XI
pour les forces employées immédiatement à mouvoir le corps m pendant le temps dt^ parallèlement aux axes des coordonnées x, y^ s. On regardera donc chaque corps m du système comme poussé par de pareilles forces; par conséquent, toutes ces force» devront être équivalentes a celles dont on suppose que le système est sollicité, et dont l'action est modifiée par la nature même du système; et il faudra que la somme de leurs moments soit toujours égale à la somme des moments de celles-ci, parle théorème donné dans la première Partie (Sect. II, art. 15).
4. Nous emploierons dans la suite la caractéristique ordinaire d pour représenter les différentielles relatives au temps, et nous dénoterons les variations qui expriment les vitesses virtuelles par la caractéristique S, comme nous l'avons déjà fait dans quelques problèmes de la première Partie.
Ainsi Ton aura
"'-dF'-^' '»#«/. «n^o.
pour les moments des forces
qui agissent suivant les coordonnées x, y, z et tendent à les augmenter; la somme de leurs moments pourra donc être représentée par la formule
, d^jr 5, d*y ^ d*z ^
en supposant que le signe d'intégration § s'étende à tous les corps du svstème.
5. Soient maintenant P, Q, K, . . . les forces accélératrices données, qui sollicitent chaque corps m du système vers les centres auxquels ces forces sont supposées tendre; et soient p, q, r, ... les'distances rectilignes de chacun de ces corps aux mêmes centres. Les différen-
tielles 8p, 8q, Sr, . . . représenteront les variations des lignes/?, q^r, .. , provenantes des variations Ix, Sy, Iz des coordonnées Xy y, z du corps m; mais, coofinfie les forces P, Q, R, ... sont censées tendre à diminuer ces lignes, leurs vitesses virtuelles doivent être représentées par — 8|p, — Sy, —Sr, ... (Part. I, Sect. II, art. 3); donc les moments des forces mP, niQ, mR, ... seront exprimés par — mPS/?, — mQSy, — mRSr, ..., et la somme des moments de toutes ces forces sera
représentée par
— jj^m(P 3/> H- 0 5^ 4- R or -4- . . .).
Egalant donc cette somme à celle de l'article précédent, on aura
et, transposant le second membre.
C'est la formule générale de la Dynamique pour le mouvement d'un système quelconque de corps.
6. Il est visible que cette formule ne diffère de la formule générale de la Statique, donnée dans la première Partie (Sect. II), que par les
ternies dus aux forces m --^^ m ^-^j m — qui produisent l'accélération du corps m suivant les prolongements des trois coordonnées x^ r, :;. En effet, nous avons vu dans la Section précédente (art. H) que ces forces, étant prises en sens contraire, c'est-à-dire étant regardées comme tendantes à diminuer les lignes x, y, z, doivent faire équilibre aux. forces actuelles P, Q, R, ..., qui sont supposées agir pour diminuer les lignes/?, y, r, ...; de sorte qu'il n'y a qu'à ajouter aux moments
e CCS dernières forces ceux des forces ni^-^> "^Tyî' ^TH^ pour
chacun des corps m, pour passer tout d'un coup des conditions de l'équilibre aux propriétés du mouvement (Part. I, Sect. II, art. 4).
7. Les mêmes règles que nous avops données dans la première Partie (Sect. 11), pour le développement de la formule générale de la Statique, s'appliqueront donc aussi à la formule générale de la Dynamique.
11 faudra seulement observer :
I® Que les différences que nous avions marquées par la caractéristique ordinaire d, pour représenter les variations, seront toujours marquées dorénavant par la caractéristique S;
2** Que la caractéristique d sera toujours relative au temps/, ainsi que la caractéristique correspondante / pour les intégrations, excepté dans les différences partielles, où il est indifférent quelle caractéristique on y emploie;
3** Que, pour représenter les éléments d'une courbe ou d'une surface, ou, en général, d'un système composé d'une infinité de particules, on emploiera la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale §. Ainsi, lorsqu'on voudra étendre au mouvement les formules que nous avons données pour l'équilibre, dans la première Partie (Sect. V, Chap. 111 et IV), il faudra changer partout la caractéristique d en D, pour avoir l'expression de la somme des moments de toutes les forces.
8. Lorsque le mouvement se fait dans un milieu résistant» on peut regarder la résistance du milieu comme une force qui agit en sens contraire de la direction du corps et qui peut, par conséquent, être supposée tendante à un point de la tangente.
Supposons que la résistance soit R; pour avoir son moment — RSr, il n'y a qu'à considérer qu'on a, en général,
/, m, n étant les coordonnées du centre de la force R; donc
or =: ox -h ôy H ùz.
Prenons le centre de la force R dans la tangente de la courbe décrite
par le corps et très près de lui; on fera, pour cela,
ce qui donnera, en prenant ds pour Télément de la courbe,
.r — / dx y — m dy z — n dz
r ds r ds r ds
et, par conséquent,
. djr ^ dy ^ dz ^
ôr =: -r- dcT -h -7- or -h -,- oz, as as '^ ds
Si le milieu résistant était en mouvement, il faudrait composer ce mouvement avec celui du corps pour avoir la direction de la force de résistance. Nommons rfa, d^, dy les petits espaces que le milieu parcourt parallèlement aux axes des coordonnées ^, r, :?, pendant que le corps décrit l'espace ds; il n'y aura qu'à retrancher ces quantités de dœ, dy, dz pour avoir les mouvements relatifs; et, comme
ds =: \/dx^ H- dy^ -+- dz^ ,
si l'on fait
d7 = sj {dx — doLY -^ (dy — d^y-h {dz — dyY ,
ofi aura, dans ce cas,
dx — doL ^ dy — c?3 . dz — dy ^
or =z — :j ox -f- -=^-7 — - dy H — ^ dz.
d(r d7 '^ dfj
A l'égard de la résistance R, elle est ordinairement une fonction de la vitesse ^; mais, dans le cas où le milieu est en mouvement, elle sera
fonction de la vitesse relative -r:-
dt
De cette manière, on pourra appliquer nos formules générales aux mouvements qui se font dans des milieux résistants, sans avoir besoin d'aucune considération particulière h ces sortes de mouvements.
