Il est important de remarquer que l'expression

d^x dx H- d^y dy H- d^z dz,

par laquelle la formule générale de la Dynamique diffère de celle de la Statique (art. 5), est indépendante de la position des axes des coordonnées a:, y, z.

Car, supposons qu'à la place de ces coordonnées on substitue d'autres coordonnées rectangles ^', v', z' qui aient la même origine» mais qui se rapportent à d'autres axes. Par les formules de la transformation des coordonnées, données dans la première Partie (Sect. III, art. 10), on a

.r— aar' -+- ^y' -^yz\

Différentions ces expressions de »r, y, :;, en y regardant tous les coefficients a, p. Y, a', ... comme constants et les nouvelles coordonnées x\ y\ z' comme seules variables, on aura

d^œ — oL rf«x'-f.;3 r/«/-hy d*z\ d^y — ol' d^x'-h p' e^/-h y'd^s', d^z -z a'dKv'-h ^"dr-y-^- y'd^z'.

On aura de même

o,r— a âj-'-f- P âv'-h y $z\ àY^OL'àx'-^^'èy''-^y'^z\

ôz r=z x'àjr'-^ ?'ô/-+- y'oz'.

Substituant ces valeurs et ayant égard aux équations de condition données dans l'article cité, entre les coefficients a, p, y, a', ..., on aura

d'x d.v -h d\Y 5/ -h d^z^z — d^x'ox'-{- rf*/ 5/h- d'z'iz.

Si l'on fait les mêmes substitutions dans l'expression des distances rectilignes entre les différents corps du système, représentées par p, q, ..., il est facile de voir que les quantités a, p, y, «', ... disparaîtront également et que les transformées conserveront la même forme. En effet, on a

.r,/, :; étant les coordonnées d'un corps m et x, y, z celles d'un autre

corps m rapportées aux mêmes axes. Par le changement des axes, les premières deviennent x\ y, z\ et, si l'on désigne par x', y', z' ce que les dernières deviennent, on aura aussi

x = ax' 4-(3y' -hyz', z = a'x'-h P^y'-l- y'^z'.

Substituant et ayant égard aux mêmes équations de condition, on

aura

ot ainsi des quantités analogues q, r, . . ..

10. Il s'ensuit de la que, si le système n'est animé que par des forces intérieures P, Q, ... proportionnelles à des fonctions quelconques des distances p, q, ... entre les corps, et que les conditions du système ne dépendent que de la disposition mutuelle des corps, de manière que les équations de condition ne soient qu'entre les différentes lignes p, q, ..., la formule générale de la Dynamique (art. 5) sera la même pour les coordonnées transformées x\ y\ z* que pour les coordonnées primitives Xyy^ z. Donc, après avoir trouvé, par l'intégration des différentes équations déduites de cette formule, les valeurs des coordonnées x^y^ z de chaque corps m, exprimées en temps, si l'on prend ces valeurs pour x\y\ z\ on aura, pour les coordonnées x,y, z, ces valeurs pjus générales

jTzna x'-h^ y'-^y ^''

dans lesquelles les neuf coefficients a, p, y, . . . renferment trois quantités indéterminées, puisqu'il n'y a entre elles que six équations de condition.

Si les valeurs de x\ y\ z renferment toutes les constantes arbitraires nécessaires pour compléter les différentes intégrales, les trois indéterminées dont il s'agit se fondront dans ces mêmes constantes

arbitraires; mais elles pourront suppléer celles qui manqueraient, et dont le défaut rendrait la solution incomplète. Ainsi, au moyen de ces trois nouvelles arbitraires qu'on peut introduire à la fin du calcul, on sera libre de supposer nulles ou égales à des quantités déterminées autant d'autres constantes arbitraires, ce qui servira souvent a faciliter et simplifier le calcul.

M. Quoiqu'on puisse toujours calculer les effets de l'impulsion et de la percussion comme ceux des forces accélératrices, cependant, lorsqu'on ne demande que la vitesse totale imprimée, on peut se dispenser de considérer ses accroissements successifs; et l'on peut, tout de suite, regarder les forces d'impulsion cemme équivalentes aux mouvements imprimés.

Soient donc P, Q, R, ... les forces d'impulsion appliquées à un corps quelconque m du système, suivant les lignes/?, y, r, ...; supposons que la vitesse imprimée k ce corps soit décomposée en trois vitesses représentées par ce, y, :;, suivant les directions des axes des coordonnées x, V, :?, on aura, comme dans l'article 5, en changeant les forces accélé-

ratrices -r-^y ^> ^ dans les vitesses x, y, 5, l'équation générale

^m (i 3j- + j ôy -+- i 5^) 4- §(P 5/? 4- Q Ô7 -h R (îr 4- . . .) = o.

Cette équation donnera autant d'équations particulières qu'il y restera de variations indépendantes après avoir réduit toutes les variations marquées par o au plus petit nombre possible, d'après les conditions du système.