CHAPITRE IV

DE l'équilibre D*U?r CORPS SOLIDE DE GRANDEUR SENSIBLE ET DE FIGURE QUELCONQUE, DONT TOUS LES POINTS SONT TIRÉS PAR DES FORCES QUELCONQUES.

60. Puisque la condition de la solidité du corps consiste en ce que tous ses points conservent constamment entre eux la même position et les mêmes distances, on aura entre les variations Sa?, Sy, 8z les mêmes équations de condition qu'on a trouvées dans l'article 53; car il est visible qu'en imaginant dans l'intérieur du corps une courbe quelconque, il suffira que tous ses points gardent les mêmes distances entre eux, quelque mouvement que le corps reçoive; ainsi l'on pourra, par leur moven, déterminer immédiatement les valeurs de ces variations.

Pour cela, je remarque que, comme en passant aux différences secondes il est toujours permis de prendre une des différences premières pour constante, on peut supposer dx constante et, par conséquent, d^x = o, d^x = o, . . ., moyennant quoi la deuxième et la troi-

(*) Cette seconde courbure dépend aussi de dp. (/. Bertrand,)

(*) On voit, d'après les résultats précédents, que deux courbes sont superposables lorsque les rayons de première et de seconde courbure s'expriment, dans l'une et dans Tautre, par une même fonction de Tare. Si donc deux courbes ont Tune et l'autre leurs rayons de courbure constants et égaux chacun ù chacun, ces courbes sont identiques; et, comme on peut toujours déterminer une hélice dont les rayons de courbure soient donnés, toute courbe qui a ses rayons de courbure constants est une hélice. Plusieurs géomètres ont donné des démonstrations élégantes de ce théorème. Foir deux Notes, Tune de M. Puiseux, l'autre de M. Serret, Journal de Mathématiques de Liouville, i'* série, t. VII, p. 65, et t. XVI, p. 193. (/. Bertrand.)

sième équation de l'article cité deviendront

<^y ^* iy -^drzd}iz^Q et (Vy d^ oy -{-d^zci^ozT- o.

La première de ces équations donne d'abord d*oy = — -jr-/^^ ^^ *'^ diflerentiant»

d^ oy = — -J-- cP dz — \ -= -TT^- \d*dz;

-^ d'y ld}y C^v)«J

ccUe valeur étant substituée dans la seconde équation, elle se trouvera toute divisible par d^z ^^ — -y et Ton aura, après la division,

d} QZ ^ d^dz=zo:

d'où l'on tire, en intégrant,

d^oz=i oL d' >',

oL étant une constante. Avant d^ cz, on trouvera

d*ôy = -oLd'z;

donc, intégrant de nouveau et ajoutant les constantes — âMrfr, o^d.v, on aui*a

doz=:ôLdy — ôM dx^ d ây — — oLdz-^ ^N d.v ;

et, ces valeurs étant substituées dans la première équation de condition, savoir

djc dox -\'dy d oy -\- dz d dz ^=z o,

il viendra

dox-=: — oN dy ■+- dM dz.

Enfin on aura, par une troisième intégration et par l'addition des nouvelles constantes S/, S/w, S/i,

a.r=:ô/ - vôN 4- zoM, 3k nz ôm -h X oN — z oL,

03 =0/1 — X ÔM -h V ÔL.

Et il est facile de se convaincre que ces expressions ne satisfont pas seulement aux trois premières équations de condition de» l'article 53,

mais aussi à toutes les autres qu'on pourrait trouver à Tinfini, et qui sont toutes renfermées dans cette équation générale

d" X d" àx -h d" V d'* or -h d'* z d" èz — o.

Telles sont donc les valeurs de Ix, Sj, Sg pour un système quelconque de points unis ensemble de manière qu'ils conservent toujours «^ntre eux les mêmes distances; ainsi ces valeurs serviront non seulement pour le cas d'une courbe quelconque mobile et invariable dans sa figure, mais aussi pour le cas d'un corps solide de figure quel- (*onque.

Euler a trouvé le premier ces formules simples et élégantes pour (exprimer les variations des coordonnées de tous les points d'un corps solide mobile dans l'espace. Il y est parvenu par des considérations tirées du Calcul différentiel, mais différentes de celles qui nous y ont conduit, et, ce me semble, moins rigoureuses ( * ). Voir, dans le Volume de l'Académie de Berlin pour 17.30, le Mémoire intitulé : Découverte (Van nouveau principe de Mécanique.

61. Puis donc que les valeurs précédentes de Sx, Sy, tz satisfont déjà aux équations de condition du problème, il est clair qu'il suffira de les substituer dans la formule

^{\èx -\-Y iy -^Zàz) dm

et de faire en sorte qu'elle devienne nulle, indépendamment des quantités S/, S/w, S/i, SL, ôM, SN, qui sont les seules indéterminées qui restent.

Or, comme ces quantités sont les mêmes pour tous les points du (•orps, il faudra dans la substitution les faire sortir hors du signe §; et l'on aura conséquemment cette équation générale de l'équilibre d'un

( 0 t^â démoQâlralion d'EuIer est, il est vrai, moins direclo que celle de Lagrange ; mais il m'a été impossible de découvrir le point de vue sous lequel on peut l'accuser de manquer de rigueur. (/. Bertrand,)

corps solide de figure quelconque

d'où Ton tirera les équations particulières de l'équilibre, en ayant égard aux différentes circonstances du problème.

62. Et d'abord, si le corps est supposé entièrement libre, les six variations £/, Sm, 8n, SL, SM, SN seront toutes indéterminées, et il faudra égaler séparément à zéro les quantités par lesquelles elles se trouvent multipliées; ce qui donnera ces six équations déjà connues

^Xt/mn^o, ^Ycfm = o, §Zr/m = o, ^(Ya7 — X/)c^m = o, ^{\z — Za:)dm = o, ^(Zv — Y z)dm = o.

En second lieu, s'il y a dans le corps un point fixe autour duquel il ait simplement la liberté de pouvoir pirouetter en tous sens et qu'on nomme a, 6, c les valeurs des coordonnées x, y, z pour ce point, il faudra que l'on ait

donc

• o/ — ^ (ÎN H- c dM = o, dm —cSL-h ad^ = o, dn — a «5M -+- 6 ^L = o ;

d'où l'on tire

dl=zbdN — c ôM, dm =1 c oL — a ôN, on =zadM— h oL.

On substituera ces valeurs dans l'équation générale de l'article précédent et, mettant sous le signe § les quantités a, ft, c, qui sont constantes par rapport aux différents points du corps, on aura cette transformée

ÔN S [ Y(.r - a) - X(r - b)] dm

ÔM § [X(^ - c) - Z (x -a)] dm

-+-ôL§[ZO'— 6)-Y(3 -c)]dm = o, XI. 24

laquelle ne fournira plus que trois équations, savoir

^ [ Y (.i. ^a) — \{y- b)] dm - o, j^ [ \ ( -3 —c) — Z (.r — <?)] dm = o, §[Z(v-6)-Y(^ -c)\dm^o.

En troisième lieu, s'il y a dans le corps deux points fixes et quey, ^', h soient les valeurs de r, v, :; pour le second de ces points, on aura, de plus,

ont =z koh — / <ÎN, un =. fdM — ^'oL;

tlonc, comparant ces valeurs de S/, Sw, Bn avec les précédentes, on

aura

i^" - b)d^ - (/i - c) ÔM — o,

(/ — a) o\ — (b — c) oL ■— o,

Les deux premières de ces équations donnent

SL :=^ 4^^ ^'N, ÔM = '^— ON,

et, comme ces valeurs satisfont aussi à la troisième équation, il s'ensuit que la variation SN demeure indéterminée.

Faisant donc ces substitutions dans la transformée trouvée ci-dessus, on aura

j -^^ (/i ^ c)^[\ (j:- a) -\(y - b)]dm "^^ i -^-(^-^)S[^(- —c)-Z(^r-a)]dm > =o; -+- (/ - «) S [^^ (/ - ^) - ^i^ -c)]dm )

ainsi les conditions de l'équilibre seront renfermées dans cette seule équation

-h{b-c) ^[Y{.v -a)- \( V -b)] dm

-^iér--f>)^[M^-c)- Z {X - a)] dm

+ (/ - ^) ^[Z (y ^b)-Y{z-c)]dm^o.

.rôN — 5ôL, y8L — x8M représentent les petits espaces parcourus par chaque point du corps, suivant les mêmes directions, en vertu de trois mouvements de rotation SL, oM, SN autour des trois axes des x, j, z, ces quantités SL, oM, oN répondant aux quantités rf^, rf(o, rfç de l'article cité. Ainsi l'on aurait pu déduire immédiatement les expressions dont il s'agit de la seule considération de ces mouvements, ce qui aurait été plus simple, mais non pas si direct. L'analyse précédente conduit naturellement à ces expressions et prouve par là, d'une manière encore plus directe et plus générale que celle de l'article 10 de la Section III, que, lorsque les différents points d'un système conservent leur position relative, le système ne peut avoir à chaque instant que des mouvements do translation dans l'espace et de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux.