PREMIÈRE PARTIE.— SECTION J

Ce théorème aurait lieu également et la démonstration serait la même si, sur le prolongement de la diagonale et des côtés, on prenait partout où Ton voudrait des parties égales à ces lignes; de sorte que, comme toute puissance peut être supposée appliquée à un point quelconque de sa direction, on peut conclure, en général, que deux puissances, représentées en quantité et en direction par deux droites placées dans un plan, ont une composée ou résultante représentée. en quantité et en direction par une droite placée dans le même plan, qui étant prolongée passe par le point de concours des deux droites, et qui soit telle, qu'ayant pris dans ce plan un point quelconque, et abaissé de ce point des perpendiculaires sur ces trois droites, prolongées s'il est nécessaire, le produit de là résultante par sa perpendiculaire soit égal à la somme ou à la différence des produits respectifs des deux puissances composantes par leurs perpendiculaires, selon que le point d'où partent les trois perpendiculaires sera pris au dehors ou au dedans des droites qui représentent les puissances composantes.

Lorsque ce point est supposé tomber sur la direction de la résultante, cette puissance n'entre plus dans l'équation, et l'on a l'égalité entre les deux produits des composantes par leurs perpendiculaires; c'est le cas de tout levier droit et angulaire, dont le point d'appui est le même que le point dont il s'agit, parce qu'alors l'action de la résultante est détruite par la résistance de l'appui.

Ce théorème, dû à Varignon, est le fondement de presque toutes les Statiques modernes, où il constitue le principe général appelé des moments. Son grand avantage consiste en ce que la composition et la résolution des forces y sont réduites a des additions et des soustractions; de sorte que, quel que soit le nombre des puissances à composer, on trouve facilement la puissance résultante, laquelle doit être nulle dans le cas d'équilibre.

13. J'ai rapporté l'époque de la découverte de Varignon à celle de la publication de son Projet, quoique dans l'Avertissement, qui est à

Il) MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

la tète (le la Nomdle Mécanique, on ait avancé qu'il avait donné deux ans auparavant, dans V Histoire de la République des Leures, un Ménooire sur les poulies à moufle, dans lequel il se servait des mouvements composés pour déterminer tout ce qui regarde cette machine; mais je dois observer que cet article manque d'exactitude. Le Mémoire dont il s'agit, sur les poulies, ne se trouve que dans les Nouvelles de la République des Lettres du mois de mai 1687, sous le titre de Nouvelle démoTislralion générale de V usage des poulies à moufle. L'auteur y considère l'équilibre d'un poids soutenu par une corde qui passe sur une poulie, et dont les deux parties ne sont pas parallèles. Il n'y fait point usage ni même mention du principe de la composition des forces, mais il emploie les théorèmes déjà connus sur les poids soutenus par des cordes, et il cite les Statiques de Pardis et de Dechales. Dans une seconde démonstration, il réduit la question au levier, en regardant la droite qui joint les deux points où la corde abandonne la poulie, comme un levier chargé du poids appliqué a la poulie, et dont les extrémités sont tirées par les deux portions de la corde qui soutient la poulie.

Pour ne rien omettre de ce qui regarde l'histoire de la découverte de la composition des forces, je dois dire un mot d'un petit écrit publié par La mi en 1687, sous le titre de Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des éléments des mécaniques. L'auteur observe que, si un corps est poussé par deux forces suivant deux directions diflerentes, il suivra nécessairement une direction moyenne; de sorte que, si le chemin suivant cette direction lui était fermé, il demeurerait en repos, et les deux forces se feraient équilibre. Or il détermine la direction moyenne par la composition des deux mouvements que le corps prendrait dans le premier instant en vertu de chacune des deux forces, si elles agissaient séparément, ce qui lui donne la diagonale du parallélogramme dont les deux côtés seraient les espaces parcourus en même temps par l'action des deux forces et, par conséquent, proportionnels aux forces. De là il tire tout de suite le théorème que les deux forces sont entre elles en raison réciproque des sinus des angles que

leurs directions font avec la direction moyenne que le corps prendrait s'il n'était pas arrêté, et il en fait l'application au plan incliné et au levier lorsque ses extrémités sont tirées par des puissances dont les directions font un angle ; mais, pour le cas où ces directions sont parallèles, il emploie un raisonnement vague et peu concluant.

La conformité du principe employé par Lami avec celui de Varignon avait fait dire à l'auteur de histoire des Ombrages des Savants (avril 1688) qu'il y avait apparence que le premier devait au dernier la découverte de son principe. Lami s'est justifié de cette imputation, dans une Lettre publiée dans le Journal des Savants du i3 septembre 1G88, à laquelle le journaliste a répondu au mois de décembre de la même année ; mais cette contestation, à laquelle Varignon n'a point pris part, n'a pas été plus loin, et l'écrit de Lami paraît être tombé dans l'oubli.

Au reste, la simplicité du principe de la composition des forces et la facilité de l'appliquer à tous les problèmes sur l'équilibre l'ont fait adopter des mécaniciens aussitôt après sa découverte, et l'on peut dire qu'il sert de base à presque tous les Traités de Statique qui ont paru depuis.

14. On ne peut cependant s'empêcher de reconnaître que le principe du levier a seul l'avantage d'être fondé sur la nature de l'équilibre considéré en lui-même, et comme un état indépendant du mouvement; d'ailleurs il y a une différence essentielle dans la manière d'estimer les puissances qui se font équilibre dans ces deux principes; de sorte que, si l'on n'était pas parvenu à les lier par les résultats, on aurait pu douter avec raison s'il était permis de substituer au principe fondamental du levier celui qui résulte de la considération étrangère des mouvements composés.

En effet, dans l'équilibre du levier, les puissances wsont des poids ou peuvent être regardées comme tels, et une puissance n'est censée double ou triple d'une autre qu'autant qu'elle est formée parla réunion de deux ou trois puissances égales chacune à l'autre puissance. Mais la tendance à se mouvoir est supposée la même dans chaque puissance, XI. 3

quelle que soit son intensité; au lieu que» dans le principe de la composition des forces, on estime la valeur des forces par le degré de vitesse qu'elles communiqueraient au corps auquel elles sont appliquées, si chacune était libre d'agir séparément, et c'est peut-être cette différence dans la manière de concevoir les forces qui a empêché longtemps les mécaniciens d'eniployer les lois connues de la composition des mouvements dans la théorie de l'équilibre, dont le cas le plus simple est celui de l'équilibre des corps pesants.

15. On a cherché depuis à rendre le principe de la composition des forces indépendant de la considération du mouvement, et a l'établir uniquement sur des vérités évidentes par elles-mêmes. Daniel Bernoulli (*) a donné le premier, dans les Commentaires de l'Académie de Pétersbourg, tome I*% une démonstration très ingénieuse du parallélogramme des forces, mais longue et compliquée, que d'AIembert a ensuite rendue un peu plus simple dans le premier Volume de ses Opuscules.

Cette démonstration est fondée sur ces deux principes :

1*^ Que, si deux forces agissent sur un même point dans des directions différentes, elles ont pour résultante une force unique qui divise en deux également l'angle compris entre leurs directions lorsque les deux forces sont égales, et qui est égale à leur somme lorsque cet angle est nul, ou à leur différence lorsque l'angle est de deux droits; 2? que des équi-multiples des mêmes forces, ou des forces quelconques qui leur soient proportionnelles, ont une résultante équi-multiple de leur résultante ou proportionnelle a cette résultante, les angles demeurant les mêmes.

Ce second principe est évident en regardant les forces comme des quantités qui peuvent s'ajouter ou se -soustraire.

A l'égard du premier, on le démontre en considérant le mouvement qu'un corps, poussé par deux forces qui ne se font pas équilibre, doit

(') La même démonstration a été reproduite et simplifiée par M. Aimé, Journal de Mathématiques de Liouville, T' série, t. 1", p. 335. (/. Bertrand.)

prendre, et qui» étant nécessairement unique, peut être attribué à une force unique agissant sur lui dans la direction de son mouvement. Ainsi Ton peut dire que ce principe n'est pas tout à fait exempt de la considération du mouvement.

Quant à la direction de la résultante dans le cas de l'égalité des deux forces, il est clair qu'il n'y a pas plus de raison pour qu'elle soit plus inclinée à l'une qu'à l'autre de ces deux forces, et que, par conséquent, elle doit couper l'angle de leurs directions en deux parties égales.

On a ensuite traduit en Analvse le fond de cette démonstration, et on lui a donné différentes formes plus ou moins simples, en considérant la résultante comme fonction des forces composantes et de l'angle compris entre leurs directions. {Voir le second tome des Mélanges de la Société de Turin, les Mémoires de l'Académie des Sciences, de 1769, le sixième Volume des Opuscules de d'Alembert, etc.) Mais il faut avouer qu'en séparant ainsi le principe de la composition des forces de celui de la composition des mouvements, on lui fait perdre ses principaux avantages, l'évidence et la simplicité, et on le réduit à n'être qu'un résultat de constructions géométriques ou d'Analyse.

16. Je viens enfin au troisième principe, celui des vitesses virtuelles. On doit entendre par vitesse virtuelle celle qu'un corps en équilibre est disposé à recevoir, en cas que l'équilibre vienne à être rompu, c'est-à-dire la vitesse que ce corps prendrait réellement dans le premier instant de son mouvement; et le principe dont il s'agit consiste en ce que des puissances sont en équilibre quand elles sont en raison inverse de leurs vitesses virtuelles, estimées suivant les directions de ces puissances.

Pour peu qu'on examine les conditions de l'équilibre dans le levier et dans les autres machines, il est facile de reconnaître cette loi, que le poids et la puissance sont toujours en raison inverse des espaces que l'un et l'autre peuvent parcourir en même temps : cependant il ne parait pas que les anciens en aient eu connaissance. Guido Ubaldi est

peut-être le premier qui Tait aperçue dans le levier et dans les poulies mobiles ou moufles. Galilée Ta reconnue ensuite dans les plans inclinés et dans les machines qui en dépendent, et il Ta regardée comme une propriété générale de l'équilibre des machines. {Voir son Traité de Mécanique et le scolie de la seconde proposition du troisième Dialogue, dans l'édition de Bologne de iG55.)

Galilée entend par moment d'un poids ou d'une puissance appliquée à une machine l'eff^ort, l'action, l'énergie, Vimpetus de cette puissance pour mouvoir la machine, de manière qu'il y ait équilibre entre deux puissances, lorsque leurs moments pour mouvoir la machine en sens contraires sont égaux; et il fait voir que le moment est toujours proportionnel à la puissance multipliée par la vitesse virtuelle, dépendante de la manière dont la puissance agit.

Cette notion des moments a aussi été adoptée par Wallis, dans sa Mécanique publiée en 1G69. L'auteur y pose le principe de l'égalité des moments pour fondement de la Statique, et il en déduit au long la théorie de l'équilibre dans les principales machines.

Aujourd'hui on n'entend plus communément par moment que le produit d'une puissance par la distance de sa direction à un point, ou à une ligne, ou à un plan, c'est-à-dire par le bras de levier par lequel elle agit; mais il me semble que la notion du moment donnée par Galilée et par Wallis est bien plus naturelle et plus générale, et je ne vois pas pourquoi on l'a abandonnée pour y en substituer une autre qui exprime seulement la valeur du moment dans certains cas, comme dans le levier, etc.

Descartes a réduit pareillement toute la Statique à un principe unique qui revient, pour le fond, à celui de Galilée, mais qui est prér sente d'une manière moins générale. Ce principe est, qu'il ne faut ni plus ni moins de force pour élever un poids a une certaine hauteur, qu'il en faudrait pour élever un poids plus pesant à une hauteur d*autant moindre, ou un poids moindre à une hauteur d'autant plus grande (tWrla Lettre 73 du tome I" publié en iGSy, et le Traité de Mécanique imprimé dans les Ouvrages posthumes). D'où il résulte qu'il y aura

équilibre entre deux poids, lorsqu'ils seront disposés de manière que les chemins perpendiculaires qu'ils peuvent parcourir ensemble soient en raison réciproque des poids. Mais, dans l'application de ce principe aux différentes machines, il ne faut considérer que les espaces parcourus dans le premier instant du mouvement, et qui sont proportionnels aux vitesses virtuelles, autrement on n'aurait pas les véritables lois de l'équilibre.

Au reste, soit qu'on regarde le principe des vitesses virtuelles comme une propriété générale de l'équilibre, ainsi que l'a fait Galilée, soit qu'on veuille le prendre avec Descartes et Wallis pour la vraie cause de l'équilibre, il faut avouer qu'il a toute la simplicité qu'on peut désirer dans un principe fondamental; et nous verrons plus bas combien ce principe est encore recommandable par sa généralité.

Torricelli, fameux disciple de Galilée, est l'auteur d'un autre principe, qui dépend aussi de celui des vitesses virtuelles; c'est que, lorsque deux poids sont liés ensemble et placés de manière que leur centre de gravité ne puisse pas descendre, ils sont en équilibre dans cette situation. Torricelli ne l'applique qu'au plan incliné, mais il est facile de se convaincre qu'il n'a pas moins lieu dans les autres machines. {Voir son Traité De motu gravium naturaliter descendenlium, qui a paru en 16G4.)

Le principe de Torricelli en a fait naître un autre, dont quelques auteurs ont fait usage pour résoudre avec plus de facilité différentes questions de Statique; c'est celui-ci : que dans un système de corps pesants en équilibre, le centre de gravité est le plus bas qu'il est possible. En effet, on sait, par la théorie de maximis et minùnis, que le centre de gravité est le plus bas lorsque la différentielle de sa descentes est nulle, ou, ce qui revient au même, lorsque ce centre ne monte ni ne descend, tandis que le système change infiniment peu de place.

17. Le principe des vitesses virtuelles peut être rendu très général de cette manière :

Si un système quelconque de tant de corps ou points que Von veut y tirés

chacun par des puissances quelconques, est en équilibre, et qu'on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances, multipliées chacune par V espace que le point où elle est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espcu^es parcourus dans le sens des puissances, et comme négatifs les espaces parcourus dans un sens opposé.

Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait aperçu cette grande généralité du principe des vitesses virtuelles, et son utilité pour résoudre les problèmes de Statique. C'est ce qu'on voit dans une de ses Lettres à Varignon, datée de 1717» que ce dernier a placée à la tête de la Section neuvième de sa Nouvelle Mécanique, Section employée tout entière à montrer par différentes applications la vérité et l'usage du principe dont il s'agit.

Ce même principe a donné lieu ensuite à celui queMaupertuis a proposé dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1740, sous le nom de Loi de repos, et qu'Euler a développé davantage et rendu plus général dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1 751. Enfin c'est encore le même principe qui sert de base à celui que Courtivron a donné dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour 1748 et 1749»

Et, en général, je crois pouvoir avancer que tous les principes généraux qu'on pourrait peut-être encore découvrir dans la science de l'équilibre ne seront que le même principe des vitesses virtuelles, envisagé différemment, et dont ils ne différeront que dans l'expression.

Mais ce principe est non seulement en lui-même très simple et très général; il a, de plus, l'avantage précieux et unique de pouvoir se traduire en une formule générale qui renferme tous les problèmes qu'on peut proposer sur l'équilibre des corps. Nous exposerons cette formule dans toute son étendue; nous tâcherons même de la présenter d'une manière encore plus générale qu'on ne l'a fait jusqu'à présent, et d'en donner des applications nouvelles.

18. Quant à la nature du principe des vitesses virtuelles, il faut convenir qu'il n'est pas assez évident par lui-même pour pouvoir être érigé en principe primitif; mais on peut le regarder comme l'expression générale des lois de l'équilibre, déduites des deux principes que nous venons d'exposer. Aussi, dans les démonstrations qu'on a données de ce principe, on l'a toujours fait dépendre de ceux-ci par des moyens plus ou moins directs. Mais il y a, en Statique, un autre principe général et indépendant du levier et de la composition des forces, quoique les mécaniciens l'y rapportent communément, lequel parait cire le fondement naturel du principe des vitesses virtuelles : on peut l'appeler le principe des poulies.

Si plusieurs poulies sont jointes ensemble sur une même chape, on appelle cet assemblage polispaste ou moufle, et la combinaison de deux moufles, l'une fixe et l'autre mobile, embrassées par une même corde dont l'une des extrémités «st fixement attachée, et l'autre est attirée par une puissance, forme une machine dans laquelle la puissance est au poids porté par la moufle mobile comme l'unité est au nombre des cordons qui aboutissent à cette moufle, en les supposant tous parallèles et faisant abstraction du frottement et de la roideur de la corde ; car il est évident qu'à cause de la tension uniforme de la corde dans toute sa longueur, le poids est soutenu par autant de puissances égales à celle qui tend la corde qu'il y a de cordons qui soutiennent la moufle mobile, puisque ces cordons sont parallèles et qu'ils peuvent même être regardés comme n'en faisant qu'un, en diminuant, si l'on veut, à l'infini le diamètre des poulies.

En multipliant ainsi les moufles fixes et mobiles, et les faisant toutes embrasser par la même corde au moyen de diff^érentes poulies fixes de renvoi, la même puissance, appliquée à son extrémité mobile, pourra soutenir autant de poids qu'il y a de moufles mobiles, et dont chacun sera à cette puissance comme le nombre des cordons de la moufle qui le soutient est à l'unité.

Substituons, pour plus de simplicité, un poids à la place de la puissance, après avoir fait passer sur une poulie fixe le dernier cordon qui

soutient ce poids, que nous prendrons pour l'unité; et imaginons que les différentes moufles mobiles, au lieu de soutenir des poids, soient attachées à des corps regardés comme des points, et disposés entre eux en sorte qu'ils forment un système quelconque donné. De cette manière, le même poids produira, par le moyen de la corde qui embrasse toutes les moufles, différentes puissances qui agiront sur les différents points du système, suivant la direction des cordons qui aboutissent aux moufles attachées à ces points, et qui seront au poids comme le nombre des cordons est à l'unité; en sorte que ces puissances seront représentées elles-mêmes par le nombre des cordons qui concourent a les produire par leur tension.

Or il est évident que, pour que le système tiré par ces différentes puissances demeure en équilibre, il faut que le poids ne puisse pas descendre par un déplacement quelconque infiniment petit des points du système (* ) ; car, le poids tendant toujours à descendre, s'il y a un déplacement du système qui lui permette de descendre, il descendra nécessairement et produira ce déplacement dans le système.

Désignons par a, ji, y, ... les espaces infiniment petits que ce déplacement ferait parcourir aux différents points du système suivant la direction des puissances qui les tirent, et par P, Q, R, . . . le nombre des cordons des moufles appliquées à ces points pour produire ces mêmes puissances; il est visible que les espaces a, p, y, ... seraient aussi ceux par lesquels les moufles mobiles se rapprocheraient des moufles fixes qui leur répondent, et que ces rapprochements diminueraient la longueur de la corde qui les embrasse des quantités Pa, QP, Ry, ... ; de sorte qu'à cause de la longueur invariable de la corde. Te poids descendrait de l'espace

P«4-Q(3-hRy-h....

(*) On a objecté, avec raison, à cette assertion de Lagranije l'exemple d'un point pesant en équilibre au sommet le plus élevé d'une courbe ; il est évident qu'un déplacement inCniment petit le ferait descendre, et, pourtant, ce déplacement ne se produit pas. La première démonstration rigoureuse du principe des vitesses virtuelles est due à Fourier(/o«rnal de l* École Polytechnique, tome II, an VU). Le même Cahier du Journal contient la démonstration que Lagrange reproduit ici. (/. Bertrand,)

Donc il faudra» pour l'équilibre des puissances représentées par les nombres P, Q, R, . . ., que l'on ait l'équation

Pa4-Qî3-hRy-i-... — o,

ce qui est l'expression analytique du principe général des vitesses virtuelles.

19. Si la quantité Pa-h Qp -hRy-h..., au lieu d'être nulle, était négative, il semble que cette condition suffirait pour établir l'équilibre, parce qu'il est impossible que le poids monte de lui-même; mais il faut considérer que, quelle que puisse être la liaison des points qui forment le système donné, les relations qui en résultent entre les quantités infiniment petites a, p, y, ... ne peuvent être exprimées que par des équations différentielles, et, par conséquent, linéaires entre ces quantités; de sorte qu'il y en aura nécessairement une ou plusieurs d'entre elles qui resteront indéterminées, et qui pourront être prises en plus ou en moins; par conséquent, les valeurs de toutes ces quantités seront toujours telles, qu'elles pourront changer de signe à la fois. D'où il s'ensuit que, si dans un certain déplacement du système la valeur de la quantité Pa -h Qp -f- Ry -h . . . est négative, elle deviendra positive en prenant les quantités a, p, y, ... avec des signes contraires; ainsi le déplacement opposé étant également possible ferait descendre le poids et détruirait l'équilibre.