X'' dx"' 4- Y'" dv"" -h V dz" = o

en faisant varier simplement les quantités x\y\ z\ ç, ç', 'j», y, dont les variations demeurent indéterminées, et égalant séparément à zéro les quantités multipliées par chacune de ces variations, on aura les sept équations

X'-h\''4-\''=rO,

(X" 4- X'^) sin9 - (Y" 4- Y*') C0S9 — o,

X'"sino'-Y"^coscp'=o,

(X''4-X'^)coscpsin'^4-(Y''4-Y"')sin9sin'|-(Z''4-77)cos^=io,

X^'cosç' sin^y 4- Y'" siiicp' sin^ — Z'^ cos'l' = o,

dont les cinq premières coïncident immédiatement avec celles qu'on a trouvées dans l'article 12 par l'élimination des indéterminées A et jjl, et dont les deux dernières s'y réduisent facilement, en éliminant les Y% Y"^ par le moyen de la quatrième et de la cinquième.

Mais, si de cette manière on parvient plus directement aux équations finales, c'est qu'on a employé une transformation préliminaire des variables, laquelle renferme les équations de condition; au lieu qu'en employant immédiatement les équations avec des coefficients indéterminés, comme dans l'article 12, la solution du problème est réduite à un pur mécanisme de calcul. De plus, on a, par ces coefficients, la valeur des forces que les verges/ et g doivent soutenir par leur résistance à s'allonger, comme on le verra ci-après.

15. Si Ton voulait que le premier corps fût fixe, alors les différences dx\ dy\ dz' seraient nulles et les termes affectés de ces diffé- XI. 17

ronces disparaîtraient (reux-mèmes dans l'équation générale de l'équilibre. Ainsi les trois équations de l'article 12, savoir

n'auraient point lieu: donc les équations

\'^ V.^, \'^=: o; Y'4- V-^ Y'^'ir: o, 7/4- //-h 7/~ O

n'auraient pas lieu non plus, mais toutes les autres demeureraient les mêmes. Ce cas est, comme l'on voit, celui oii le fil serait attaché lixement par une de ses extrémités.

Et, si le fil était attaché par ses deux extrémités, alors on aurait non seulement (Lx:'=^o, dy=:o, dz'=:o, mais aussi r/a'"=o, (ly"'=o^ dz" = o; et les termes affectés de ces six différences dans l'équation générale de l'équilibre disparaîtraient et feraient, par conséquent, disparaître aussi les six équations particulières qui en dépendent.

En général, si les deux extrémités du fil n'étaient pas tout à fait libres, mais qu'elles fussent attachées à des points mobiles suivant une loi donnée, cette loi, exprimée analytiquement, donnerait une ou plusieurs équations entre lesdifférencesr/j;', r/y', dz\ qui se rapportent au premier corps, et les différences da:'\ dy\ dz'"^ qui se rapportent au dernier; et il faudrait ajouter ces équations, multipliées chacune par un nouveau coefficient indéterminé, à l'équation générale de l'équilibre trouvée plus haut; ou bien on substituerait dans cette équation générale la valeur d'une ou de plusieurs de ces différences tirée des équations dont il s'agit, et l'on égalerait ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, ainsi qu'on l'a fait ci-dessus (art. 14). Comme cela n'a aucune difliculté, nous ne nous y arrêterons pas.

16. Pour connaître les forces qui proviennent de la réaction du fil sur les difierents corps, il n'y aura qu'à faire usage de la méthode donnée pour cet objet dans la Section précédente (art. 5).

On considérera donc que Ton a, dans le cas présent,

^xM 7 i^'"— ''-') Uh'"— dx") -h ( y'"- y") {dy"'~^ dv") -h (z"'— z") (dz"- dz")

dm =r dL' =z ■ — -^^ — -' ,

Donc :

i" On aura, par rapport au premier corps dont les coordonnées sont

d.r' - / ày - / \ âz' - / '

donc

// ÔL Y ^i ôLy , / <y. \- V v^'" — •'^' )' -+- (y—y)^-^-(z"—~zy

Ainsi le premier corps recevra par l'action des autres une force égale il A et dont la direction sera perpendiculaire à la surface représentée par Téquation dL = d/= o, en y faisant varier simplement r', v', :?'; or il est visible que cette surface n'est autre chose qu'une sphère <lont le rayon est /et dont le centre répond aux coordonnées or", y\ z"; par conséquent, la force A sera dirigée suivant ce même rayon, c'est-à-dire le long du fil qui joint le premier et le second corps.

2" On aura de même, par rapport au second corps dont les coordonnées sont x'\ y\ z\

d\. .r'-y ()L y' --y' ÔL z'^ - z'

dr' / Oy / ' ôz" f

donc

V jî?liV (^\ ( ^^[^ V -- \^y'-y)'-^(y-y)'~^ (z;^-- -n* ^ , .

ày) \àz') ~ /

d'où il s'ensuit que le second corps recevra aussi une force A dirigée» perpendiculairement à la surface dont l'équation est dh — d/= o, (mi faisant varier x'\ r", z"; cette surface est de nouveau une sphi»re dont

UVl MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

le rayon est/, mais dont le centre répondra aux coordonnées a?', y, 5' du premier corps; par conséquent, la force X qui agit sur le second corps sera aussi dirigée suivant le fil /qui joint ce corps au premier. y On aura encore, par rapport au second corps,

don<'

V UW UW w^v "

De sorte que le second corps sera poussé de plus par une force égale il UL, dont la direction sera perpendiculaire à la surface représentée par l'équation dg = o, en faisant varier x'\ y\ z"\ cette surface n'étant autre chose qu'une sphère dont le rayon est g^ il s'ensuit que la direction de la force jjl sera suivant ce rayon, c'est-à-dire suivant le fil qui joint le deuxième corps au troisième.

On fera le même raisonnement par rapport aux autres corps et l'on en tirera des conclusions semblables.

17. 11 est évident que la force A produite dans le premier corps, suivant la direction du fil qui joint ce corps au suivant, et la force égale k A, mais directement contraire, qui agit sur le deuxième corps suivant la direction du même fil, ne peuvent être que les forces qui résultent de la réaction de ce fil sur les deux corps, c'est-k-dire de la tension que soufl^re la portion du fil interceptée entre le premier et le deuxième corps, de sorte que le coefficient X exprimera la q^uantité de cette tension. De même le coefficient [jl exprimera la tension de la portion du fil interceptée entre le deuxième et le troisième corps, et ainsi de suite.

Au reste, on a supposé tacitement, dans la solution du problème dont il s'agit, que chaque portion du fil était non seulement inextensible, mais aussi raide, en sorte qu'elle conservait toujours la même longueur; par conséquent, les forces X, jx, ... n'exprimeront les ten-

sions qu'autant qu'elles seront positives et tendront à rapprocher les corps; mais, si elles étaient négatives et tendaient à les éloigner Tun de l'autre, alors elles exprimeraient plutôt les résistances que le til doit opposer au corps par le moyen de sa raideur ou incompressibilité.

18. Pour confirmer ce que nous venons de démontrer et pour donner en même temps une nouvelle application de nos méthodes, nous supposerons que le fil auquel les corps sont attachés soit élastique dans le sens de sa longueur et susceptible d'extension et de contraction, et que F, G, ... soient les forces de contraction des portions du fil/, ^, . . . interceptées entre le premier et le deuxième corps, entre le deuxième et le troisième,

Il est clair, par ce qu'on a dit dans l'article 9 (') de la Section il, que les forces F, G, ... donneront les moments ¥ d/-h Gdg-h

Il faudra donc ajouter ces moments à ceux qui viennent de Taction des forces étrangères, et que nous avons vus plus haut (art. 11) être représentés par la formule

X' djc' -h Y' dy' 4- Z' dz' + X" dx" 4- Y'' dy" -f- Z" dz'