SECTION SEPTIÈME
DE l'équilibre des FLUIDES INCOMPRESSIBLES.
1. Soit une masse fluide m, dont tous les points soient animés par
des pesanteurs ou forces quelconques P, Q, R, ..., dirigées suivant
les lignes/;, y, r, .. .; on aura, suivant les dénominations de l'article 12
de la Section IV, pour la somme des moments de toutes ces forces, la
formule intégrale
|§ (P 5/> H- Q ôy 4- R ô/- 4- . . .) ^m,
laquelle devra être nulle en général pour qu'il y ait équilibre dans le fluide.
§ I. — /)e l'équilibre (V un fluide dans un tuyau très étroit.
2. Supposons d'abord le fluide renfermé dans un canal ou tuyau infiniment étroit et de figure donnée et imaginons ce fluide divisé en tranches ou portions infiniment petites, dont la hauteur soit ds et la largeur co; on pourra prendre dm = coefo, à cause que la largeur co du tuyau est supposée infiniment petite, é& étant l'élément de la courbe du tuyau. Or, en imaginant que le fluide reçoive un petit mouvement, et change infiniment peu de place dans le tuyau, soit h le petit espace que la tranche ou particule dm parcourt dans le tuyau; il est clair que (i>h sera la quantité du fluide qui passera en même temps par chacune des sections (o du canal. Donc, à cause de l'incompressibilité du fluide, il faudra que cette quantité soit partout la même; de sorte que, faisant (o$5 = a, la quantité a sera constante par rapport à la
courbe du tuyau. On aura ainsi (o = - et, par conséquent, dm = -^r-;
(lo sorte que la formule qui exprime la somme des moments des forces deviendra, en faisant sortir hors du signe intégral la quantité constante a,
ds
«S (Po/? 4- Q 5(7 -h R ô/- 4-. . .) ^•
Maintenant il est visible que, puisque Sp, Sq, Sr, ... sont les variations des lignes/?, q^ r, ... résultantes de la variation S^, ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rapports que les différentielles dp,dq,rlr, ..., ds^k cause de la figure du canal donnée; ainsi Ton aura
dp cfp oq dq ôr dr
os ds os ds es ds
ce qui réduira la formule précédente à cette forme
a^iPdp-hQdq-h^dr-h...),
où les différentielles dp, dq, dr, ... se rapportent à la courbe du canal,
et lo signe § indique une intégrale prise par toute l'étendue du canal. Faisant donc cette quantité égale à zéro, on aura l'équation
^{Pdp-\- Qdq-+- Rdr-h. , .)—o,
laquelle contient la loi générale de l'équilibre d'un fluide renfermé dans un canal de figure quelconque.
3. Si, outre les forces P, Q, R, ... qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l'une des extrémités du canal une force extérieure II' qui agît par le moyen d'un piston sur la surface du fluide et perpendiculairement aux parois du canal; alors, dénotant par is' le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu'on suppose pressée par la force H', tandis que les autres tranches parcourent les différents espaces os, il faudra ajouter à la somme des moments des
en nommant 0)" la section du canal dans cet endroit, l'équation
-7 H T, -h \(P^/>4-Qe/(7-+-Rflf/-h. ..) = o
lt\ lu ^-^
pour l'équilibre du fluide.
6. Donc, si le fluide n'est pressé que par les deux forces extérieures 11' et H" appliquées aux surfaces co' et o)", il faudra, pour l'équilibre,
Jl/ Tiff
que l'on ait -7 H — 7=0; d'où l'on voit que les deux forces II' et H"
doivent être de directions contraires, et en même temps réciproquement proportionnelles aux surfaces co', w" sur lesquelles ces forces agissent, proposition qu'on regarde communément comme un principe d'expérience, ou du moins comme une suite du principe de l'égalité de pression en tout sens, dans lequel la plupart des auteurs d'Hydrostatique font consister la nature des fluides.
7. La connaissance des lois de l'équilibre d'un fluide renfermé dans un canal très étroit et de figure quelconque peut conduire à celle des lois de l'équilibre d'une masse quelconque de fluide renfermée dans un vase ou non.
Car il est évident que, si une masse fluide est en équilibre et qu'on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c'est-à-dire indépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour l'équilibre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2),
§ (P rf/? 4- Q ^7 4- R rf/- H- . . .) = o.
Et, comme la figure du canal doit être indéterminée, l'équation précédente devra être indépendante de cette figure; d'où l'on pourrait conclure tout de suite, comme Clairaut l'a fait dans sa Théorie de la figure de la Terre, que la quantité Vdp -hQdq -h Rdr-h . . . doit être une diflerentielle exacte. Mais on peut arriver à cette conclusion par
oT= o, il faudra que cette partie soit nulle d'elle-même et que, par conséquent, on ait pour chaque point de la masse fluide l'équation identique
dP dp -^dPSp-h àQ dq — dQSq-h ài\ dr — dRdr -h . . . = o.
En regardant les expressions des forces P, Q, R, ... comme des fonctions quelconques de/?, q, r^ . . ., on aura, suivant la notation reçue.
de même
,o dP, dP, dP, ^n àP ^ dP . dP .
et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l'équation précédente et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme
et devra avoir lieu indépendamment des difiFérences dp, dq, dr, ...; S/?, oy, or, ....
Donc, s'il n'y a aucune relation donnée entre les variables p^q.r, . . . , il faudra faire séparément
àP___àQ__ dq dp ""'''
àP dK dr dp "~ ^'
dr dq ~^'
Ce sont les équations de condition connues pour l'intégrabilité de la formule
Pdp-hQdq-^Rdr-h
9. Lorsque les lignes/?, q, r^ ... se rapportent à un point dans Tespace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point et les forces P, Q, R, . - . peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (Sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant /?, q, r pour ces coordonnées, soit rectangles ou non (*), et P, Q, R, ... pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il fiiudra que les quantités P» Q» R» regardées comme des fonctions de/?, 7, r, satisfassent à ces trois équations
dq dp- ' dr dp ' dr ôfj
Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces P, Q, R qui agissent sur tous ses points.
Au reste, on a fait abstraction jusqu'ici de la densité du fluide, ou plutôt on Ta regardée comme constante et égale à Tunité ; mais, si Ton voulait la supposer variable, alors, en nommant F la densité d'une particule quelconque rfm, on aurait (art. 2)
et les quantités P, Q, R, ... se trouveraient toutes multipliées par T. Ainsi, l'on aura pour l'équilibre des fluides de densité variable les mêmes lois que pour l'équilibre des fluides de densité uniforme, (mï multipliant seulement les difl^érentes forces parla densité du point sur lequel elles agissent, c'est-à-dire en écrivant simplement FP, FQ, FR, ... à la place de P, Q, R,
(*) Celle asserlion n'esl pas exacte. Si P, Q, U désignaient les composanles paraliiîlcs à trois axes obliques et y;, ^, r les coordonnées relatives à ces axes, la somme des moments virtuels ne serait pas Vdp-^-Qdq-r-Wdr et les raisonnements qui précèdent ne pourraient pas s'appliquer. {J, Bertrand.)
20i MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
§ II. — OÙ Von déduit les lois générales de V équilibre des fluides incompressibles de la nature des particules qui les composent.
10. Nous allons maintenant chercher les lois de l'équilibre des fluides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d'un amas de particules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de ligure, mais sans changer de volume.
Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, représentées par X, Y, Z et dirigées suivant les coordonnées rectangles ce, v, z, c'est-à-dire tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le Chapitre I de la Section V, les formules générales de cette réduction.
Nommant dm la masse d'une particule quelconque, on aura, pour la somme des moments des forces X, Y, Z, la formule intégrale
§(X âx 4- Y Ô7 -+- Z 6z)dm ;
or le volume de la particule dm peut être représenté par dxdydzx ainsi, en exprimant par F la densité, il est clair qu'on aura
dm = Ydx dy dz ;
et le signe d'intégration § appartiendra à la fois aux trois variables x, j, z.
Il faudra, de plus, avoir égard à l'équation de condition résultante de l'incompressibilité du fluide, laquelle, étant supposée représentée par
donnera, en diflerentiant selon S, multipliant par un coefficient indéterminé X et intégrant, la formule S^^'^ ^ ajouter à la précédente.
S'il n'y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface du
lequel est formé par raccroissenient dx que la coordonnée oc reçoit tandis que les deux autres, y et z, ne varient pas, il faut que, dans la dilfércntiation de S^r, la seule x soit censée variable : ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d'écrire simplement dlx^ il
faudra écrire -^dx; de même, et par un raisonnement semblable, on
écrira -r^—dy et —^dz au lieu de d8y eidcz. De cette manière, dans
ay *- oz *" '
l'hypothèse que la particule dxdydz demeure rectangulaire après la variation, on aura
Il en serait encore de même si l'on supposait que la particule dxdydz devint, par la variation, un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de l'angle droit; car on sait, par la Géométrie, que, si «, h, c sont les trois côtés d'un parallélépipède qui forment un angle solide, et a, p, y les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède, est exprimée par la formule
abc V (i — cos*a — cos'{3 — cos'y H- 2 cosa cos|3 cosy) .
Or les côtés deviennent, par la variation,
et les cosinus de a, ^, y deviennent infiniment petits; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de a, />, c, et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de dxdydz, la même expression qu'on vient de trouver.
Mais, quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l'adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l'exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d'une manière rigoureuse, la variation de dxdydz, en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d'un
nées pour les deux angles adjacents à chaque côté. Ainsi, en marquant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numéros qui répondent k ces angles, on aura
(i^2)=zicix
v'(-^T-(1fr7-(-£)"
'■•-'=<vrf)'-(-t)'-(fy'
d'où Ton voit que les côtés opposés (i, 2), (3,4) sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés (i,3), (2,4), et que, par conséquent, le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus (1,2), (1, 3) seront, en négligeant sous le signe les quantités du second ordre vis-k-vis de celles du premier,
13. A l'égard de l'angle compris par ces deux côtés, on le trouvera par le moyen de la diagonale (2, 3), laquelle, en prenant de même la racine carrée de la somme des carrés dos différences des coordonnées respectives des systèmes (2) et (3), devient
Or, en nommant a l'angle dont il s'agit, le triangle formé par les trois côtés (r, 2), (i,3), (2, 3) donne
COS a ; ; ;r-
Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de (i, 2), (i, 3), (2, 3), effaçant les termes qui se détruisent et négligeant les infini-
parallélépipède n'est qu'infiniment petit et n'influe point dans la valeur de sa solidité, il s'ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations o,r, Sj, 8z soient simplement fonctions de x, de y et de :;, comme nous l'avons fait dans l'article 31 de la Section IV.
16. Ayant ainsi la vraie valeur de ^{dxdydz)^ on la prendra pour celle de SL et l'on aura
oL nz djc dv dz -^ 1 r-^ H- -3— .
\ ax ôy oz )
On substituera donc cette valeur dans l'équation générale de l'article 10, et mettant en même temps pour dva sa valeur Vdxdydz^ on aura l'équation
et il ne s'agira plus que d'y faire disparaître les doubles signes rfô par la méthode exposée dans le §11 de la Section IV.
