Supposons, en général

t = x' -+- <xx" -+- a? x'" -t- a'xlw ■+■ . . . -+- ix^~' x^,

et voyons quelle doit être la nature de l'équation en t. Pour cela on cherchera toutes les valeurs particulières de / qui résultent des 1.2. 3... p. permutations dont les p racines x', x" , ... sont susceptibles; et dans cette recherche on suivra une méthode analogue à celle du n° 55 ; ainsi l'on regardera d'abord la quantité x comme fixe, et l'on fera varier la position des p. — 1 autres quantités, lesquelles étant susceptibles de 1.2. 3. ..(p.— 1) permutations donneront autant de valeurs particulières de t, que nous dénoterons par t', t", t'",...; maintenant on fera varier, dans l'expression de chacune de ces valeurs, la position de la quantité x' en la mettant successivement à la place de x", x'",..., ce qui donnera les 1.2. 3... p. valeurs cherchées qui devront être les racines de l'équation en t.

Or on verra aisément que pour avoir toutes ces valeurs il n'y aura qu'à multiplier successivement chacune des valeurs t', t", t'",... par a, a2, a3,..., a^1; de sorte que les racines de l'équation en t seront exprimées

ainsi

l' , a.V , a't', a?t',..,, ol^~ '/',

t" , ut", cât", cât", . . . , oc'^~'l", t'", al'", a?i'", ocH'",..., ac^-'i'",

d'où il est facile de conclure que l'équation en t ne renfermera que des puissances de t dont les exposants seront multiples de p.

De là il s'ensuit donc qu'en faisant t^ = 6, en sorte que l'on ait

0 = (jp'-f- ax"-+- a1x'"+ a.'x'v -+- . . .y,

on aura une équation en 5 du degré 1. 2.3. . . (p. — 1), dont les racines

DES EQUATIONS. 333

seront les valeurs de 0 qui viennent des permutations des p — i racines x", x" ',... en faisant abstraction de la racine x' .

Cette conclusion a lieu quel que soit le nombre p. Examinons maintenant à part les deux cas où p est un nombre premier ou non.

70. Supposons d'abord que l'exposant p. soit un nombre premier, et nous remarquerons que pour trouver toutes les valeurs de 6 il suffira de chercher celles qui viennent des permutations des p — 2 racines x'", xlv,... entre elles, et dont le nombre est par conséquent 1 .2.3... (p — 2), et de substituer successivement, dans l'expression de chacune de ces valeurs, or, a3,..., or~~* à la place de or, c'est de quoi on peut se convaincre par un raisonnement analogue à celui du n° 56.

D'où il s'ensuit (57) que, si l'on suppose que les p — 1 valeurs de 6 qui répondent aux substitutions de or, oc3,..., a^1 à la place de « dans l'expression précédente de 6 soient les racines de cette équation du (p — \)ième degré

les coefficients T, U, X, . . . seront donnés chacun par une équation du degré i.2.3...(p— 2); de sorte que l'équation en S du degré 1.2. 3... (p.— 1) sera décomposable en 1.2. 3. .'.(p.— 2) équations du (p — i)lème degré cbacune, au moyen d'une équation du degré 1.2. 3. ..(p.— 2), car, ayant trouvé l'un des coefficients T, U, X,... par la résolution d'une équation de ce degré, il sera aisé d'avoir tous les autres.