XI. II

même, soit qu'on emploie la considération de ces forces» ou qu'on ait égard aux équations de condition.

Réciproquement, ces forces peuvent tenir lieu des équations de condition résultantes de la nature du système donné; de manière qu'en employant ces forces on pourra regarder les corps comme entièrement libres et sans aucune liaison. Et de là on voit la raison métaphysique, pourquoi l'introduction des termes XrfLn- (jirfM -+-... dans l'équation générale de l'équilibre fait qu'on peut ensuite traiter cette équation comme si tous les corps du système étaient entièrement libres : c'est en quoi consiste l'esprit de la méthode de cette Section.

A proprement parler, les forces en question tiennent lieu des résistances que les corps devraient éprouver en vertu de leur liaison mutuelle, ou de la part des obstacles qui, par la nature du système, pourraient s'opposer a leur mouvement; ou plutôt ces forces ne sont que les forces mêmes de ces résistances, lesquelles doivent être égales et directement opposées aux pressions exercées par les corps. Notre méthode donne, comme l'on voit, le moyen de déterminer ces forces et ces résistances; ce qui n'est pas un des moindres avantages de cette méthode.

8. Dans les cas où les forces P, Q, R, ... ne sont pas en équilibre et où l'on demande de les réduire à des forces équivalentes dont les directions soient données, il suffira d'ajouter à la somme des moments des forces P, Q, R, — les moments résultant des équations de condition L = o, M = o, . . ., et l'on aura la somme des moments des forces équivalentes aux forces P, Q, R, . . . et k l'action que les corps exercent les uns sur les autres en vertu de ces mêmes équations de condition.

En employant ainsi toutes les équations de condition données par la nature du système proposé, on pourra regarder comme indépendantes les coordonnées de chaque corps du système et l'on ^ura pour chacune

suivant analytiquemcnt los conséquences de sa formule d^équilibrc ; mais M. Poinsot en a donné depuis une démonstration directe et fondée sur les principes élémentaires de la Statique. (Voir Journal de V École Polytechnique, XUI* Cahier, t. VI.) (/. Bertrand.)

de ces coordonnées, telles que x, une quantité de la forme

dx

dx

• ** dx

àijc

' dx

qui exprimera la force résultante suivant la direction de la ligne .r, laquelle devra être nulle dans le cas d'équilibre, comme on Ta vu dans rarticle3(*).

§ H. — Application de la même méthode à la formule de V équilibre des corps continus, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques,

9. Jusqu'ici nous avons considéré les corps comme des points, et nous avons vu comment on détermine les lois de l'équilibre de ces points, en quelque nombre qu'ils soient et quelques forces qui agissent sur eux. Or un corps d'un volume et d'une figure quelconques n'étant que l'assemblage d'une infinité de parties ou points matériels, il s'ensuit qu'on peut déterminer aussi les lois de l'équilibre dos corps de figure quelconque par l'application des principes précédents.

En effet, la manière ordinaire de résoudre les questions de Mécanique qui concernent les corps de masse finie consiste k ne considérer d'abord qu'un certain nombre de points placés à des distances finies les uns des autres, et a cbcrcher les lois de leur équilibre ou de leur mouvement; à étendre ensuite cette recherche à un nombre indéfini de points; enfin à supposer que le nombre des points devienne infini et qu'en même temps leurs distances deviennent infiniment petites, et à faire aux formules trouvées pour un nombre fini de points les réductions et les modifications que demande le passage du fini à l'infini.

Ce procédé est, comme l'on voit, analogue aux méthodes géomé-

(*) Cette somme, calculée relativement aux points auxquels une des résultantes doit être appliquée, fournira les composantes do cette résultante. Il faudra, pour les autres points, régaler à zéro. On doit remarquer que le problème pourra être impossible ou indéterminé.

(/. Bertrand, )

triques et analytiques qui ont précédé le Calcul infinitésimal; et si ce Calcul a l'avantage de faciliter et de simplifier d'une manière surprenante les solutions des questions qui ont rapport aux courbes, il ne le doit qu'à ce qu'il considère ces lignes en elles-mêmes, et comme courbes, sans avoir besoin de les regarder, premièrement comme polygones, et ensuite comme courbes. Il y aura donc, à peu près, le même avantage a traiter les problèmes de Mécanique dont il est question par des voies directes, et en considérant immédiatement les corps de masses finies comme des assemblages d'une infinité de points ou corpuscules animés chacun par des forces données. Or rien n'est plus facile que de modifier et simplifier par cette considération la méthode générale que nous venons de donner.

10. Mais il est nécessaire de remarquer, avant tout, que, dans l'application de cette méthode aux corps d'une masse finie dont tous les points sont animés par des forces quelconques, il se présente naturellement deux sortes de différentielles qu'il faut bien distinguer. Les unes se rapportenj: aux dilférents points qui composent le corps; les autres sont indépendantes de la position mutuelle de ces points et représentent seulement les espaces infiniment petits que chaque point peut parcourir, en supposant que la situation du corps varie infiniment peu. Comme jusqu'ici nous n'avons eu que des différences de cette dernière espèce à considérer, nous les avons désignées par la caractéristique ordinaire d; mais, puisque nous devons maintenant avoir égard aux deux espèces de diflerences à la fois, et qu'il est, par conséquent, nécessaire d'introduire une nouvelle caractéristique, il nous parait à propos d'employer l'ancienne caractéristique d pour désigner les différences de la première espèce qui sont analogues a celles que l'on considère communément en Géométrie, et de dénoter les différences de la seconde espèce qui sont particulières à la matière que nous traitons par la caractéristique S, employée dans le Calcul des variations, avec lequel celui dont il s'agit ici a une liaison intime et nécessaire.

Nous nommerons même, par cette raison, variations les différences

affectées de S et nous conserverons le nom de différentielles à celles qui sont affectées de d. Du reste, les mêmes formules qui donnent les différentielles ordinaires donneront aussi les variations, en substituant ^ à la place de d.

11. Je remarque ensuite qu'au lieu de considérer la masse donnée comme un assemblage d'une infmité de points contigus, il faudra, suivant Tesprit du Calcul infinitésimal, la considérer plutôt comme composée d'éléments infiniment petits qui soient du même ordre de dimension que la masse entière; qu'ainsi, pour avoir les forces qui animent chacun de ces éléments, il faudra multiplier par ces mêmes éléments les forces P, Q, R, ... qu'on suppose appliquées à chaque point de ces éléments et qu'on regardera comme des forces accélératrices analogues à celles qui proviennent de l'action de la gravité.

Si donc on nomme m la masse totale et dm un de ses éléments quelconque, on aura Prfm, Qrfm, Rrfm, . . . pour les forces qui tirent l'élément dm suivant les directions des lignes/?, q^r, .. ,. Donc, multipliant respectivement ces forces par les variations S/?, Sy, Sr, . . . , on aura leurs moments, dont la somme, pour chaque élément r/m, sera représentée par la formule

( P è/> 4- Q iy -h R 0 r H- . . . ) ^m ;

et, pour avoir la somme des moments de toutes les forces du système, il n'y aura qu'à prendre l'intégrale de cette formule par rapport à toute la masse donnée.

Nous dénoterons ces intégrales totales, c'est-à-dire relatives à l'étendue de toute la masse, par la caractéristique majuscule x, en conservant la caractéristique ordinaire /pour désigner les intégrales partielles ou indéfinies.

12. On aura ainsi, pour la somme des moments de toutes les forces

86 MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

du système, la formule intégrale

1^ {PSp -h Q3^ -h ll3r 4-. . .) dm;

et celte quantité devra être nulle, en général, dans Tétai d'équilibre du système.

Comme, par la nature du système, il y a nécessairement des rapports donnés entre les différentes variations Ip, X^, Br, ... relatives à chaque point de la masse, il faudra les réduire à un certain nombre de variations indépendantes et indéterminées, et les termes multipliés par ces dernières variations, étant égalés à zéro, donneront les équations particulières de l'équilibre. Mais, ces réductions pouvant être embarrassantes, il conviendra de les éviter par le moyen de la méthode des multiplicateurs que nous venons de donner dans le paragraphe précédent.

13. Pour appliquer cette méthode au cas dont il s'agit ici, nous supposerons que

soient les équations de condition qui doivent avoir lieu par la nature du problème, par rapport à chaque point de la masse, et nous les nommerons équations de condition indéterminées.

Les quantités L, M, . . . seront ici des fonctions des coordonnées finies j?, y, z qui répondent à chaque point de la masse donnée, et de leurs différentielles d'un ordre quelconque.

Ces équations étant différentiées suivant S, on aura celles-ci :

ôL =: o, ôM = o, ....

On multipliera les quantités SL, SM, ... par des quantités indéterminées >., (X, ... ; on en prendra l'intégrale totale qui sera, par conséquent, représentée par la formule

j^(X(JL-i-/xôM-h...),

et, ajoutant cette intégrale à celle de l'article précédent, on aura l'équation générale de l'équilibre.

On observera qu'il n'est pas nécessaire que XL, 8M, ... soient les variations exactes de fonctions de x^ y, r, dx^ cly^ . . ., mais qu'il suffit que XL = o, SM ~ o, . , . soient les équations de condition indéterminées entre les variations de x,y, z, dx, dy, . . . (art. 2).

Mais il faut remarquer qu'outre les forces qui agissent, en général, sur tous les points de la masse, il peut y en avoir qui n'agissent que sur des points déterminés de cette masse, lesquels points sont ordinairement ceux qui répondent aux extrémités de la masse donnée, c'està-dire au commencement et à la fin de l'intégrale désignée par Si.

De même, il pourra y avoir des équations de condition particulières à ces points, et que nous nommerons équations de condition déterminées, pour les distinguer de celles qui ont lieu, en général, dans touto l'étendue de la masse; nous les représenterons par

ou plutôt par •

ÔA = o, oR = 0, qC =z o, . . . ( M.

Nous marquerons d'un trait, de deux, de trois, etc., toutes les quantités qui se rapportent à des points déterminés de la masse, et en particulier nous marquerons d'un seul trait celles qui se rapportent au

commencement de l'intégrale désignée par Vl, de deux traits celles

qui se rapportent a la fin de cette intégrale, de trois ou davantage celles qui se rapportent à des points intermédiaires quelconques.

(1) L'analyso do Lagrange est évidcmmont incomplète; il semble que Tillustre Auteur ait eu en vue seulement les corps dont les éléments peuvent être disposés suivant une suite linéaire. Dans le cas d'an système à trois dimensions, par exemple, il peut y avoir des conditions relatives à chaque élément de la surface qui limite le système, ou même de toute autre surface située dans Tinlérieur; il peut y en avoir d'autres se rapportant à tous les points de certaines lignes et non pas seulement à certains points isolés pris sur la surface ou dans l'intérieur du corps. ( 6'. D. )

Ainsi il faudra ajouter à Tintégrale

Q ( P ô/> -+- Q a^ 4- R ôr -+-...) ^m la quantité

et à l'intégrale

la quantité

j^(XaL-h[iôM-h...)

aaA-+-pôB-hyôC4-...,

de sorte que Téquation générale de l'équilibre sera de cette forme :

Q ( P 5/7 -+- Q a^ 4- R ar -4- . . . ) ûfm 4- C ( ^ 3L + ji ôM -+- . . . )

-f- P'a/?'-+- Q'a^'-h R'ar'4-. . .4- p''a/>''4- Q'a/-h RMr^-H. . .