XI
Ainsi les équations relatives à un point fixe subsistent aussi, lorsque le systènie est libre, par rapport h son centre de gravité.
16. Les équations que nous venons de trouver, pour Teffet des impuisions dans le premier instant, ont lieu aussi dans les instants suivants, s'il n'y a point de forces accélératrices, en regardant comme constants les termes qui dépendent des impulsions X, Y, Z; car, x, y, z étant les vitesses parallèlement aux axes des oc, y, z, on a
cix = a." r//, dy z= y dt, dz= zdt^
et les équations de l'article 9 deviennent
j^m {zx — jrz) =13, |§m(jc-z/) = A,
lesquelles, étant comparées à celles de l'article 14, donnent
Czzi^UX-xY), B=^^{xZ-z\), \ = ^{z\-yZ).
Ainsi on a les valeurs des constantes A, B, C exprimées par les impulsions primitives données à chaque corps; et l'on voit que ces valeurs ne sont autre chose que les sommes des moments de ces impulsions par rapport aux axes des x, des y et des z.
Il en sera de même des équations relatives au centre de gravité, en comparant les équations de l'article 12 avec celles de l'article 15.
17. Si l'on ne considère que les mouvements de rotation par rapport aux trois axes des coordonnées x, y, z, et qu'on désigne par vp, co, cp les vitesses de ces rotations, les variations ùx, S/, 8z seront proportionnelles aux vitesses x,y, z, et les variations 5'^, Sco, Sç seront en
même temps proportionnelles aux vitesses 4^,0), ç; les formules de l'article 7 donneront ainsi
(]es valeurs de ^r, j, z ne sont que les parties qui dépendent des trois
rotations; pour avoir les valeurs complètes des vraies vitesses a-, v, z, il faut y ajouter les parties qui dépendent du changement de situation des corps du système entre eux, et qui sont indépendantes des rotations.
Mais lorsque le système est invariable, ce qui a lieu dans tous les corps solides d'une figure quelconque, ces parties des vitesses sont nulles et les valeurs de ^, j, :; se réduisent simplement à celles que nous venons de donner. On pourra donc substituer ces valeurs dans les
équations précédentes et, faisant sortir hors du signe j§ les quantités
4», 0), ç, on aura, pour un solide de figure quelconque, en mettant l'élément Dm à la pliace de m (Sect. II, art. 7), les équations
9 §(^'-+- j*) Dm — ^ ^xz Dm — w ^yz Dm = C, «j§(a?*4- ^')Dm~ij;j§^7Dm— 9^ys Dm=B, tj/j^ (7*4- -î*)Dm~c«)Q^jDm — 9 ^a?5Dm ~A,
par lesquelles on pourra déterminer les vitesses des rotations initiales '\f, 0), f , produites par les impulsions X, Y, Z appliquées à des points quelconques du corps et dont les moments par rapport aux axes des x, r, z sont A, B, C.
Comme les vitesses de rotation sont proportionnelles aux angles infiniment petits décrits en même lemps par les rotations respectives,
il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans la première Partie (Sect. III,
art. H)queles trois vitesses 4*, w, ç se composent en une seule vitesse 0 telle que
avec laquelle le corps tournera réellement autour d'un axe instantané.
faisant, avec les axes des .r, v, :;, des angles X, a, v, tels que
COSA=-r> COSa=-, C0SV=i4-'
Oh e
Ainsi les trois équations précédentes donneront la position de Taxe autour duquel le corps tournera dans le preniier instant, et la vitesse de rotation autour de cet axe. C'est celui qu'on appelle axe spontané de rotation.
18. Dans les instants suivants, le corps continuera à tourner par sa force d'inertie, et les trois équations qu'on vient de trouver auront encore lieu, en regardant comme constants les termes qui contiennent les forces d'impulsion X, Y, Z, comme on l'a vu dans l'article 16; mais
les quantités j§(^*-i-j^^) Dm, §^vDm, ... deviendront variables à
raison de la variation des coordonnées iP, j, s pendant la rotation.
Mais une conséquence remarquable qu'on tire de ces équations, c'est que, dans un instant quelconque, le corps a le même mouvement de rotation qu'il recevrait dans cet instant par l'impulsion des mêmes forces qui l'ont mis d'abord en mouvement, si ces forces lui étaient appliquées de manière à produire les mêmes moments autour des axes des X, V, z.
Et comme ces équations ne sont que les équations générales de l'article 16 pour un système quelconque de corps, appliquées à un corps solide de figure quelconque, il s'ensuit que, si le système qui a reçu des impulsions primitives devient, par l'action mutuelle et successive des corps, un système invariable ou un solide quelconque, les mêmes équations auront encore lieu; de sorte que le solide aura à chaque instant le même mouvement de rotation qu'il recevrait par les mêmes impulsions primitives, si elles lui étaient appliquées immédiatement de manière à produire les mêmes moments.
Donc aussi une masse fluide, agitée primitivement par des forces quelconques, abandonnée ensuite à elle-même et devenue solide par l'attraction mutuelle de ses parties, aura, à chaque instant, le même
29i^ MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
lème (le points isolés ou une masse fluide quelconque puisse former un corps solide qui ait un mouvement de rotation, à moins que les impulsions primitives n'aient été telles qu'il en soit résulté un moment par rapport à Taxe de celte rotation.
20. Par les transformations exposées dans l'article 10» on peut changer les trois équations de l'article 17 en des équations semblables dans lesquelles les quantités x, y, 5, A, B, C soient remplacées par les quantités analogues a:-', y, :;', A', B\ C.
Désignons par '|', a>', o' les vitesses de rotation par rapport aux nouveaux axes des x\ y*, z'; on aura aussi
dji''=zx' dt r= ( z'iù'— y'^') dty dy' --^ y dt-{jc'ç'^ z' ^' ) dl, dz' — z'dtzzL (/d;'— x'i^')dt;
et les trois premières équations de l'article 10 deviendront, par ces substitutions, en changeant m en Dm,
9' ^(a:'-4-/*) Dm - i];' j^x'^'Dm - aV ^yz' Dm = C, 6/ S (^" -V Jc'^) Dm - 'V j^ory Dm - 9' ^yz' Dm = B\
dans lesquelles on aura, par le même article,
A'=i Aa-f-Ba'-f-Ca', B'=:A[3-i-B;3'+C?\ C'=A/ +B/4-C/.
Ces équations ont l'avantage que la position des axes de rotation y est entièrement arbitraire, puisqu'elle ne dépend que des quantités a, ^, Y' ^' •••î ^*^' comme elles ne sont que du premier ordre, rien n'empêche de donner à ces axes une position différente d'un instant à l'autre et de les prendre de manière qu'ils soient fixes dans l'intérieur
du corps et, par conséquent, mobiles avec lui dans l'espace. Alors les quantités §(j?'^4- y^)Dm, ^o^'j'Dm, ... deviendront constantes;
mais les quantités A', B', C seront variables, à cause de la variabilité
des quantités a, p, y, a', Nous donnerons dans la suite des moyens
directs de parvenir à ces équations, qui sont d'une grande utilité dans le problème de la rotation des corps.
21. On a vu dans l'article 16 que les constantes A, B, G expriment les sommes des moments des impulsions primitives données aux corps, relativement aux axes des ^, j, ^. Or il est facile de prouver que les quantités a, a', a" représentent les cosinus des angles que l'axe des or' fait avec les axes des x, y, z; que les quantités p, ^\ ^" représentent les cosinus des angles que l'axe des y fait avec les mêmes axes des x, y, z, et que les quantités y, y'» Y" représentent les cosinus des angles que l'axe des :;' fait avec ces mêmes axes. Donc, par ce qu'on a démontré dans la première Partie sur la composition des moments (Sect. III, art. 16), les trois quantités A', B', C seront les moments des mêmes impulsions rapportés aux axes des x\ y, :;', c'est-à-dire aux axes de rotation fixes dans le corps et mobiles dans l'espace. Ainsi l'on pourra appliquer a ces axes les mêmes conclusions qu'on a trouvées dans l'article 19.
§ IV. — Propriétés des axes fixes de rotation d*aa corps libre
de figure quelconque.
22. Nous réservons pour un Chapitre particulier la solution complète du problème général de la rotation d'un corps solide de figure quelconque ; nous allons seulement examiner ici le cas où l'axe instantané de rotation demeure immobile dans l'espace, ou au moins tonjours parallèle à lui-même lorsque le corps a un mouvement progressif, parce que ce cas se résout facilement par les formules du paragraphe précédent et qu'il conduit aux belles propriétés des axes qu'on nomme principaux y ou axes naturels de rotation.
Reprenons les équations fondaooen taies de i*article 17; faisons, pour abréger,
./ = j^ ^2 Dm, m == j§ 7* Dm, '' = S ^* ^™' /=i:j§j;;Dm, ^'^j^^^ïDm, A = §x7Dm,
et substituons pour y, w, ^ leurs valeurs 0 eosX, 0 cos(x, 0 cosv, 0 étant la vitesse de rotation autour de Taxe instantané qui fait les angles X, (X, V avec les axes fixes des œ,y, z; ces équations deviendront ainsi, en les divisant par Ô,
{m 4- n)cosX — /icosfji — ^cosv = -,
(/ H- /l ) COSjJL — /tCOS). — /cosv = -r,
( / -\-m) cos V —g cos y — / cos [a = - • 23. Les six quantités /, /w, /i, /, g, h sont variables; en les différen-
tiant, substituant pour ctr, dy, dz les quantités xdt, ydt^ zdt^ et
ensuite pour x,y, z leurs valeurs (article cité), on aura
dl = 2(^cos|jL — A cosv )!Jé//,
dm zzzi{li cos V — / cos 1 ) 9 di^ dn =^2(fcosl — gcosii)Sdt,
df =z[(m— n )cosX 4- è'^ cosv — hcosix]Odt, dg — [( /i — / ) cosfjL -h II cos ) — / cos V ] ô é//, dh = [( / — m) cosv 4-/cos|jL — ^cosX]6't//.
Ces six équations, jointes aux trois de l'article précédent, renferment la solution générale; mais nous ne considérons ici que le cas où les angles X, tx, v demeurent invariables, et il s'agit de voir sous quelles conditions ces quantités peuvent être constantes.
2i. Pour cela, il n'y a qu'à différentier les trois premières équations dans cette supposition, et y substituer les valeurs des différentielles dU
dm, ... ; on aura, après avoir divisé par 6 dt, ces trois-ci :
/(cos'v — cos'fx) — g cosX cosjji -4- h ces). COSV
-f- im — n) cosacosv = : — > ,
' ^ ^t dt
fCOSl COSjJl -f- ^(COS*X — COS'v) — h COSfX cosv
,, , }i dé
-\- (n — l) cosA cosv z=— — -r-,
— /COSXCOSV -h^COSfJlCOSV 4- /*(C0S*|JI — cos-/.)
ri ^ -i C é/^ '
-\- (l— m) cos A cos a ir= : — -.
^ ^^ dt
Si Ton ajoute ces trois équations ensemble, après avoir multiplié la
première par cosX, la deuxième par cos[x, la troisième par cosv, on a
Téquation
A cos}. -h B cosfjL H- C cosv dO
93 di~^'
laquelle donne
dé:=^o,
ou bien
A cosX + B cosjji -f- C cosv 1= o.
Nous verrons plus bas (art. 38) que la quantité
A^j^ + Bw-f-Ccp, qui est la même chose que
(AcosX -f-Bcosfx-H G cosv) 0,
exprime la force vive du corps, laquelle ne peut jamais être nulle tant que le corps est en mouvement.
Il faut donc supposer en général
dé^o,
et, par conséquent, la vitesse de rotation Ô constante. Alors les trois équations ci-dessus se réduisent à deux, qui donnent les rapports des cosX, cos[x, cosv; et, comme on a
C0S*> -H C0S*fJl-hC0S*V=: I,
ces rapports suffiront pour déterminer les trois cosinus.
