III

Cette détermination n'a aucune difficulté; car puisque i, «, |3, 7,... sont les racines de l'équation y^ — 1 = o, laquelle manque de tous ses termes intermédiaires, on aura, comme on sait,

c'est-à-dire que la somme de toutes les racines élevées chacune à une même puissance quelconque sera toujours nulle lorsque l'exposant de la puissance ne sera pas divisible par f/.; et à l'égard des puissances dont l'exposant sera multiple de [±, il est visible, par l'équation même yv- — 1 — o, qu'on aura ex^ = 1 , cr^ = 1 ,..., et ainsi des autres racines. Donc, si l'on ajoute ensemble les p. équations du numéro précédent, après les avoir multipliées respectivement par les p. racines correspondantes 1 , a, ]3, . . . élevées successivement aux puissances \j}ème, (p. — 1 yème, (fx— i)ième ,..., jusqu'à la première inclusivement, on aura sur-le-champ

jj.a = x' -i- x" -+- x'" -+- x" -i- . . . , p. ub = x' + a^~' x" -h Çf— ' x'" -4- y^— ' x" -(-... , p. u7c = x' -t- a'-~2x" -+- fiv--2x'" -+- y^"7x" -+- . . . , jj. u3cl = x' -t- cP^x" -+- $v—3x'" ■+- y*-3xiv -+- . . . ,

On voit d'abord que la quantité a doit être donnée par une équation linéaire, puisqu'elle conserve la même valeur, quelque permutation qu'on fasse entre les racines x', x",...; en effet, à cause de

on aura a=

Quant aux autres quantités ub, u2c, u3d,..., chacune d'elles dépendra, en général, d'une équation d'un degré égal au nombre de toutes les permutations possibles entre les ij. racines x', x", x'",..., nombre qui est, comme on sait, marqué par 1.2. 3. . . jjl; car à chacune de ces permuta-

tions il répondra une valeur différente des quantités ub, u2c, u3d,...; mais ces valeurs peuvent avoir entre elles des relations telles, que l'équation dont elles seront les racines puisse s'abaisser à un degré inférieur; c'est ce que nous allons examiner.

68. Pour cela nous remarquerons d'abord que, comme la quantité u demeure indéterminée, on pourra lui donner telle valeur qu'on voudra; la supposition la plus simple est de faire, avec M. Bezout, u = i, et par

conséquent

nous adopterons donc cette hypothèse et nous supposerons en même temps

ce qui donnera ces formules plus simples

a' = x' -f- ax" -+- (3a:'" + y x'v -h . . . , a"= x' + a-x" 4- (32ar"' -I- y2x" -+- . . . , a'"= x' + a?x" ■+- (33a:"' + y3 x1" -)-... ,

ad*-') — x' -+- av—'x" ■+- p*-lx"'-h yr—tx1* + . . . .

Considérons l'expression de la quantité a', et comme les racines de l'équation y^ — i = o, que nous avons désignées par i, a, jS, y,..., peuvent s'exprimer (24) par r, a, a2, a3,..., on aura |3 = a2, y = a3,...; de sorte que l'on aura

«'= x' -+- ax" -+- a? x'" -+- z3x" -4- . . . + a*~'xM,

et pour avoir les valeurs des autres quantités a", a',..., il n'y aura qu'à mettre, dans cette expression de a', à la place de a, ses puissances a2,

a3, D'où, et de ce qui a été démontré plus haut (56), on peut d'abord

conclure que, lorsque l'exposant \j. de l'équation proposée est un nombre premier, les quantités a', a", a'",... seront les racines d'une même équa-

tion; mais il n'en sera pas ainsi lorsque p. sera un nombre composé; c'est pourquoi il faudra, dans la suite, distinguer les deux cas, où p. est un nombre premier et où il n'est pas premier.