Soient

L =: O, M :=:. O, N zi: o, ...

les différentes équations de condition données par la nature du sys-

lème, les quantités L, M, N, . . . étant des fonctions finies des variables r, V, :;, .r, y', z\ ... ; en difTérentiant ces équations, on aura celles-ci :

dL — o, dM = 0, ^A' = o, . . . ,

lesquelles donneront la relation qui doit avoir lieu entre les différcntiolles des mêmes variables. En général, nous représenterons par

dL = o, ^M =: o, «/N =r o,

les équations de condition entre ces différentielles, soit que ces équations soient elles-mêmes des différences exactes ou non, pourvu que les différentielles n'y soient que linéaires.

Maintenant, comme ces équations ne doivent servir qu'à éliminer un pareil nombre de différentielles dans la formule générale de l'équilibre, après quoi les coefficients des différentielles restantes doivent être égalés chacun à zéro, il n'est pas difficile de prouver, par la théorie (le l'élimination des équations linéaires, qu'on aura les mêmes résultats si l'on ajoute simplement à la formule dont il s'agit les différentes équations de condition

dL = G, ^I =: o, dS =: o,

multipliées chacune par un coefficient indéterminé; qu'ensuite on égale à zéro la somme de tous les termes qui se trouvent multipliés par une même différentielle, ce qui donnera autant d'équations parti- «'uliferes qu'il y a de différentielles; qu'enfin on élimine de ces dernières équations les coefficients indéterminés par lesquels on a multiplié les équations de condition.

3. De la résulte donc cette règle extrêmement simple pour trouver les conditions de l'équilibre d'un système quelconque proposé.

On prendra la somme des moments de toutes les puissances qui doivent être en équilibre (Sect. II, art. 5), et l'on y ajoutera les différentes fonctions différentielles qui doivent être nulles par les conditions du problème, après avoir multiplié chacune de ces fonctions par un

coefficient indéterminé; on égalera le tout à zéro, et Ton aura ainsi une équation différentielle qu'on traitera comme une équation ordinaire de maximis et miniinis, et d'où l'on tirera autant d'équations particulières finies qu'il y aura de variables. Ces équations étant ensuite débarrassées, par l'élimination, des coefficients indéterminés, donneront toutes les conditions nécessaires pour l'équilibre. L'équation différentielle dont il s'agit sera donc de cette forme,

P d)? -h Q ^7 4- R ^/* 4- . . . -h >. ^/L -h /x cM -h V ^' H- . . . = o,

dans laquelle ^, ;x, v, ... sont des quantités indéterminées; nous la nommerons dans la suite équation générale de VéquUihre.

Cette équation donnera, relativement à chaque coordonnée, telle que X, de chacun des corps du système, une équation de la forme suivante

ox Ox Ox ox ox ox

en sorte que le nombre de ces équations sera égal à celui de toutes les coordonnées des corps. Nous les appellerons équations particulières de réquUibre.

4. Toute la difficulté consistera donc à éliminer de ces dernières équations les indéterminées X, ;a, v, ... ; or c'est ce qu'on pourra tonjours exécuter par les moyens connus, mais il conviendra, dans chaque cas, de choisir ceux qui pourront conduire aux résultats les plus simples. Les équations finales renfermeront toutes les conditions nécessaires pour l'équilibre proposé; et, comme le nombre de ces équations sera égal à celui de toutes les coordonnées des corps du système njoins celui des indéterminées)., a, v, , .. qu'il a fallu éliminer, que d'ailleurs ces mêmes indéterminées sont en même nombre que les équations de condition finies L = o, M = o, N = o, ..., il s'ensuit que les équations dont il s'agit, jointes a ces dernières, seront toujours en même nombre que les coordonnées de tous les corps; par conséquent, elles

80 MÉCANIQUE ANVLVTIQIK.

surtironl pour déterminer ces coordonnées el faire connaître la position que chaque corps doit prendre pour être en é<|uilil)re.

.V Je remarque maintenani que les ternies ).r/L, ar/M, ... de l'équation générale de l'équilibre peuvent être aussi regardés comme représ(MUant les moments de différentes forces appliquées au même système.

En effet, supposant dL une fonction différentielle des variables op\ y\ z\ r", v", . . . qui servent de coordonnées à différents corps du système, cette fonction sera composée de différentes parties que je désijijnerai par dL\ dL", . . ., en sorte que

d\J ne renfermant que les termes affectés de d,r\ dy\ dz' \ dL" ne renfermant que ceux qui contiennent r/;r", dy\ dz'\ et ainsi de suite.

De cette manière, le terme \dL de l'équation générale sera composé des termes \d\!, ldL'\ . • . . Or, si l'on donne au terme IdV la forme suivante

V \à-r'/ \ày'J \âz' J //dL'V- /dL'Y /àL'Y

il est clair, par ce qu'on a dit dans l'article 8, Sect. Il, que cette quantité peut représenter le moment d'une force

appliquée au corps dont les coordonnées sont. r', y', z' et dirigée perpendiculairement à la surface qui aura pour équation r/L'=o, en n'y regardant que or', y, z' comme variables. De même, le terme Idl/' pourra représenter le moment d'une force

appliquée au corps qui a pour coordonnées a", v", z" el dirigée perpen-

diculairement à la surface courbe dont Téquation sera dU= o, en n'y regardant que ocf\y^ z" comme variables, et ainsi de suite.

Donc, en général, le terme \dL sera équivalent à l'effet de différentes forces exprimées par

^vWKiHiy- V(i^)'-(ip)"*o")" •••■

et appliquées respectivement aux corps qui répondent aux coordonnées x\ y, z\ ocf\ y\ z\ . . . suivant des directions perpendiculaires aux différentes surfaces courbes représentées par l'équation rfL = o, en y faisant varier premièrement x\ /, z\ ensuite ot", y\ s", et ainsi du reste.

6. En général, on pourra regarder le terme XrfL comme le moment d'une force (*)>. tendante a faire varier la valeur de la fonction L, et, comme dL =3= d\J -h dU' -f- . , . , le terme >. rfL exprimera les moments de plusieurs forces égales à X et tendantes à faire varier la fonction L, en ayant égard séparément à la variabilité des différentes coordonnées .r', y, 5^, ocf\y\ z'\ • . . . Il en sera de même des termes [^r/M, vrfN, . . . (Sect. II, art. 9).

Comme, dans l'équation générale de l'équilibre (art. 3), les forces P, Q, R, . . . sont supposées dirigées vers des centres auxquels aboutissent les lignes /?, y, r, ... et, par conséquent, tendantes h diminuer ces lignes, il faudra également regarder les forces >., \h, ... comme tendantes à diminuer les valeurs des fonctions L, M

7. Il résulte de là que chaque équation de condition est équivalente à une ou plusieurs forces appliquées au système, suivant des directions données, ou, en général, tendantes à faire varier les valeurs de fonctions données (^); en sorte que l'état d'équilibre du système sera le

(>) Voiry à ce sujet, la note do l'article 9, Scct. II. (7. Bertrand.)

(') Cette proposition importante a la même généralité que le principe des vitesses virtuelles, et elle est souvent d'une application plus commode. Lagrange y a été conduit en