XI
a étant une constante, et l'équation de la surface serait
dW ÔJt' __ OY
ôz àr dy
En supposant qu'il n'y ait d'autres forces que la gravité g qui agisse suivant l'ordonnée :; pour l'augmenter, on aura II = — gz; par conséquent, en négligeant toujours les secondes dimensions de z,
équation intégrable en général, mais avec des fonctions imaginaires qui rendent cette solution peu susceptible d'application.
§ m. — De l'équilibre d'un fil ou lame élastique,
46. Reprenons le cas d'un til inextensible; mais, au lieu de le supposer en même temps parfaitement flexible, comme on l'a fait jusqu'ici, supposons-le élastique, en sorte qu'il y ait dans chaque point une force, que j'appellerai K, qui s'oppose h l'inflexion du fil et qui tende, par conséquent, à diminuer l'angle de contingence (*). Nommant cet angle r, on aura, comme dans l'article 26 (en changeant seulement d en o), E^e pour le moment de chaque force E; donc
J^Eâ^ sera la somme des moments de toutes les forces d'élasticité qui agissent dans toute la longueur du fil, laquelle devra donc être ajoutée au premier membre de l'équation générale de l'équilibre dans le cas d'un fil inextensible et parfaitement flexible .art. 29).
Toute la difficulté consiste à ramener l'intégrale S^^^^^ ^ '^ forme
( ' ) L'expression adoptée par I^j^Tanj^e pour l'évalualion de la somme des moments des forces d'élasticité n'est pas admissible pour les courbes à double courbure. Binel en a fait la remari|uc <iaiis le lome X du Journal dv l'ilvnU' Polytechnique. Voir aussi un Mémoire <io Poisson (\\\\ fail partie du tome IH <Ic la Correspondance sur l* Ecole Polytechnique. Ces géomtUres remarquent avec raison (pi'il doit entrer, dans l'expression do la somme des moments, un terme proportionnel à la variation de l'angle de deux plans osculatcurs consécutifs. {Voir une Note à la (in du Volume.) (/. Bertrand.)
convenable ; pour cela, ii faut commencer par chercher la valeur de <?; or nous avons trouvé plus haut (art. 26)
d'où l'on tire
sin*e —.
^Pg'
Pour appliquer cette formule au cas présent, il suffit de remarquer que les coordonnées x\ y\ z\ x'\ y\ z'\ x\ y*", z'\ par lesquelles nous avons exprimé les quantités/, g^ h (art. 12 et 20), deviennent ici x^ y^ z\ X -\- dx^ y -h rfv, z -h dz; .r -h 2 dx -h d^x, y -h 2dy -h d^ >', z -^ idz -^ (Pz; en sorte qu'on aura
g*^ {dx -h d^xy-{- (dy 4- d^y)'-\-{dz -h cV-zY
— dx^ 4- dy'^ -+- dz* -h a {dx d* .r -h dy d^y -\-dzd* z) -\- {dKcy -h (^ r )* -1- (</* 5 )* ::^ ds* -h 2ds d^s -{- {d^xy -h id\y)^ -h {d*z)\
h^ — {2 dx -h d^xy-\- {2dy -h d*yy-{- {2dz -h d*zy ~ l^ds^-^-^dsd^s -h {d*xy~h{d*yy-h (d^z)^;
donc
/' H- ^* — ^* — — 3 ds^ — idsd^s
et
— 4 ûTi* H- 8 e/5' J*^ H- 4^5» [{d\ry -h ( ^\v)- -h (fi^5 )= j — 4 (e^î« H- é/5 duy
z=[^ds^{{d^xy-{-{d^yy-^{d^zy~{d^sy].
Donc enfin on aura, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
. , {d^xy-^(d^yy-^{d^zy—{duy
Comme cette valeur de sin^e est infiniment petite du deuxième ordre, il s'ensuit que sine, et par conséquent aussi l'angle e, sera infiniment
16i MÉCAMOUE ANALYTKHK.
polit (lu premier ordre; de sorte qu'on aura
c'est l'expression de l'angle de contingence dans une courbe quelconque à double courbure, et qui revient à celle de l'article 11.
Î7. On diiïérentiera maintenant suivant S, pour avoir la valeur de cr, et comme, par la condition de l'inextensibilitc du fil, on a déjà ^ds=:o (art. 29) et, par conséquent aussi, c/ods = cd's = o, on pourra traiter, dans la différentiation dont il s'agit, ds et d\s comme constantes; ainsi Ton aura
. d'à: dd^.v ±d^'y od\y 4- d-z ôd^z
ds\{d*'.ry-i-(d\yy-h(d'z)^—{d'S)*
Substituant dans ^Eùe et faisant, pour abréger,
ds^id^a:)'-^- (d\yy-{- (d^z)^— {d*s}-
on aura
j^ E e/6 TT § ï dKr od^x -h j§ I d^y dd\y -h^ld^z dd-z.
Os expressions étant traitées suivant les règles données dans l'article 15 de la Section IV, en y cbangeant d'abord orfen do et intégrant ensuite par parties pour faire disparaître le ^/ avant S, on aura les transformées suivantes :
j^ l d'x od'j' — 4- I" dKi" dox" — d{ VdKv") 0^ "
— I' d\r'd^x'-\- d(\'d^jr') o.r'^^d'(\fPx)$j;
^ I d\y od\y - 4- Vd\y''dèy'' — d{Vd-y'') 3/"
- r d\y' dSy -+■ d{V d\y') $/ -^^d'(\ d\y) or, ^]d'zdd'z ^z-^Vd^z' doz" -d{V(nz')dz''
-Id^z' ddz'-]-d{l'd^z')iz' ■^^d\ld^z)oz.
On ajoutera donc ces dilférents termes à ceux qui forment le pre-
Or nous avons supposé plus haut (art. 47)
le carré du dénominateur de cette quantité est
ds^[{d'xY~\- (d^yy-^- (d^zy] — ds^ (d^sy
■= (rf^'-f- df/»-4- dz^) [{d^a:y-\- (^7)'+ (d^^y] — {dxd^x-^ dyd}y -h dzcCzy - {dxd^y — dyd^xy -i- {dx d* z ~ dz d* xy ~h (dy d^z — dz d^yy.
Donc, si Ton ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on aura celle-ci, sans différentielles,
E' ir^H- [F -^f(^ -i-fXdm) dy - f(B -^fY dm) dxy -h[G~h f(k-\-f\dm)dz -f{C ~hfZdm)dxY + [n-^r{B-{-fYdm)dz - f(C -\-fZ diu)dxy;
et si Ton divise ensemble deux des mêmes équations, on aura celle-ci, où l'élasticité n'entre pas,
dxd^z^dzd^x ^ G-^f{A-^f\dm)dz-fiC-^fZdm)dx dxd^y-dyd'x V'^J{k -^f\dm)dy-f(B-i-fYdm)dx
Ces deux équations sont ce qu'il y a de plus simple pour déterminer la courbe élastique, en ayant égard à la double courbure.
49. On suppose communément que la force élastique qui s'oppose à l'inflexion est en raison inverse du rayon osculateur. Ainsi, en nom-
mant p ce rayon, on aura E = -> K étant un coefficient constant.
Mais on sait que p = — ; donc E = ^ : ainsi la quantité I, que nous avons supposée égale à -^, (art. 47), deviendra ^ et, par conséquent, constante, en supposant, ce qui est permis, ds constante.
Ainsi les trois premières équations (art. 48) seront
Z dm — dTT -^-^ 77-s — ^•
Si Ton ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la
djc ,1 .» dy ^ I . • "» dz
première par -j y la deuxième par ^- et la troisième par ^, on aura, à cause de
da: dx dy .dy dz ,dz i , /dx^ -+■ dy^ H- dz*\ __
ds ds ' ds ds ds ds ~' i \ ds^ )
Téquation
,-- , ... ', . X ^m -. dxd^x ~{-dyd'*y -\- dzd*z ,. ( X dx -\ \ dy -h Adz) -y ->r K ' ,- ^- — dl.
Soit r Tépaisseur du fil; on aura dm = Vds. L'équation précédente étant intégrée, en supposant ds constant, donnera
l^ fT{\dx ^-\ dy -{- Zdz)
r dx d^x -h dy d\y -^ dz d^ z (d^x^-h (^r)--f- {d*z)'^l l " ds'^ ~ Vds' Y
Cette valeur de X exprime la tension de la lame élastique, c'est-à-diro la résistance avec laquelle elle s'oppose à la force qui tend à l'allonger, comme dans l'article 31 .
50. Le cas le plus simple et le plus ordinaire est celui dans lequel les forces X, Y, Z qu'on suppose agir sur tous les points de la lame élastique sont nulles, et où la courbure de la lame vient uniquement des forces appliquées à ses deux extrémités. Dans ce cas, les équa-
1()8 MÉCAMQIE ANALYTIQUE.
tioiis inléj^rales de l'article 18 donnent, en mettant pour I sa val(»ur -,--1
..(/,rc/^y — rivdKr , . ^
,. d.rd^z — (izd^,r ., .
.. dv d*z — dz d^ y „ ,, ,,
ds^
niais l'intégration ultérieure de celles-ci est peut-être impossible en général (* ).
Lorsque la courbure de la lame est toute dans un même plan, en pn^ nant pour ce plan celui des x et v et faisant ^v = r/5sin(p, (lr = dscos^o^ la première équation, qui est alors la seule nécessaire, devient
do /» /•
-r =:- F -f- A / siii 9 ds — H / coso r/.v,
ds J ^ J • '
laquelle, étant différentiée, donne
~ = A smo — H coso;
multipliant piw (h et intégrant derechef.
d'où l'on tire
<*t, de là.
— :rr = A C0S9 + ^ siiio -f- I)
'2 ds^ ^ ^
\'2l) -+- 'xk COS9 -\- i\\ siii9
, cos 9 do
V^'i I) -f- ?. A COS 9 4- ^i B si II 9
(I) OUc iaU^gralion a clé eiïecluéc par Binct, qui a même considéré los équations plus générales auxquelles on esl conduil on rétablissant dans la somme des moments des forces d'élasticité le terme proportionnel à la variation de l'angle de deux plans osculatcurs consécutifs. (Comptes rendus de l' Académie des Sciences, i8ii, i**^ semestre, p. ni').)
(/. Bertrand.)
17a MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
que Ton aiit, dans le cas dont ii s*agit,
A = o, B=io, C = o et
j^ \ dm = o, j^ Y ^m = o,* j^ Z dm = o.
Knsuite il faudra que i*on ait aussi
Vd^jc'zzizo, Vd\v''z=o, Vd^z'-o et
vd^.€'=io, rd'y=o, rd'z'=zo,
pour faire disparaître les termes affectés de dox'\ dW\ ...; et il est clair que les secondes équations intégrales du même article donneront
F = o, G ==: o, II = o
et
|§ ( ^>'/X ^ni - dxjY dm ) == o, ^{dzÇ\dm- dxj'l dm)=:o,
§ {dzj\ dm — dyjl dm ) — o.
2"* Si la première extrémité du fil est fixe, alors
Ox'z=LOj 5/'=:^0, Oz'^=iO\
par conséquent, A, B, C ne seront pas nuls; mais la condition que les coeftîcients de or", Sy", Iz" soient nuls donnera
A=:-3Xrfm, Bzz:-§Yt/m, (: = -j§Ze/m;
et, si la position de la tangente à cette extrémité était donnée aussi, on aurait, de plus,
dèx' = o, dèy' = o, d§z' — o ;
par conséquent, F, G, U ne seraient pas nuls, mais la nullité des coefficients de dèx'\ doy\ rfôc" donnerait
F ^ j^ [( B -h/Y dm )dx-{\ -h f\ dm ) dy],
r. r^ § [(C -\-fZ dm) dx - (A -f-fX ^m) dz],
U^^ [a: H-/Z dm) dy - (B -h/ Y dm) dz].
f^e dernier terme de cette expression, étant analogue au terme §FSrf5, sera susceptible de réductions semblables; à Tégard des deux autres, il
, ,, 1 ^-^ f> 1 dœ dix -^ dvdiy -{- dzdiz
n y aura qu a y substituer pourrfô^ sa valeur ^^^-^ >
en marquant toutes les lettres d'un trait ou de deux.
Delà il est facile de conclure qu'on aura, pour la solution du casprésent, les mêmes Formules que dans le cas où le fil élastique est supposé inextensible, en y mettant seulement F 4-^?—^ — ^ à la place de X etajou-
tanl aux termes hors du signe j^ les deux termes ,,,^ dh' jr^j^dts".
Comme, dans Téquation de la courbe, la quantité X doit être éliminée, il s'ensuit que l'équation de la lame élastique sera la même, soit qu'on la suppose extensible ou non. Mais la tension du fil, qui est exprimée par X ou par F, lorsque le fil n'est pas élastique (art. 43),
sera augmentée, par l'élasticité E, de la quantité rf- ^^ ' > à cause
de e= -(art. 49).
§ IV. — De Véquilibre d*un JU raide et de figure donnée.
53. Venons enfin au cas d'un fil inextensible et inflexible : on aura ici, pour la somme des moments des forces, la même formule intégrale
que dans le cas de l'article 28, c'est-h-dire ^(XS.r-h Yly -\- ZSs)é/m;
ensuite la condition de l'inextensibilité du fil donnera, comme dans le même article, 8ds = o, et celle de l'inflexibilité donnera ùe = o,
puisque l'angle de contingence doit être invariable; mais ces deux conditions ne suffisent pas encore dans le cas où la courbe est à double courbure, comme on va le voir.
Pour traiter la question de la manière la plus simple et la plus directe, je remarque que tout consiste à faire en sorte que les différents points de la courbe du fil conservent toujours entre eux les mêmes distances : or, en considérant plusieurs points successifs dont
et ainsi de suite. De sorte que les équations de condition pour Tinexlensibililé et Tinflexibilité du fil seront Sa = o, S^ = o, Sy = o, ...» c'est-à-dire, en différentiant et changeant oden do,
dx dojc -h dy d oy -i- dz ddz ^= o, d*x d^dx -h d^f d'dy -^d^z d^oz =z o, d\v d^dx -h(Pv d^dy 4- d^z d^oz — o.
Il est clair qu'il suffit de trois de ces équations pour déterminer les trois variations Sa:, Sy, Ss; d'où l'on peut d'abord conclure que, dès qu'on aura satisfait aux trois premières, toutes les autres, qu'on pourrait trouver à l'infini, auront lieu d'elles-mêmes : c'est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul même, comme on le verra plus bas (art. 60){').
(') Ces équations exprimont que a, p, y conservent la même valeur pendant le déplacement de la courbe. Cette condition équivaut aux trois équations suivantes :
/rfx\« Idy^ /dzY /d^ry /rf*)\' /d^z\^ /^».r\« A/»k\« /^3\> . .
La première est évidente; la deuxième exprime que la courbure de la ligne considérée est une fonction déterminée de l'arc s; la troisième, enfin, combinée avec les deux autres, exprime que la seconde courbure est une fonction déterminée de s. En écrivant les équations de condition sous cette forme, qui ne diffère de celle de I^grange que par les diviseurs ds*, d.s'^, ds^^ que nous avons introduits, les calculs resteraient absolument les mêmes; seulement les multiplicateurs désignés plus loin par X, u, v seraient finis, tandis qu'il faut, dans la notation de Lagrangc, leur supposer des valeurs infinies de différents ordres. Cette circonstance a été signalée comme un inconvénient de la méthode. En adoptant, en effet, la locution si souvent employée par Lagrange, les multiplicateurs \ |x, v représenteraient les forces qui tendent à faire varier les fonctions a, p, 7, et il doit sembler extraordinaire que ces forces soient infinies et surtout qu'une transformation tout algébrique suffise pour leur faire prendre dos valeurs finies; mais on se rend compte de cette singularité en remarquant (|ue les coefficients X, p, v ne sont nommés forces que par une locution figurée, familière à Lagrange. Nous avons averti plusieurs fois qu'il ne fallait pas prendre cette Ipcution à la lettre, (f'oir la Note relative à l'art. 9, Sect. H.) (/. Bertrand.)
54. On aura donc par notre méthode cette équation générale de l'équilibre
o =r-h <^ (X ÔOT -h Ydf -4- Zoz) dm
-^ ^1 {dx d dx -hdfddy -^ dz d Sz) -h^ix(d*x d^èx -+- d'y d^èy -f- d*z d^oz) -h^vid^x d^ox-hd^f d^df-{-d^z.d^Qz),
laquelle, par les transformations enseignées, se réduira à la forme suivante :
^[\dm—'d('kdx)-[-d'{lLd'x)^(P{vd'x)]dx -^[Ydm^d('kdf)-^d^(lid^f)-d^{vd^y)]Sy -^[Ze/m
)/ dx' — ^"d^x" — Vdf - ^"d^f— Vdz" — li/'d^z" — l'dx' - [k' d^x' — Vdv' -
Vdz' —
IL'd^z' —
--dÇkdz) -hd^iid^z) —d'{vdz)]dz
- diix'd'x') -\- d^iv'd^x')] dx'
- rf( v' d'x' )] d dx' -h ^J'dx' d* $x' diix'd'y") 4- ^(vVy )] Sy d{v''d^y'')]ddy'-\-v'd^yd*dy' ddx'dz') -H d^iv^d^z")] dz' d{yd'z'')'\dèz''~\->j''dz''d}oz' d{iL'd}x') H- d}{^t'd^x')\ $x' d{^' dx')]dèx' —>y dx' d^ix' d{ix'd\y') + d^iv'iPy')] dy' d( v' dy' )] d dy' — v' cPy' d* df d{ii'd'z')-hd{v'd'z')]dz' d{v'd^z')]dàz' - v'd^z'.d*' àz'.
55. Égalant d'abord à zéro les coelficients de ox, Sy, cz sous le signe §• on aura ces trois équations indéfinies
\dm — d{'kdx)-^d*{lxd^x)^d^{vd^x) — o, Y dm —dÇkdy) -{-d^{ixd^y) —d{vd^y) zzzo, 1dm —dildz) -\-d*{ixd^z) --divdz) =0,
lesquelles, renfermant trois variables indéterminées X, [jl, v, ne ser\^iront qu'à déterminer ces trois quantités ; en sorte qu'il n'y aura aucune
équation indéfinie entre les différentes forces X, Y, Z qu'on suppose appliquées à tous les points de la verge; et les conditions de l'équilibre dépendront uniquement des termes qui sont hors du signe §. Mais, comme ces termes contiennent les inconnues X, u, v, il faudra commencer par déterminer ces inconnues.
Pour cela, il faut intégrer les équations précédentes, ce qui est facile, et Ton aura ces trois-ci
f\ ^m — X ciy -\- (i{ ;i ct^y) — d^'(l d'y) =z B, JZdvw —Idz -f-d(ixd*z) —({^{vd^z) —C,
A, B, C étant trois constantes arbitraires.
(]es équations donnent, par l'élimination de X, ces trois autres-ci
dy f\ dm — dx Ç\ dm -\-dyd(iJ. d}x ) — djrd(ix d^-y )
— dyd^ivd^jc) -H djc d*(v d^y) — A dy — B d.r,
dz Ç\dm — d.rf7jdm -H dzd{ixd*jc) — dxd{iJ.d*z)
— dzd*(vd'x)-hdxd^{vd*z)z:^Adz — Cr/.r,
dz f\ dm — dy fl, dm 4- dz d{ jjl d^y ) — dy d{[id^z)
— dz ^*(v d^y) -^dyd^{^td}z) — \^dz — Ç. dy,
lesquelles sont aussi intégrables, et dont les intégrales sont
y f\ dm — X f\ dm —J( \y — \x) dm
-H li{dy d^x — dx d*y) — dyd{v d}x) -+- dx d{y d'y)
-\-y(d\yd'x — d*x d'y) = Ay — B.r -h F,
; fXdm — xfZdm — f(\z — 7jx) dm
-h ii{dz d^x — dx d^z) — dz d(v d}x) -+- dx d(vd'z)
H- vid^zd'x — d^xd'z) = A;; — Cx -h G,
zf\ dm--yj7.dm —/{Yz- 7.y) dm
-\- ^{dzd^y — dyd^z) — dzdivd'y) 'hdyd(vd'z)
'^-^{d'zd'y — d\yd'z) — \^z-~ C j + H,
F, (i, H étant de nouvelles constantes arbitraires.
Ces trois dernières équations serviront à déterminer les trois quantités [JL, V et rfv, et les trois premières équations intégrales donneront les valeurs de X, rfa, rf^^v. Ainsi l'on aura toutes les inconnues qui entrent dans les termes qui sont hors du signe §; il suffira pour cela de marquer, dans les six équations qu'on vient de trouver, toutes les lettres d'un trait ou de deux, à l'exception des constantes arbitraires, de supposer nulles, dans le premier cas, les quantités affectées du signe / , lesquelles sont censées commencer au premier point du fil, et de changer, dans le second cas, / en j^ dans les mêmes quantités, pour les rapporter au dernier point du fil.
56. Cela posé, voyons maintenant les conditions qui peuvent résulter de Tanéantissement des termes hors du signe § dans l'équation générale de l'équilibre (art. 54).
Et d'abord, si l'on suppose la verge entièrement libre, les variations ùx\ cy\ cz\ dùx\ dly\ (Uz\ d^ix\ d'oy\ rf^os' et lx\ oy\ oz\ dox"^ ... seront toutes indéterminées; par conséquent, il faudra égaler à zéro chacun de leurs coefficients, et il est visible qu'il faudra pour cela que les quantités V, (jl', v', r/o.', rfv', d^V, ainsi que X", (jl", v", r/(jL", dV\ d^V\ soient nulles.
Donc les trois premières équations intégrales de l'article précédent, étant rapportées au premier et au dernier point du fil, donneront ces six conditions
A=:o, Br=o, C=io, j;^Xt/m = A, j^Y^m=:R, ^Ze/m=:C; et les trois dernières intégrales donneront de même les six suivantes :
A/-Ba:'-hF = o,
Hz' -iZx' ^{\^o, Ry — Cj -hIl:=o;
yj^X^m - ^"^ Ye/m - S(^/ - ^^)dn\ - A v"- Wx"^ F,
^^ § X ^/m - .r''^ Z ^m - § (X:; - Z x) dm — kz"- C^^^-h T.,
-'^ ^ Y €/m - / ^ Z ^m - ^ ( Y c - Z r ) ^m = R w" - Cv" + H. XI. 23
Donc
et, par conséquent,
§Xé/ini=o, ^Yrfm = o, ^Z^m^io,
S(\ j — Y^) dm = 0, S^^^ "" ^^^ ^"^ ^^' S (^^ "■ ^.>') ^"^ — ^•
Ces six équations sont donc les seules qui soient nécessaires pour l'équilibre d'une verge inflexible, lorsqu'il n'y a pas de point fixe ; c'est ce qui s'accorde avec ce que nous avons remarqué plus haut (art. 25), et c'est aussi ce qu'on aurait pu déduire immédiatement de la théorie donnée dans la Section III, ainsi que nous l'avons observé dans l'article cité.
57. Supposons maintenant qu'il y ait dans la verge un point fixe et que ce point soit la première extrémité de la verge; dans ce cas, on aura
8x'z=o, ôy=o, èz':=o;
en sorte que les termes affectés de ces variations disparaîtront d'euxmêmes; il suffira donc d'égaler à zé^'o les coefficients de d8v\ d8y\ cloz\ d^8x\ d^^y, d^^z\ ainsi que les coefficients de laf\ ly\ Iz"^ dlx\dly\ ....
Or il est aisé de voir que, pour cela, il suffira que l'on ait
et ensuite
}/zzrO, fA'=0, V^iizo, t/fx'^zzzO, é/v^rz: O, ef*v'= O,
comme dans le cas précédent; et l'on trouvera les mêmes conditions que dans l'article précédent, à l'exception de ce que A, B, C ne seront pas nulles.
On aura donc
A = §Xe/m, B=:^Yrfm, C=:§Ze/m, ensuite
['RËMIÉRË PARTIE. - SECTION V. 179
et les trois autres équations se réduiront à celles-ci
- S(Xj- Yx)éfm ^ hx'^ A/,
- S (Y 5 - Zv) dm = Cy- B^', c'est-k-dire à
j^ {\r - Y.r ) dm -^-r'^Y dm — v' § X éfm = o,
^(\^ — 7,x)dm -h x' ^Zdm. — z' ^Xt/m = 0,
j^(Yc-Zj)^m-f /^Zt/in-^'j^Yclmzno,
ou, ce qui est la même chose, à
^[\{y-y)-\{x-.r')]dm^o, %[\{z - z') — Z{a' — x')'\dm—o, S[Y(5~c')-Z(r-/)]./m = o.
Ce sont les seules conditions nécessaires pour l'équilibre, et il est clair qu'elles répondent k celles que l'on a trouvées dans l'article 24.
58. Si la verge était fixement attachée par sa première extrémité, on sorte que non seulement le premier point de la courbe fût fixe, mais aussi la tangente à ce premier point, alors on aurait non seulement
mais aussi
o dx'^rz d ox'z= o, 0 dy'=: d 0/'= o, 0 dz':^ d oz'= o;
par conséquent, tous les termes affectés de ces quantités disparaîtraient d'eux-mêmes et il ne resterait qu'à faire évanouir les termes affectés de (Pox\ r/^S/, rf^Sc' et de 8x\ ô/', 8z\ dlx\ dZy\ .... On n'aura donc, dans ce cas, que ces conditions
v'zno, V = o, ^'^Oy v"=io, dix'^zizo, dv" — O, d^^/zziO.
Donc les constantes A, B, C auront encore les valeurs
A^^X^m, Bz^SVt/m, C^^Z^m;
(Misuite les trois dernières intégrales de l'article 55, étant appliquées au dernier point de la verge, donneront
F = ^ ( Y^ - Xj) dm, G :== |§ (Z^ - X:;) ^m, H = § (Zj - \z) dm.
Et, si Ton applique ces mêmes équations au premier point, on aura
li'(dyd'jc'— dx'd^f) - d>y{dyd^x'— dx'd^f) =1 A/— Bx'-h F, ix'{dz' d^x'— dx'd^z') — dv'{dz'd^x'— dx'd^z') z=z \ z' — C x' -\- G,
ix' (dz' d^y— dy d^z') — dv' {dz' d^y— dy d' z') =:iB z' — cy-hH,
d'où, éliminant (Ji'etrfv', résulte l'équation
A(/^y— z'dy) -f- B{z'dx'^ x'dz') -h C(x'dy—ydx')
+ F dz'-^ G dy-{- H dx'=i o.
Cette équation est nécessaire pour empêcher que la verge ne tourne autour de sa première tangente, qui est supposée fixe, et il est facile de voir que son premier membre devient nul lorsque la verge est une ligne droite.
59. On pourrait regarder comme un défaut de notre méthode la longueur de cette solution, qui est, en effet, plus longue que celle de l'équilibre d'un fil flexible; tandis que, par les méthodes ordinaires, ce dernier problème est beaucoup plus difficile que celui de l'équilibre d'une verge raide tirée par des puissances quelconques, parce qu'il faut déterminer, par la composition des forces, la courbe que le fil doit prendre pour être en équilibre, au lieu que, dans le cas de la verge, cette courbe est donnée et que l'équilibre ne demande que la destruction des moments des forces. Mais, lorsqu'on veut suivre pour tous ces problèmes une marche uniforme et passer de l'un à l'autre graduellement, à mesure qu'on y ajoute de nouvelles conditions, il est évident que le cas d'un til inflexible Bst moins simple que celui d'un fil flexible.
parce que Tinflexibilité exprimée analytiquement consiste dans l'invariabilité des distances mutuelles des points du fil. Et si, dans ce cas, la courbe étant donnée, elle ne doit plus être un résultat du calcul comme dans le cas d'un fil flexible, c'est une circonstance que l'analyse doit indiquer et qu'elle indique, en effet, par les trois indéterminées X, (X, V qui restent dans les trois équations indéfinies entre ^, j, z de Tarticle 55, et qui font que ces équations peuvent s'adapter à une courbe quelconque donnée. Ainsi l'on ne doit pas regarder ces équations comme une superfluité inutile; outre qu'elles servent à déterminer les trois inconnues X, (x, v, d'où dépendent les conditions de l'équilibre, et qui expriment (*) en même temps les forces qui s'opposent à ce que les valeurs des trois fonctions a, p, y varient par l'effet des forces qui agissent sur le fil.
Il est vrai que les trois indéterminées X, (jl, v doivent être remplacées par les trois équations de condition qui consistent en ce que les fonctions différentielles a, p, y doivent être censées données. Mais, comme, par la nature du Calcul différentiel , la valeur absolue des différentielles reste indéterminée et qu'il n'y a que leur rapport qui puisse être donné, ces trois conditions ne peuvent équivaloir qu'à deux, qui renferment les rapports des trois quantités a, p, y; et ces deux rapports suffisent pour déterminer la courbe.
En effet, par ce qu'on a démontré plus haut (art. 46), on voit que l'angle de contingence formé par deux côtés successifs de la courbe»
se trouve exprimé par v^^P~~ ^ , ^^ conservant les valeurs de a, S,
Y de l'article 53; de sorte que le rayon osculateur sera exprimé par
^— - =r- Ce rayon étant donc supposé donné, la courbe sera donnée
si elle est à simple courbure, et, pour les courbes à double courbure, il ne sera pas difficile de prouver que la seconde courbure, provenant de l'angle de contingence formé par les plans qui passent successivement par deux éléments contigus de la courbe, dépendra du rapport des
(*) Fbir la note relative à Tarticle 53. (/. Bertrand.)
i82 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
trois quantités a, P» y{*). Ainsi les trois conditions dont il s*agit, rapportées a la courbe, se réduisent a ce qu'elle soit donnée, comme le problème le suppose (^).
On pourrait étendre l'analyse de ce problème au cas d'une surface ou d'un solide dont tous les points seraient tirés par des forces quelconques; mais nous allons faire voir comment on peut la simplifier en partant des mêmes équations de condition et en déterminant d'avance par ces équations la forme des variations des coordonnées.
