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entre lesquelles elles seront nécessairement renfermées; d'où il suit que, dans ce cas, le système ne pourra que s'écarter très peu de son état d'équilibre et ne pourra faire que des oscillations très petites et d'une étendue déterminée ;

2" Que dans le cas du maximum de H, dans lequel les coefficients /, f(, h, ... sont tous négatifs, la quantité toujours positive

pourra croître à l'infini, et qu'ainsi le système pourra s'écarter de plus en plus de son état d'équilibre. Du moins l'équation ci-dessus fait voir que, dans ce cas, rien n'empêche que les variables E, r., ^, . . . n'aillent toujours en augmentant, mais il ne s'ensuit pas encore qu'elles doivent, en effet, aller en augmentant; nous démontrerons cette dernière proposition dans la sixième Section de la Dynamique.

Si tous les coefficients/, g, h, ... étaient nuls, on sait, par les méthodes de mavirnis et minimis, qu'il faudrait, pour l'existence d'un minimum ou d'un maximum, que les termes de trois dimensions disparussent et que ceux de quatre dimensions fussent constamment positifs ou négatifs; et c'est aussi de cette manière qu'on pourra juger de la stabilité de l'équilibre donné par l'évanouissement des termes de la première dimension, lorsque ceux de deux dimensions s'évanouissent en même temps.

26. Au reste, ces propriétés des maxima et minima, qui ont lieu dans l'équilibre d'un système quelconque de forces, ne sont qu'une conséquence immédiate de la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles h la fin de la première Section.

En effet, soit/? la distance entre les deux premières moufles, l'une fixe, l'autre mobile, jointes par P cordons qui produisent une force

proportionnelle à P, et qu'on peut représenter simplement par P, en prenant le poids qui tend la corde pour l'unité; soient de même ç' la distance entre les deux moufles qui produisent la force Q, ria distance

entre les moufles qui produisent la force R, Il est évident que Pp

sera la longueur de la portion de la corde qui embrasse les deux premières moufles; pareillement, Qq, Rr, ... seront les longueurs des portions de la corde qui embrasse les autres moufles, de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par les moufles fixes et mobiles

sera P/? -*- Qy 4- Rr h-

Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par a; ajoutons-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre la dernière poulie de renvoi et le poids attaché à l'extrémité de la corde, et que nous désignerons par //; enfin soit /la longueur totale de la corde, dont la première extrémité est fixement attachée à un point immobile dans l'espace, et dont l'autre extrémité porte le poids; on aiira évidemment l'équation

/ = P/> H- Q^ -H Rr -h . . . -H a -h w,

d'où l'on tire

/f zz: / — a — Vp — Q 7 — R /• — ....

Or, en supposant les forces P, Q, R, ... constantes, c'est-à-dire indépendantes dé/?, q, r, ..., ce qui est toujours permis dans l'équilibre où l'on ne considère que des déplacements infiniment petits, il est visible ( * ) que la quantité P/? h- Qçr -h Rr 4- . . . sera la même que nous

( * ) Cette substitution do forces constantes à des forces variables changerait, au contraire, complètement la nature de la fonction n. Si l'on considère, par exemple, une attraction inversement proportionnelle à la distance et égale ù -> on aura

fPdp = / ^dp = ptlog/>;

en remplaçant, au contraire, P par une constante, on aurait pour intégrale P/->, ce qui diffère beaucoup du résultat précédent. On peut dire seulement que, pour la valeur des variables qui correspond à l'équilibre, les deux fonctions, qncriciue très différentes, ont la môme variation. (/. Bertrand,)

avons désignée par n dans l'article 21 ; ainsi Ton aura, on général,

u=L i — a — ir,

011 / et a sont des quantités constantes.

27. Maintenant il est clair que, comme le poids tend à descendre le plus qu'il est possible, l'équilibre n'aura lieu, en général, que lorsque la valeur de u qui exprime la descente du poids depuis la poulie fixe sera un maximum et que, par conséquent, celle de U sera un minimum ; et l'on voit en même temps que, dans ce cas, l'équilibre sera stable, parce qu'un petit changement quelconque dans la position du système ne pourra que faire remonter le poids, lequel tendra k redescendre et il remetti*e le système dans l'état d'équilibre.

Mais nous avons vu que, pour l'équilibre, il suffit que l'on ait û/lD =: o et, par conséquent, du = o^ ce qui a lieu aussi lorsque la valeur de a est un minimum, auquel cas le poids, au lieu d'être le plus bas, sera, au contrairéi le plus haut. Dans ce cas, il est visible qu'un petit changement dans la position du système ne pourra que faire descendre le poids, qui alors ne tendra plus à remonter, mais à descendre davantage et à éloigner de plus en plus le système du premier état d'équilibre; d'où il suit que cet équilibre n'aura point deslabilàé et qu'étant une fois troublé, il ne tendra pas à se rétablir.