XI. i

V'".r''+fji

lesquelles étant, comme Ton voit, analogues aux équations primitives, donneront de la même manière, par la simple addition, ces trois-ci :

\'z' - 7Jx' 4- X'^:;'^- //a--" -h X'^;;'^ - Z'^o-" — o, V';;' - //v' -f- Yz^-V^y" -\- X^z^-iry" -.o.

Les trois équations trouvées ci-dessus montrent que la somme des forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle; les trois que nous venons de trouver renferment le principe connu des moments (en entendant par moment le produit de la puissance par son bras de levier), par lequel il faut que la somme des moments de toutes les forces, pour fîure tourner le système autour de chacun des trois axes, soit aussi nulle. Ainsi ces six équations ne sont que des cas particuliers des équations générales données dans la Section III, §§Iet!!.

22. Si le premier corps était tîxe, alors les différences ctr', r//, dz' seraient nulles, et les trois premières des neuf équations de l'article 20 n'existeraient pas; il n'y aurait donc alors que six équations, qui, par l'élimination des trois inconnues X, (jl, v, se réduiraient à trois.

Pour arriver à ces trois équations, on peut s'y prendre d'une manière analogue à celle dont on s'est servi pour trouver les trois der-

iiières équations de l'article précédent, pourvu qu'on ait soin de faire en sorte que les transformées ne renferment point les indéterminées X et V qui entrent dans les trois premières dont il faut maintenant faire abstraction; or c'est ce que l'on obtiendra par ces combinaisons

\ ( >' — V ) — 1 '^( .r — jr ) — IX : : = :=: O

X' ( -' 5' ) 7/ ( j:' ,r' ) fx ( ^•- -' ) ^-i-'- -r') - U" - .f'){=''- z' ) ^ ^^

X''(, •'-,-') - Y'(.'- .r') + ^ (r'-y)(-'- ■r')^±r'-^ <) iZl- >•" ) .. „.

X'-( -- y) Z^(.r-- ./•') ^ ij. (^"- ^^) (■^"- -r ) - (.r-- .r^) (3--- y ) ^ ^^

Y^^-' .' ) z'( ,-- V') + ^ (i::zi2jr-->-)-o--->-''(^'-''' .. „;

et, si l'on ajoute maintenant les troi-s premières de ces transformées aux trois dernières, on aura sur-le-cliamp ces Irois-ci

VO"'-/)-Y''(.r''-^')H-V'(y'-^K')-V'(x^-.r')=.o,

lesquelles auront toujours lieu, quel que soii Tétat du premier cor[)s, puisqu'elles sont indépendantes des équations relatives à ce corps, ('es équations renferment, comme l'on voit, le même principe des moments, mais par rapport à des axes qui passeraient par le premier corps.

23. Supposons qu'il y ait un quatrième corp?i attacbé à la même verge inflexible, pour lequel les coordonnées rectangles soient cr*', v*', z^'' et les forces parallèles à ces coordonnées .V, Y'^, Z*''.

Il faudra donc ajouter à la somme des moments des forces la quantité

ensuite, comme les distances entre tous les corps doivent demeurer constantes, on aura, par les conditions du problème, non seulement df=o, dg = o, dh = o, comme dans le cas précédent, mais aussi ftl= o, dm = o, dn = o, en nommant /, m, n les distances du quatrième corps aux trois précédents. Ainsi Téquation générale de l'équilibre sera, dans ce cas,

\' rix' 4- Y' dy -i- 7J dz' 4- X" dx" -f- Y" dy" 4- 7/ dz"

-\- X^ dx'" 4- Y^ dy" 4- V dz" 4- X'' dx'' 4- Y'^ dy'' 4- Z'^ dz''

-{-'kd/-\' ixdg -h'jdh-hisdl-h p dm -h a dm = o.

Les valeurs de df, dg, dh sont les mêmes que ci-dessus; quant à celles de rf/, dm^ dn^ il est visible qu'on aura

- m\jc'--

n = sj{ X'' —x")^-h {y'' — /'^ )* 4- ( x;"' — z' )*,

et, par conséquent,

(j7'^— x'){dx'''— dx') 4-(y'^'— r^)(^y'"— dr')-h(z'''— z'){dz'''-'dz')

( .r '^ — x' ) (dx'' — dx" ) 4- iy'' — j" ) (dy'' — ^7" ) 4- ( 5'^' — z' ) (^3'^ — e/s" )

( j?'^ — x") (dx" — ^jr'^) 4- (y" — y'") (dy" — dy") 4- ( ^'^ — z") (dz" — dz")

Faisant ces substitutions et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences dx\ dy\ . . . , on trouvera douze équations particulières, dont les neuf premières seront les mêmes que celles de l'article 20, en ajoutant respectivement à leurs premier» membres les quantités suivantes

et dont les trois dernières seront

Z'^ -hw

^iv x'

flV

ylV y"'

mis <»" ».IV mUt

24. Comme il y a en tout douze équations et qu'il y a six indéterminées, X, (X, V, tar, p, (j, à éliminer, il ne restera, pour les conditions de l'équilibre, que six équations finales, comme dans le cas de trois corps; et Ton trouvera, par une méthode semblable à celle de l'article 21, ces six équations, analogues à celles de cet article,

yjy — Y' ^' 4- XV' —X'x'-^ yj' y" —\^.x'-\- X» V"' — Y'^ x'^' — o, X'5' — Z'^'-l- X'^^" — Z" ^"4- X*' z'^-^V ^''-H X"^ s'^— Z'' ^'^^o,

Au lieu des trois dernières, on pourra aussi substituer les trois suivantes, qu'on trouvera par la méthode de l'article 22, et qui, étant indépendantes des équations relatives au premier corps, ont l'avantage d'avoir toujours lieu, quel que soit l'état de ce corps :

Y" {z' - ;:' ) - Z'Cj" — y ) -H Y'"' ( 5"^ - 5' )

25. On voit maintenant comment il faudrait s'y prendre pour trouver les conditions de l'équilibre d'un nombre, quelconque de

corps attachés à une verge ou a un levier inflexible. En général» il est visible que, pour que la position respective des corps demeure la même, il sufïit que les distances des trois premiers corps entre eux soient constantes et que les distances de chacun des autres corps à r.es trois-ci le soient aussi, puisque la position d'un point quelconque est toujours déterminée par les distances de ce point à trois points donnés. On fora donc^ pour chaque nouveau corps qu'on ajoutera au levier, les mêmes raisonnements et les mêmes opérations qu'on a faites dans l'article 23 relativement au quatrième corps, et chacun d'eux fournira trois nouvelles équations particulières avec trois nouvelles indéterminées à éliminer; en sorte que les équations finales seront toujours en même nombre que dans le cas de trois corps, et elles seront de la même forme que celles que nous venons de trouver dans l'article précédent.

Au reste, il est visible que ces équations rentrent dans celles que nous avons trouvées en général, pour l'équilibre d'un système libre quelconque, dans les articles 3 et 9 de la Section III. En effet, puisque, à cause de Tinflexibilité de la verge, les distances des corps entre eux sont inaltérables, il s'ensuit que l'équilibre doit avoir lieu si les mouvements de translation et de rotation sont détruits : on aurait donc pu, par cette seule considération, résoudre le problème précédent d'après les formules des articles cités; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile d'en donner une solution directe et tirée des conditions particulières de la question.

§ III. — De r équilibre de trois ou plusieurs corps attaches

à une verge à ressort.

26. Considérons de nouveau le cas de trois corps joints par une verge, et supposons de plus que la verge soit élastique dans le point où est le second corps, en sorte que les distances de celui-ci au premier et au dernier soient constantes, mais que l'angle formé par les lignes de ces distances soit variable, et que l'effet de l'élasticité con-

siste k augmenter cet angle et, par conséquent, à diminuer l'angle extérieur formé par un des côtés et par le prolongement de l'autre.

Nommons E la force de l'élasticité (*) et e l'angle extérieur qu'elle tend à diminuer; le moment de cette force sera exprimé par E^^^^ (Sect. II, art. 9), de sorte que la somme des moments de toutes les forces du système sera

X' dx' 4- Y' (if 4- // dz' 4- X" dx" -f- Y" dv" -\- T dz"