i — — T-, h;-=:const

Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficients des quantités variables v^ et z^ soient nuls, ce qui donnera les deux équations

3rm^£^* (^Tm-^ 5 r^in'|/» h __ /A^ ~ir5A*' 2. 5 A* "^2 2(?'~^'

qui serviront a déterminer les deux excentricités e et i de la surface elliptique de la mer.

25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de Taxe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si Ton prend Taxe 2A, qui est aussi Taxe des coordonnées .r, pour Taxe de rotation, et que f soil la force centrifuge à la distance A

de Taxe, on aura -y- pour la force centrifuge d'un point quelconque du

sphéroïde, en faisant u = \{y^-hz^; cette force, étant dirigée suivant la ligne u et tendant k l'augmenter, donnera le moment r— > dont

l'intégrale ry savoir — v-"" > devra être ajoutée à la quantité

^, pour avoir égard à l'effet de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l'équilibre de la mer, en vertu de l'attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la Terre, et de la force centrifuge

due à la rotation de la Terre, en faisant dans les deux équations précé-

dentés /=o, g = -y h ^ ^^^

Puisque les deux constantes g* et A sont égales, on voit, par ces équations, que, si les excentricités e' et i de la Terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités e et i de la figure de la mer égales entre elles; de sorte que, si la Terre est un sphéroïde de révolution, la mer ne le sera pas non plus, et les deux équations dont il s'agit donneront les valeurs de ses deux excentricités 6», /, qui seront différentes des excentricités é et i de la Terre.

26. Au reste, cette solution n'est exacte qu'aux quantités e^^ /% e''^^ i"^ près; et si Ton voulait avoir égard, dans les valeurs de ^ et de r, aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l'équation

i ^' - , ~ COIlSl.

pour la surface d'équilibre; d'où il faudrait conclure que cette surface n'a point rigoureusement la figure d'un sphéroïde elliptique.

Je dis en général, parce que, dans le cas où le sphéroïde est homogène et sans noyau intérieur d'une densité différente, on a trouvé que les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois coordonnées .r, y^ z, sont représentées exactement par les formules-

niL.r, mM>', m Ne,

où L, M, N sont des fonctions de A, B, C données par des intégrales définies; d'où l'on déduit pour 2il cette expression rigoureuse

Ainsi, l'équation de l'équilibre ii "T'k — const. étant de la même

forme que l'équation du sphéroïde t^ -i- ]tï -H ^ == i , on peut, à cause

de la constante arbitraire, les rendre identiques par ces deux conditions

mM f

niL

niL C*'

lesquelles donnenl B = C, parce que les quantités M et N sont (') des fonctions semblables de B, C et de C, B; elles se réduisent ainsi à une seule, qui sert à déterminer le rapport de A k B.

Ce cas esU jusqu'à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu'on doit àMaclaurin; de sorte que le problème de la figure de la Terre, envisagé physiquement, n'est résolu exactement qu'en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent,

en faisant

f r — I, r' = o, gz-h^=j et e = £,

celle-ci :

2 me*

Si Ton compare la force centrifuge à la gravité prise pour l'unité, laquelle est, aux quantités ^^ près, xi' i' n'y aura qu'à faire -^ = i, et

l'on aura

d'où l'on tire

Or on a f = -g^; donc -r = -^ à très peu près, comme on le sait depuis longtemps.

§ m. — De l*éqinUbre d'une masse fluide a^^ec un solide qu elle recouvre.

27. Les lois particulières de l'équilibre d'un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dé-

( > ) En examinant ces équations do plus près, on voil qu'elles admettent une autre solution, et qu*un ellipsoïde à trois axes inégaux peut y satisfaire. Cette remarque est de Jacobi; elle a été développée par M. Liou ville {Journal de l'École Polytechnique, t. XUI). P'oir une Note à la fin du volume. (7. Bertrand.)

pendent des termes de l'équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles. Ces termes donnent cette équation aux limites

laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide.

28. Considérons d'abord le cas d'une masse fluide dont la surfacr extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figuro quelconque.

En prenant l'origine des coordonnées dans un point de l'intérieur du noyau, les quantités marquées d'un trait se rapporteront a la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi l'on aura d'abord, pour tous les points de cette surface, l'équation X*'= o, laquelle donne, comme on l'a déjà vu plus haut (art. 19),

^Vi\dx-\-Ydy-^-Zdz)=:K,

pour la figure de cette surface.

11 ne restera donc à vérifier que l'équation

§ l'(Sx' dy dz -h Sy dx dz -{- oz' dx dy) — o,

dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau.

29. Comme l'intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les diflerentielles entrent dans l'expression des éléments superficiels dxdy^ dxdz^ dydz^ il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme; ce qu'on peut obtenir en les rapportant à l'élément de la surface auquel ils répondent.

Désignons par ds^ l'élément de la surface qui répond à l'élément

divdy du plan des xy et nommons y' l'angle que le plan tangent fait avec le même plan des xy\ on aura, par la propriété connue des plans,

(irdy=^ds^ cosy', et l'intégrale §X'â:;V,rrfj deviendra ^X'cosy'rfrrfy*, laquelle devra s'étendre à tous les points de la surface du fluide.

De même, si rfa^ est l'élément de la surface qui répond k l'élément dccdz du plan des œz^ et qu'on nomme ^' Fangle que le plan tangent fait avec ce même plan des xzy on aura dxdz = r/a^cos^', et l'intégrale

^V Sy'dxdz deviendra S A'cos^' ôy'rfT*, laquelle devra s'étendre également pour toute la surface du fluide.

30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments ds^ et d(j^^ de la surface puissent n'être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n'empêche d'employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du Calcul diff*érentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n'influe point sur celle de

l'intégrale. Ainsi l'on pourra changer l'intégrale ^K' cos^^' 8y da^ en

^ \' cos'^' 8y ds\

Par le même raisonnement, l'intégrale ^"k' èx'dydz pourra se mettre

sous la forme ^\' cos ol' ox' ds^ , en nommant a' l'angle que le plan tangent fait avec le plan des xy.

D'ailleurs, il est évident qu'on peut toujours prendre les éléments dx, dy, dz tels qu'ils satisfassent aux conditions

djc dy ZZ-. cos y' ds-, djc dz nz ces ^' ds^, dy dz = cos x' ds^y

lesquelles donnent

y cos a'

, . /cosa'cosy'

dy — ds i / ;.— ' ,

V cos*/'

' /..vc r<f

. , / cos a cos p

dz znL dsK / — "^

Par ces transformations, Téquation aux limites deviendra enfin

§X'(cosa' ox' -f- cosP' dy -h cosy' àz')ds^ — o,

l'intégrale devant s'étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau.

31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par l'équation différentielle

En nommant a', P', -f les angles que le plan tangent fait avec les plans des xy, des œz et des yz, on a, par la théorie des surfaces,

cosa'= -7-

COS ô' =-- --^zTzz^.. ^r— - J

COS y'— -

V(A*-HB5-f-0)

Donc l'équation de l'article précédent, relative à la surface, deviendra

Comme cette surface est donnée de figure et de position, les variations ô^', Sy, 8z' des coordonnées des particules qui y sont contiguës doivent avoir entre elles une relation dépendante de l'équation de la même surftice; ainsi, ayant supposé cette équation

A djc' -+- B d>' 4- C dz' mz o,

on aura aussi nécessairement

A ôx' -h B ô/' + C dz' -z o,

ce qui satisfait à l'équation aux limites de l'article précédent, sans qu'il en résulte aucune nouvelle équation.

32. Soit/?' une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations 8x\ Sy, 8z\ et terminée à un point fixe. Puisque a' est l'angle que le plan tangent fait avec le plan des yz, ce sera aussi l'angle que la perpendiculaire />' à ce plan fait avec l'axe dos a-, qui est perpendiculaire au même plan desyz. De même, P' sera l'angle de cette perpendiculaire avec l'axe des j et y' sera l'angle de la même perpendiculaire avec l'axe des z. Donc, quelles que soient les variations S^', Sy, 8z\ on aurai en général, par l'article 7 de la Section II, on changeante en S,

dp' = cos a' àx' -h ces (3' o v' -h ces y' àz' \

et l'équation de l'article 30, relative à la surface du fluide, pourra se mettre sous la forme

où l'on voit que chaque élément \' ds^ Bp' de cette intégrale représente le moment d'une force X ds^ appliquée à l'élément ds^ de la surface et dirigée suivant la perpendiculaire />' à cette surface, de sorte que

l'intégrale S ^'SjP'^^^ représentera la somme des moments de toutes les forces X' appliquées à chaque point de la surface et agissant perpendiculairement à cette surface.

Cette force égale à V est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance du noyau.

Mais on peut, en général, réduire à la forme ^"kBpds^ tous les termes de l'équation aux limites qui se rapportent à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non; et il est évident que la pression X doit être nulle dans tous les points où la surface est libre; ce que nous avons déjà trouvé d'une autre manière (art. 18).

33. Si le noyau recouvert parle fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations 8x^ 8y, 8z des variations dépendantes du changement de position du noyau.

Pour distinguer ces difl^érentes variations, nous désignerons par Sx, 5y, Sz les variations dues simplement au déplacement des particules

du fluide, relativement au noyau regardé comme fixe, et nous dénoterons par S$, Sv), S^ les variations qui dépendent du déplacement du noyau. Celles-ci sont exprimées par les formules suivantes, que nous avons trouvées dans l'article 60 de la Section V :

àt) = $m — z oL -h XQ?^, $X —0/1 4-/5L — j:'oM.

Ainsi, dans l'équation générale de l'article 17, il faudra mettre Sx -f- è^f Sy -+- Sy], Sz -h se à la place de 8x, ov, ^z, et ensuite égaler à zéro les termes affectés des variations Sx, Sy, Sz, ainsi que ceux qui se trouveront affectés des nouvelles variations S/, S/w, S/i, SL, SM, SN,

après les avoir fait sortir hors des signes S» puisque ces variations sont les mêmes pour toutes les particules du fluide.

On voit d'abord que l'introduction des variations â$, Sr^, 81 n'apporte aucun changement aux équations qui doivent avoir lieu pour tous les points du fluide, et qui résultent des termes affectés d'une triple intégration, parce qu'en égalant a zéro les coefficients de Sx, Sy, Sz dans ces termes, les variations S$, Sy), S^ disparaissent en même temps. D'où il suit que les lois générales de l'équilibre contenues dans les formules de l'article 19 sont indépendantes de l'état comme de la figure du noyau.

34. Il n'y a donc à considérer que l'équation aux limites, que nous avons réduite, dans l'article 30, à la forme

§ V ( cos a Sx' -h cos (3 dy -\- cos y àz' ) ds^ = o.

En y substituant pour Zx\ W, S:?' les valeurs Sx'-hS^', Sy' -h Sr/, Sz' -f- S^' marquées d'un trait, pour les rapporter à la surface du fluide contiguë au noyau, elle devient

§ >/ ( cos a ôx' -h cos p ôy ' -h cos y <îz' ) ds^

4- j§ X' (cosa ô;' -h cos (3 en' 4- cosy 5Ç') ds- = o. XI. 29

La partie qui contient les variations Sx', oy\ oz' est nulle d'elle-même, comme nous l'avons démontré dans l'article 31. L'autre partie du premier membre de l'équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de S$', oy]', 8^\ et l'on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par 81, cm, S/i, SL, SM, ôN; on aura ces six équations

^ }/ cos a ds^ = o, ^ >/ cos J3 ds^ =: o, ^ >/ cos y ds' := o,

^//(r'cosy — z' cos{3)c/5-=:o, ^>/(-3' cosa — a:'cosy)^* = o, ^ >/(x' cos|3 —y cosa) ds^ =z o,

qui seront nécessaires pour l'équilibre complet du fluide et du solide. Ces équations répondent à celles de l'article 62 de la Section V, en substituant ds^ pour dm et X'cosa, X'cos^, X'cosy pour X, Y, Z. En efl'et, V étant la force de pression qui agit perpendiculairement sur la surface du noyau solide, X'cosa, Vcos^, X'cosy seront les forces qui on résultent, suivant les directions des coordonnées o:^, r, :?, et il faudra que le solide soit en équilibre, cbacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces.

35. Mais, lorsqu'un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l'un et l'autre sont sollicités par des forces quelconques, il est plus simple de tirer directement la solution du problème de l'équation fondamentale de l'article 16, en y substituant immédiatement, pour 8x9 ôr, 8z, leurs valeurs complètes Sx -h S^, Sy -\- ôy], 8z-h cÇ (art. 33).

Les variations Sx, Sy, Sz, étant indépendantes des autres variations S/, 8m, ..., donneront une équation semblable à celle de l'article 17 ot fourniront les mêmes résultats pour l'équilibre du fluide que dans le cas où le solide est supposé fixe.

A l'égard des autres variations, S^, Sy], S(^, il est d'abord aisé de voir

qu'elles ne donnent rien dans les valeurs des différences partielles

-^-^> -^> -rr > puisque les variations S/, S/w, Sn, SL, SM, SN sont censées indépendantes de x, y, z.

Ainsi il suffira de substituer S$, Sy), SJ^ à la place de Sa?, Sv, 8z dans la formule

§ (X ajc H- Yàf -hZSz)Tdxdvclz

et d'égaler séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des six variations S/, 8m, S/i, SL, SM, SN, après les avoir fait sortir hors du

signe S- Il est visible qu'on aura de cette manière les mêmes équations qu'on a trouvées dans la Section V (Chap. IV), pour l'équilibre d'un corps solide dont chaque particule dm, qui est ici Tdxdydz, est animée par des forces quelconques X, Y, Z; de sorte que l'on a, pour l'équilibre d'un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si le fluide devenait solide.

36. Il résulte de ces deux manières d'envisager les variations que la pression du fluide sur la surface du noyau équivaut à l'action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide soit considéré comme solide et que le noyau soit augmenté de toute la masse du fluide devenu solide.

Comme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoir montrer d'une manière plus directe comment il se déduit de nos formules.

Tout se réduit à démontrer que l'équation

donne les mêmes résultats que l'équation aux limites

^l'{o^'dy dz -h $r/dx dz -h àK'dœ dy) — o.

Par les conditions de l'équilibre du fluide, on a (art. 19)

rx=^, rY=^, rz=Ç;

ojr oy Os

228 MÉCAiMQUE ANALYTIQUE.

et, comme les valeurs de 6$, 55y), ôC (art. 33) sont respectivement indépendantes de .T-, V, z, on aura aussi

rX 01=^-^-01^ lY on^= -.— or,^ 1 Z oÇ = -.- o; ;

ainsi la première équation deviendra

Le premier terme sous le signe est intégrablc par rapport à a\ le deuxième par rapport a r, le troisième par rapport à :;; donc, si Ton exécute ces intégrations partielles, comme on l'a fait dans l'article 17, il en résulte l'équation aux limites

^Viol^dy dz -t- f^ffdx dz -+- ^K' dx dy) — ^'>'{^l' dyàz 4- dV dx dz -f- ori'dx dy) - o.

Mais on a (art, 23)

à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre; donc il ne restera que l'équation

^V^ol'dy dz -h èn'dx dz -+- àri'dx dy) - o.

Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.

37. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s'il ne faisait qu'une masse solide avec lui, lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n'y aura qu'à tenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer k l'équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu'un solide continu, les solutions données dans le Chapitre IV de la Section V.

§ IV. — De V équilibre des fluides incompressibles contenus

dans des t^ases,

38. L'équation générale aux limites de Tarticle 27 doit se vérifier pour tous les points des parois du vase dans lequel le fluide est renfermé.

Mettons cette équation sous la forme

^{Vox''-V^x')dydz -^^{Vof'-Vèy)dxdz -f- ^{roz' — Voz' )dxdy — o,

et considérons d'abord les termes ^ÇK"ùz"—\'^z')dxdyy dans lesquels Iz" et oz' sont les variations de l'ordonnée z, en tant qu'elle se rapporte aux deux points de la surface du fluide qui répondent aux mêmes coordonnées x et r.

Il est évident que les variations ^z" tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les variations lz\ en les supposant toutes deux positives, tendent à faire rentrer dans cetlt» masse les particules de la surface opposée; de sorte qu'en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations ^z" et — oz' tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface; et la double intégrale

^{V'èz''—Vàz')dxdy

représentera la somme de toutes les quantités \lzdxdy qui répondent à tous les points de la surface du fluide et dans lesquelles les variations iz seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors : ainsi, avec cette condition, nous pouvons donner à

cette intégrale cette forme plus simple ^\^zdxdy.

De la même manière et avec les mêmes conditions, on pourra rame-

lier les deux autres intégrales doubles

^ (>/ dy~ V dy ) dx dz Cl § ( r èx'- V àx' ) dy dz

à la forme ^X^ydxdz, ^Xoxdydz.

Ainsi l'équation aux limites dont il s'agit pourra se mettre sous cette forme

nX oz dx dy -f- ^X oy dx dz ■\- jxX oz dy dxy

qu'on peut encore réduire, par l'analyse de l'article 33, à celle-ci

dans laquelle a, ^, y sont les angles que le plan tangent à la surface, dans le point qui répond aux coordonnées x, v, z, fait avec les trois plans des 7:;, des xz et des xy. L'intégration de cette équation devra s'étendre à toute la surface du fluide; et les variations S^r, 8y, Sz seront censées toutes dirigées du dedans de la masse fluide au dehors.

39. Dans les points où la surface est libre, les variations Sa?, Sy, oz demeurant indéterminées, on ne peut satisfaire à l'équation qu'en faisant X = o, ce qui donnera la figure de cette surface, comme nous l'avons vu dans l'article 18.

Pour tous les autres points de la surface où le fluide est contigu aux parois du vase, si l'on marque d'un trait les quantités qui s'y rappor* tent, on aura, relativement à ces parois, la même équation qu'on a trouvée par rapport à la surface du noyau recouvert d'un fluide (art. 30). Ainsi, toutes les conclusions qu'on a tirées de cette équation, depuis l'article qu'on vient de citer jusqu'à la fin du paragraphe précédent, peuvent s'appliquer aux parois du vase dans lequel le fluide est renfermé, quelle que soit sa figure, et soit qu'il demeure fixe, ou qu'il doive être en équilibre par la pression du fluide et par l'action des forces étrangères qui le tirent dans des directions quelconques.

PRËMIÈKE PAKTIE. - SECTION VIII. 231