fi — 2 ) = I

faisant p- = 7, on a

et ainsi de suite; donc, à moins que cette équation ne puisse encore s'abaisser à un degré moindre que p, la solution de M. Tschirnaus ne sera d'aucun usage; or c'est ce qui me parait presque impossible, en général. 11 est vrai que, quoique le degré 1.2... (p. — 2) de l'équation dont nous parlons soit plus élevé que le degré p. de la proposée, cette équation ne renfermera pas cependant des difficultés supérieures à celles des équations du degré p.; car, puisque ses 1.2. 3. ..(p.— 2) racines sont des fonctions connues des p. racines x', x", x" ',..., il est clair qu'elles ne seront pas indépendantes les unes des autres, mais qu'il y aura entre elles des relations exprimées par un nombre d'équations égal à la différence des exposants 1.2 .3. . .(p.— 2) et p.; de sorte que, supposant que l'on connaisse un nombre p. de ces racines, on connaîtra aussi par leur moyen toutes les autres.

D'où il s'ensuit que l'équation en F ne pourra renfermer dans le fond que les difficultés du degré p.; mais, par la même raison, il paraît aussi qu'elle devra toujours renfermer toutes les difficultés de ce degré, de sorte qu'on se trouvera ramené aux mêmes difficultés auxquelles la résolution générale de l'équation proposée est sujette.

59. Supposons présentement que l'exposant p de la proposée soit un nombre composé : dans ce cas il faudra apporter quelque modification au raisonnement du n° 56, car, si dans les termes de la progression géométrique «, or, oc3,..., af—1 on substituait indifféremment à la place de « les puissances a2, a3,..., ocv-~' , on ne retrouverait pas toujours les mêmes termes comme lorsque p est un nombre premier; nous en avons donné

la raison dans le n° 24, et nous y avons démontré aussi qu'il n'y a que les puissances de a dont l'exposant est un nombre premier à p. qui, étant substituées à la place de a dans les termes a, a2, a3,..., a^-' , puissent redonner les mêmes termes, de sorte qu'il faudra restreindre à ces seules puissances de a les résultats du n° 56.

Donc, si l'on désigne, en général, par v,7S,p,... tous les nombres moindres que p et premiers à p, dont nous supposerons que le nombre soit X — i, on pourra, par les substitutions de a\ a™, a?,... à la place de a dans l'expression de /, suppléer aux permutations de la racine as" dans les racines ;r(v M), x(u+{}, a?(P+l),... ; par conséquent, si l'on suppose que les X valeurs de/ qui viennent de la substitution a', a™, ap,... à la place de a soient les racines de l'équation

(A) /.+ Fr-, + G/-"- + ... = o,

cette équation sera un diviseur de la réduite en/, et les coefficients F,

G,... seront donnés chacun par une équation du degré "> — '

de sorte que dans ce cas la réduite en /, trouvée par la méthode de M. Tschirnaus, et qui est du degré x.2.3. . .(p. — ij, sera résoluble en

'V équations, chacune du degré X, et cela moyennant une

équation du degré

Pour trouver l'équation (h) à priori, il n'y aura qu'à mettre y à la place de a dans l'expression de/, et ensuite éliminer y par le moyen de l'équation dont les racines seraient a, a\ ara, <zp, . . . ; or voici comment on pourra avoir cette équation.