SECTION HUITIÈME

DE l'équilibre des FLUIDES COMPRESSIBLES ET ÉLASTIQUES.

1 . Soient, comme dans l'article iO de la Section précédente, X, Y, Z les forces qui agissent sur chaque point de la masse fluide, réduites aux directions des coordonnées x, y, :; et tendantes à diminuer ces coordonnées; on aura d'abord

§(\â^-+-Yaj-t-Zôw)^m

pour la somme de leurs moments.

Dans les fluides élastiques il y a, de plus, une force intérieure qu'on nomme élasticité ou ressort et qui tend à les dilater ou à augmenter leur volume. Soit donc £ l'élasticité d'une particule quelconque r/m ; cette force, tendant à augmenter le volume dxdy dz de la même particule, aura ou pourra être censée avoir pour moment la quantité — tl[dœ dy dz) par l'article 9 de la Section II. Je donne ici le signe — au moment de cette force, parce que celle-ci tend a augmenter la variable dxdydz^ tandis que les forces X, Y, Z tendent à diminuer les variables x^ y, z. Ainsi la somme des moments provenant de l'élasticité de toute la masse fluide sera exprimée par — ^io{dxdydz).

Donc la somme totale des moments des forces qui agissent sur le fluide sera

^(\dx^Yoy-^ZS3)dm-^tS{dxdydz);

et comme il n'y a ici aucune condition particulière à remplir, on aura

Téquation générale de l'équilibre en égalant simplement cette somme à zéro.

2. On aura donc pour l'équilibre des fluides élastiques une équation de la même forme que celle que Ton a trouvée dans la Section précédente (art. 10) pour l'équilibre des fluides incompressibles, puisque l'on a, dans celle-ci (art. 11),

oL -= ô{djc dy dz)^

ce qui rend le terme S^^îL, provenant de la condition de l'incompressibilité, entièrement semblable au terme ^to[dxdydz) dû au moment des forces élastiques.

Il s'ensuit de là que les formules trouvées pour l'équilibre des fluides incompressibles s'appliquent immédiatement et sans aucune restriction à l'équilibre des fluides élastiques, en y cbangeant simplement le coefficient X en — e, c'est-à-dire en supposant que la quantité A qui exprimait la pression dans les fluides incompressibles, étant prise négativement, exprime la force d'élasticité de chaque élément d'un fluide élastique.

3. L'élasticité e dépend de la densité et de la température de chaque particule du fluide, et l'on doit la regarder comme une fonction connue de ces deux quantités; mais la densité de chaque particule est inconnue, parce qu'elle dépend du rapport de la masse dm de la particule à son volume dxdydz; et le Calcul difl'érentiel ne peut déterminer ce rapport, qui dépend du nombre de particules élémentaires contenues dans l'élément difl'érentiel dxdydz de la masse fluide.

On ne peut donc connaître la valeur de l'élasticité qu'a posteriori, par le moyen des forces qui tiennent le fluide en équilibre. Ainsi il faudra déterminer la valeur de e comme on a déterminé celle de X dans l'article 19 de la Section précédente.

4. En changeant X en — e, on aura par cet article les équations

-T i-I\=rO, -r hll=0, -T--f-r/ — O,

ôx dy ôz

(Sect. VII, art. 20), il faudra que 0 soit une fonction de H; par conséquent, on aura rfO = o lorsque dll = o; d'où il suit que la chaleur doit être constante dans chaque surface de niveau a laquelle la pesanteur est perpendiculaire, autrement il sera impossible que l'atmosphère puisse être en équilibre. Ainsi il faudrait, pour que l'air pût être en repos, que la température fut égale sur toute la surface de la Terre, et qu'elle ne variât, en s'élevant dans l'atmosphère, que d'une couche de niveau à l'autre.

7. A l'égard de l'équation aux limites pour la surface du fluide, en employant la réduction de l'article 32 de la Section précédente, elle devient

et, sous cette forme, elle est évidente par elle-même, car à la surface il n'y a à considérer que la force d'élasticité e qui agit suivant la ligne/? perpendiculaire a la même surface; et si le fluide est contenu dans un vase, les variations op sont nulles, et l'équation a lieu d'ellemême; mais, si une partie de la surface était libre, il faudrait que l'élasticité £ y fût nulle; autrement le fluide, n'élant pas contenu, se dissiperait.

8. L'élasticité s, dans l'atmosphère, est proportionnelle à la hauteur du baromètre, que nous désignerons par h. Soit Z la force de la pesanteur; prenons l'ordonnée :; perpendiculaire a la surface de la Terre et dirigée de bas en haut; l'équation de l'article 5 deviendra

d/i Z dz

laquelle donne par l'intégration, en prenant H pour la hauteur du baromètre lorsque z = o,

, H rzdz

l'intégrale étant supposée commencer au point où ^ = o.

On voit par la que le logarithme du rapport des hauteurs du baro-