutes les valeurs particulières de/qui devront être les racines de l'équation en/.
Comme le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre p. choses est exprimé en général par i . 2 . 3 . . . p., il s'ensuit qu'on aura, généralement parlant, 1.2. 3... p. valeurs particulières de/; mais, si parmi ces valeurs il s'en trouve d'égales entre elles, il est clair qu'on pourra les réduire à un plus petit nombre en faisant abstraction des valeurs égales, et nous allons faire voir qu'il n'y aura en effet que 1 . 2-. 3 ... (p. — 1) valeurs différentes de /.
55. Pour cela il n'est pas nécessaire de chercher l'expression de/ par le moyen des équations (e); il suffit d'examiner les variations dont le système de ces équations est susceptible par les permutations des racines x', x", x'",... entre elles. Pour connaître ces variations, on commencera par supposer que la racine x' demeure à sa place, c'est-à-dire que la première équation reste la même, et l'on échangera successivement entre elles, dans les autres équations, les p. — 1 racines x", x'", x",..., ce qui donnera 1.2. 3... (p. — 1) variations; ensuite on fera prendre à x' la place de x" et vice versa, ou, ce qui revient au même, on mettra dans la première équation aw à la place de u, et dans la seconde u à la place de au, et l'on fera ensuite les mêmes échanges entre les p. — 1 racines x", x'", x",..., ce qui donnera 1.2. 3. ..(p. — 1) nouvelles variations; on mettra encore x' à la place de x'", et vice versa, ou bien on substituera aru à la place de u dans la première équation, et u à la place de a2u dans la troisième, et l'on fera ensuite les mêmes échanges entre les racines #", x'",..., ce qui donnera aussi 1.2. 3... (p. — 1) variations, et ainsi de suite. Par ce moyen on aura p. fois 1.2. 3... (p. — ij variations, ce qui fait le nombre total 1.2. 3. ..p. de toutes les variations possibles du système des équations (e).
Maintenant je remarque que dès qu'on aura trouvé les 1.2. 3... (p. — 1) variations qui ont lieu tant que x' demeure à sa place, on pourra en déduire sur-le-champ toutes les autres en ne faisant que substituer successivement dans toutes les équations (e), à la place de u, les quantités
au, a2u, a3u,..., a.v—1 u; c'est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu d'attention en observant que
c/y- = i , aâ"+' = a, ay-+l = a2, . . . .
Or il est visible que ces substitutions de au, a2u,... à la place de u ne peuvent produire aucun changement dans la valeur de/; car, dès qu'on élimine u, il est indifférent quelle valeur on donne à cette quantité, et les résultats de l'élimination sont nécessairement indépendants de la valeur de u.
Donc il n'y aura proprement que les i . 2 . 3. . . (p — 1) variations, qui résultent des permutations entre les p. — 1 racines a;", x'" ,..., qui pourront donner des valeurs différentes pour/; de sorte que l'équation en /ne devra être que du degré 1.2. 3. ..(p. — 1), ce qui s'accorde avec ce que l'on a dit plus haut (52).
Mais voyons encore si cette équation ne sera pas susceptible de quelque réduction. Pour cela il faut distinguer le cas où l'exposant p. de la proposée est un nombre premier, et celui où cet exposant est un nombre composé.
56. Supposons que p soit un nombre quelconque premier, et faisant abstraction, dans le système des équations (e), de la première équation, à cause qu'on peut regarder la quantité x' comme fixe, voyons quelles sont les variations dont ce système est susceptible en vertu des permutations entre les autres racines x", x'",
Pour cela on suivra une méthode semblable à celle du numéro précédent. On regardera d'abord la quantité x" comme fixe et on cherchera les variations résultantes des 1.2 . 3 . . .(p— 2) permutations entre les p. — 2 autres racines x'", xlv, ... ; on mettra ensuite x" à la place de x'" et réciproquement, ce qui revient au même que de mettre a2u à la place de au dans la seconde équation, et au à la place dea2u dans la troisième, et l'on cherchera de nouveau les 1 . 2. 3. . . (p— 2) variations provenantes des permutations des autres racines x'", xlv,... ; on mettra x" à la place de x" et vice versa, ou, ce qui revient au même, on substituera a3 m a la place III. 40
de au dans la seconde équation, et au à la place de a3 «dans la quatrième, et l'on cherchera comme auparavant les 1.2. 3... (p — 2) variations provenantes des permutations entre les p — 2 racines x'", xlv,..., et ainsi de suite. Ce procédé donnera p — 1 fois 1.2. 3. ..(p. — 2) variations, ce qui fera le nombre total des 1.2. 3. ..(p — 1) variations cherchées.
Orje dis que dès qu'on aura trouvé les 1.2. 3... (p. — 2) variations, qui ont lieu tant que x" demeure à sa place, et qu'on change celles des autres racines x'", xIV,..., on pourra en déduire immédiatement toutes les variations résultantes des permutations entre les p. — 1 racines x", x'", x1",... en substituant successivement a2, a3,..., a1*-1 à la place de a dans toutes les équations (e); car par ce moyen le terme au de la seconde équation se changera successivement en a2u, a3u,..., et les termes a2u, <z3w,... des autres équations ne feront que s'échanger entre eux (à cause que p est un nombre premier, comme on peut s'en convaincre par ce qui a été démontré dans le n° 24), échanges qui équivalent évidemment à ceux des racines x", xlv , ... entre elles.
D'où je conclus que quand on aura trouvé par le moyen des équations (e) l'expression de/ en x', x", x'",... et a, et qu'on voudra connaître les i.2.3... (p. — 1) valeurs de/qui résultent des permutations des racines x", x'", xlv, . . . entre elles, et qui doivent être les racines de l'équation en/du degré i.2.3... (p — 1) (numéro précédent), il suffira de chercher les r.2.3...(p — 2) valeurs de /provenantes des seules permutations entre les racines a?"', x",... et d'y échanger ensuite successivement a en a2, a3, a-',..., a^-'; ou bien, ce qui revient au même, on échangera d'abord dans l'expression de/la racine a en a2, a3, . . . , a^' , et ensuite on fera dans chacune de ces p — 1 valeurs de / les 1 . 2 . 3 . . . (p — 2 ) permutations qui ont lieu entre les p. — 2 racines x", x'", ... ; on aura par là les 1 . 2 . 3. . . (p — 1) racines de l'équation en/.
57. Imaginons maintenant que les p — 1 valeurs de/ qui Viennent de la substitution successive de a2, a3,..., a^' à la place de a soient les racines de l'équation du (p. — i)ième degré
et comme i, a, a2, a3,... sont les racines de l'équation y^ — i = o (hypothèse), il est clair cjue «, v-, a3, . . . seront les p. — i racines de l'équation
= o, savoir
(g) yV-< -h yv—1 -\- y*-3 + . . .+ i = o.
Donc, si dans l'expression de /tirée des équations (e) on met, en général, y à la place de a, et qu'ensuite on élimine y par le moyen de l'équation (g), on aura nécessairement l'équation (/); d'où l'on voit que cette équation ne contiendra plus a, de sorte que les coefficients
F, G,... ne seront que des fonctions de x' , x", x'",....
Or, ayant trouvé l'équation (/), il n'y aura plus qu'à faire dans les expressions des coefficients F, G, . . . toutes les permutations possibles
entre les p. — 2 racines x'", x™ et l'on aura par là 1.2. 3. ..(p.— 2)
équations en /dont chacune sera du (p.— i)'""6 degré, et qui renfermeront par conséquent les 1.2. 3. ..(p. — 1) racines de l'équation générale en/.
De là il est facile de conclure que chacun des coefficients F, G,... ne pourra dépendre que d'une équation du degré i.2.3...(p — 2). En effet, comme ces coefficients sont des fonctions des racines #', x", x'",..., il est clair que chacun d'eux, par exemple F, devra être déterminé par une équation qui ait autant de racines que ce coefficient aura de différentes valeurs en faisant toutes les permutations possibles entre les racines x', x", x'",...; mais on a démontré plus haut (55) que les permutations de la racine x' en chacune des autres ne changent point les valeurs de/; par conséquent elles ne changeront pas non plus celles de F, G,... qui sont des fonctions des racines de (/); de plus on a vu (56) qu'on peut suppléer aux permutations de la racine x" en échangeant la racine a en a2, a3,..., de sorte que comme les valeurs de F, G,... sont indépendantes de a, elles ne recevront aucun changement par les permutations de a;". Ainsi il n'y aura que les permutations des p — 2 racines o/", x",... entre elles, qui donneront des valeurs différentes de F, ainsi que de
G, H, . . .; d'où il s'ensuit que le nombre de ces valeurs différentes sera simplement 1.2. 3... (p.— 2); par conséquent chacun des coefficients
F, G, H,... sera donné par une équation d'un degré marqué par ce même nombre.
58. Donc la réduite en/, qu'on trouvera par la méthode de M.Tschirnaus, et que nous avons vu devoir être, en général , du degré i . 2. 3 . . . (p.— 1) , sera toujours décomposable, lorsque p. est un nombre premier, en 1 . 2 . 3. . . (p. — 2) équations du degré p. — 1 , telles que l'équation (/) cidessus, et cela par le moyen d'une équation du degré 1 . 2 . 3. . . (p. — 2) ; car, quoique les coefficients F, G, . . . dépendent chacun d'une équation de ce dernier degré, cependant il suffira d'avoir l'équation en F, ou en G, etc., parce que les autres coefficients pourront toujours s'exprimer par des fonctions rationnelles de celui-là.
En effet, si l'on regarde l'équation (/) du degré p — 1 comme un diviseur de la réduite en /du degré i.2.3...(p — 1), on trouvera pour cela p. — 1 conditions par lesquelles on pourra déterminer, en général, les p, — 2 coefficients G, H, . . . en F, sans aucune extraction de racines, et ces valeurs étant ensuite substituées dans l'une des équations de condition, on aura l'équation même en F, laquelle ne devra pas passer le degré 1.2. 3. ..(p. — 2). Je dis qu'on peut déterminer, en général, les valeurs de G, H,... en F sans extraction de racines; cela est vrai tant qu'on ne donne à F aucune valeur particulière; mais lorsqu'on voudra substituer à la place de F les racines de l'équation en F pour avoir les valeurs correspondantes de G, H,..., s'il arrive que la racine substituée soit double, ou triple, ou, etc., les expressions rationnelles de G, H,... se trouveront en défaut, et ces quantités dépendront alors de la résolution d'une équation du second, ou du troisième, ou, etc., degré, comme nous le démontrerons plus bas (102).
On pourrait au reste trouver directement l'équation en F par le moyen de ses racines regardées comme des fonctions de x', x", x'", ... ; on a vu différents exemples de cette méthode dans les Sections précédentes. Et, supposant cette équation en F connue, on pourra, par son moyen, déterminer directement les valeurs de G, H,... par la méthode qu'on trouvera dans la Section quatrième (100).
Maintenant il est visible que l'équation en F sera toujours d'un degré plus haut que la proposée, excepté le seul cas de p. = 3; car, faisant p = 3, on a
faisant p = 5, on a
