PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DÉDUITES DE LA FORMULE PRÉCÉDENTE
i. Considérons un système de corps disposés les uns par rapport aux autres et liés ensemble comme Ton voudra, mais sans qu'il y ait aucun point ou obstacle fixe qui gène leur mouvement; il est évideni que, dans ce cas, les conditions du système ne peuvent dépendre que de la position respective des corps entre eux; par conséquent, les équations de condition ne pourront contenir d'autres fonctions des coordonnées que les expressions des distances mutuelles des corps. Cette considération fournit, pour le mouvement d'un système, des équations générales indépendantes de la nature du système et analogues à celles que nous avons trouvées pour l'équilibre dans la première Partie (Sect. III, § I).
§ I. — Propriétés relatâmes au centre de gravité,
2. Soient œ\ y\ z les coordonnées d'un corps quelconque déterminé du système, tandis que x, y, z représentent, en général, les coordonnées d'un autre corps quelconque. Faisons, ce qui est toujours permis,
il est visible que les quantités x\ y\ z' n'entreront point dans les
expressions des distances mutuelles des corps, mais que ces dislances
ne dépendront que des différentes quantités Ç, y], X, qui expriment pro- XI. 35
27V MÉGANIQUE ANALYTIQUE.
proinent les coordonnées des différents corps, rapportés à celui qui répond à x\ y\ z'\ par conséquent, les équations de condition du système seront entre les seules variables ^, y], X, et ne renfermeront point x\ y, z\
Donc, si dans la formule générale de la Dynamique (Sect. II, art. 5) on réduit toutes les variations à ox, oy» S^ et qu'on substitue, pour oa\ 5v, oz, leurs valeurs 8œ'-\-ol, ^JK'-^^^» oz'-h8^, les variations ox\ ov', oz' seront indépendantes de toutes les autres et arbitraires en elles-mêmes; ainsi, il faudra égaler séparément à zéro la totalité des termes affectés de chacune de ces variations, ce qui donnera trois équations générales et indépendantes de la constitution particulière du système.
Les forces intérieures par lesquelles les corps pourraient agir les uns sur les autres, et que nous dénotons par P, Q, ..., comme dans la première Partie (Sect. II, art. 2), n'entreront point dans ces équations, parce que, les distances mutuelles p, q, ... étant indépendantes de x\ y\ z\ les variations Sp, Sy, . . . , relatives à ces variables, seront nulles.
A l'égard des forces extérieures P, Q, R, ..., si on les réduit aux trois forces X, Y, Z, dirigées suivant les coordonnées x, y, z et tendantes à les diminuer, d'après les formules données dans la première Partie (Sect. V, Chap. I ), on a
P 3/> -h Q 5(/ -h R ôr -h . . . = X 3.r -H Y 5/ -f- Z 55, et la formule générale devient
laquelle, en n'ayant égard qu'aux variations ox\ Sr', ^jz\ qui sont indépendantes de toutes les autres, donnera
d'où l'on (ire sur-le-champ ces trois équations
lesquelles auront toujours lieu dans le mouvement d'un système quelconque de corps, lorsque le système est entièrement libre.
3. Supposons maintenant que le corps auquel répondent les coordonnées x\ y, z' soit placé dans le centre de gravité de tout le système. On aura, par les propriétés connues de ce centre (Part. I, Seet. III, § IV), les équations
lesquelles, en différentiant par rapport à /, donneront celles-ci :
Donc on aura
parce que x', ayant la même valeur pour tous les corps, est indépendante du signe C; on aura pareillement
S d'y (i*Y'o n d'z (Pz'n
Ainsi les trois équations de Tarticle précédent prendront cette forme plus simple :
^Sm + ^mX-o,
Ces équations serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité de tous les corps, indépendamment du mouvement particulier de chacun d'eux; et, comme les valeurs de ^mX, l^mY, ^mZ ne renferment point les forces intérieures du système, le mouvement de ce centre ne dépendra point de l'action mutuelle que les corps peuvent exercer les uns sur les autres, mais seulement des forces accélératrices qui sollicitent chaque corps. C'est en quoi consiste le principe général de la consenation du mouvement du centre de gra^'ité.
Ce principe subsiste aussi dans le cas où les corps, dans leurs mouvements, viendraient à se choquer; car, de quelque nature que soient les corps, on peut toujours imaginer que leur action dans le choc se fasse par le moyen d'un ressort interposé entre les corps et qui, après la compression, tende à se rétablir ou non suivant que les corps seront élastiques ou non. De cette manière, reffet du choc sera le produit de forces de la nature de celles que nous avons désignées par P, Q, . . • , et qui disparaissent dans la formule générale (art. 2).
4. On voit, au reste, que les équations du mouvement du centre de gravité sont les mêmes que celles du mouvement d'un seul corps qui serait animé à la fois par toutes les forces accélératrices qui agissent sur les différents corps du système. En effet, si Ton conçoit que tous ces corps soient réunis en un point qui réponde aux coordonnées oc\ y\ z\ on a alors, dans la formule générale,
et, égalant à zéro la totalité des termes affectés de chacune des trois variations ox\ S/', oz\ on aura les mêmes équations que ci-dessus. De là résulte ce théorème général :
Le m.ous;emeni du centre de gravité d'un système libre de corps, disposés, les uns par rapport aux autres y comme ron voudra, est toujours le même que si les corps étaient tous réunis dans un seul point et quen même temps chacun d'eux fut animé des mêmes forces accélératrices que dans leur état naturel.
5. Ce théorème a encore lieu lorsque les corps qui composent un système libre ne reçoivent que des impulsions quelconques; car, en substituant, dans l'équation de l'article 11 de la Section précédente, cx'-i- ô$, Sj'-h Sy), Ss'-i- cC à la place de o^r, §y, cz, et réduisant les forces P, Q, R, .. . aux forces X, Y, Z, on prouvera, comme dans l'article 2, que les variations 8x\ oj', S^' doivent demeurer arbitraires, ce qui donnera les trois équations
Or, si l'on rapporte les coordonnées x\ y\ z' au centre de gravité du système, on a, par les propriétés de ce centre,
Donc aussi, en différentiant relativement à t, et faisant
dx r= X dty dy rniy dty dz z^ z dt, dx'zzzx'dt, dy = ydty dz'=zz'dt,
on aura
jc'j^m = j^mi:, /§m = §m/, i'j^m = 3mi
et, par conséquent,
ce qui fait voir que les vitesses a;\ y\ z' imprimées au centre de gravité sont les/mémes que si tous les corps, étant réunis dans ce centre, recevaient à la fois les impulsions X, Y, Z.
6. La formule générale (art. 2), après la substitution ojs'-ho^, oy -h Sy], Ss'-hâî^ à la place de Sa?, Sj, Iz et l'évanouissement des termes affectés de Zx\ Sy, Ss', se réduira à
Substituant .r'-h^, 7"^^» ^' H- ^ pour x, v» :; dans les différenlielles d^x, d-y^ d^z, et faisant sortir hors du signe j^ les différentielles d^x\ d^y\ d^z\ les termes affectés de ces différentielles seront
Mais, en rapportant au centre de gravité les coordonnées x\ y\ z\ on a (art. 3)
donc aussi, en différenliant par o, on aura
j^ m o; ~ o, ^ ni ÔYï = o, § m ôC = o,
ce qui fait évanouir les termes dont il s'agit. Ainsi la formule générale se réduira a
qui est tout a fait semblable à la première formule, les coordonnées .x-, y, z, dont l'origine est fixe dans l'espace, étant changées en $, r^ Ç, dont l'origine est au centre de gravité.
On peut conclure de là (*), en général, que, dans un système libre, on aura, par rapport au centre do gravité, les mêmes équations et les mêmes propriétés que par rapport à un point fixe hors du système.
§ II. — Propriétés relatives aux aires.
7. Considérons maintenant le mouvement du système autour d'un point fixe, et supposons qu'il soit entièrement libre de tourner en tout
(*) Colto conclusion osl trop absolue. L'équation différontielle qui lie $, r,, Ç est, en effet, de môme forme que celle qui lie x, > , 3 ; mais les forces X, Y, Z n^auronl pas des expressions do même forme par rapport aux deux systèmes do variables. Ainsi, par exemple, si Ton considère doux points qui s'attirent mutuellement avec une force réciproquement proportionnelle au carré do la distance, ils décriront des ellipses par rapport aux axes mobiles passant par le contre de gravité. Par rapport à des axes Gxes, les trajectoires seraient beaucoup plus compliquées. (7. Bertrand.)
sens autour de ce point. En faisant abstraction des mouvements respectifs des corps du système les uns à Tégard des autres, la rotation autour de chacun des trois axes des x, j, z fournira, comme on Ta vu dans la première Partie (Sect. III, art. 8), les expressions suivantes des variations Sa?, Sy, S:?,
dans lesquelles Sç, Sco, S^ sont les rotations élémentaires par rapport aux trois axes des z,y^ x, qui doivent demeurer arbitraires.
Ces expressions sont générales pour les variations des coordonnées de tous les corps du système, et il ne s'agira que dé les substituer dans la formule de l'article 5 de la Section précédente, après avoir réduit toutes les variations à Sa:, Sy, oz, et d'égaler ensuite à zéro séparément les quantités affectées des trois indéterminées 09, Sco, C'\f.
On trouvera d'abord, comme dans l'article cité de la première Partie, que la variation 8p devient nulle, et qu'ainsi les termes dus aux forces intérieures P du système, ne renfermant point les variations S9, Sod, ô'|, ne donneront rien dans les équations dont il s'agit. On trouve aussi, comme on l'a vu dans le même article, que la variation ùp est nulle lorsque la force P tend vers l'origine des coordonnées, et qu'ainsi cette force n'entrera point dans les mêmes équations.
En faisant donc simplement pour Bx, Sy, Ss les substitutions indiquées, après avoir changé les forces P, Q, R, ... en X, Y, Z, comme ci-dessus (art. 2), on aura, relativement aux variations S©, ood, oj», l'équation
S] / d*x du . v \ ^ (
/ du
[^''dF
-^';^-Zj-Y.)oM
dt'
et, comme les variations So, S'^, Sco sont les mêmes pour tous les corps du système, elles n'entreront pas sous le signe d'intégration Q; do
sorte qu'on aura les trois équations relatives à chacune de ces variations
Ces équations auront lieu à la fois, lorsque le système aura la liberté de tourner autour de chacun des trois axes, c'est-à-dire toutes les fois que le système sera disposé de manière à pouvoir pirouetter librement en tout'sens autour du point fixe qui est l'origine des coordonnées.
Et il est bon de remarquer que ces équations ont toujours lieu indépendamment de l'action mutuelle des corps, de quelque manière que cette action puisse s'exercer, même par le choc mutuel des corps du système, comme dans l'article 3 et par la même raison; elles sont, de plus, indépendantes des forces qui tendraient vers le point fixe où est l'origine des coordonnées.
8. Pour se former une idée plus nette de ces équations, on remarquera :
I'* Que les quantités
sont les diff*érentielles de celles-ci
œ dy — ydjc^ z dx — xdzy y dz — zdy^
lesquelles représentent le double des secteurs élémentaires décrits par le corps m sur le plan des xy, des œz et des yz^ c'est-à-dire sur les plans perpendiculaires aux axes des z, des r et des x. En eff*et, si dans
X dy — y dx
on substitue pour ^ et y les valeurs pcoscp, p sinç, on a
double de l'aire comprise entre le rayon vecteur p et le rayon consécutif qui fait avec lui l'angle e/^p;
2"* Que les quantités X, Y, Z représentent les forces qui sollicitent chaque corps m suivant les coordonnées or, y, z et vers leur origine, et qui résultent de toutes les forces P, Q, R, ... agissantes sur ce corps suivant des directions quelconques (Sect. Il, art. 5), et qu'ainsi les
quantités
jX — xYy xZ— z\, zY — rZ
expriment les moments des forces qui tendent a faire tourner les corps autour de chacun des trois axes des coordonnées z, j, œ, en prenant le mot moment, dans le sens ordinaire, pour le produit de la force et de la perpendiculaire menée sur sa direction.
9. Si le système n'était animé par aucune force extérieure, ou s'il l'était seulement par des forces tendantes au. point que nous avons pris pour l'origine des coordonnées, les trois équations précédentes se réduiraient à celles-ci
lesquelles^ étant intégrées par rapport à la variable /, donneront, en prenant trois constantes arbitraires A, B, G,
Ces dernières équations renferment évidemment le principe des aires,
dont nous avons parlé dans la première Section.
10. Il est à propos de remarquer que ces équ«itions sont dans le cas do Tartkçle 10 de la Section précédente; de sorte qu'on y peut introduire trois nouvelles constantes arbitraires, par le changement des axes des coordonnées.
Soient ir', y', s' les nouvelles coordonnées; on aura également
les quantités A', B', C étant aussi des constantes arbitraires, mais ditTérentes do A, B, C.
Substituons maintenant dans l'expression xdy—ydx les valeurs de r, y en x\ y\ z' données dans l'article cité de la même Section; on aura
,r fly — ydx = -f- (a^'— '^7.') {x' df — y' dx') -h (ya' — a-/) {z' dx' — x' dz')
-^{?7'-y?'){ydz'-z'dy).
On trouvera de mémo
zdjT — jc dz = -^ i^x' — x^') (x' dy' — y dx') -\- {(xy' — yx") {z' dx' — x' dz')
-^iy?'-?f){ydz'^z'dy),
ydz — z dy = -^ {ol' ^'' — ^' ix") {x' dy' -^ ydx') -\- {y'oc"'— oL'y") (z' dx' — x' dz' )
-^(y'^''-^'f){ydz'-z'dy).
Si l'on aiïecte tous les termes de ces équations du signe j^, après les avoir multipliées par m et divisées par dl, et qu'on y substitue, à la place des intégrales affectées de j§, leurs valeurs A, B, C, A', B', C, on aura
Czz:(a;5'-;3a')C' -f-(ya' — a/)B' 4- ((3/ - y;3')A', U=:{^x''-^oL^'')C -l-(ay''-ya'^)B' h- (y(3'' - ;3y'')A', A = (a'.S"- ;3V) C -f- (y V— a'y*') B' -h (y'iS'- (S'y'') A'.
On peut réduire ces formules à une expression plus simple, en observant que Ton a identiquement
(a|3' - Pa' y 4- ( (3a'' — «13" )2 -+- (a' (S" — (3' a" y
quantité qui se réduit à l'unité, en vertu des équations de condition de la première Partie (Sect. III, art. 10). On a, de plus, ces équations identiques
aitx'^'— ^'(x') 4- a'((3a"— a^") 4- a'^(a(3'— (3^) = o, (3(a'(3'^- (3' a") 4- (3'((3y'- a(3'') 4- ^'Ca^S'- (3a') = o.
Si donc on compare ces équations avec les trois équations de condition
y' 4- y'^-hy^^^iy ay 4- a'y'4- a'/^ o, (3y 4- (3'/4- (3"/= o,
il est facile de conclure de cette comparaison qu'on aura
a'(3''-|3'a''=:y, (3a"- a(3''izz /, al3'- (3a'==y\
Les quantités y, y', y" pourraient avoir également le signe — ; mais comme, dans la coïncidence des axes des x\ y\ z' avec ceux des ^, j, z, on doit avoir (Part. I, Sect. III, art. 11)
« = !, P = o, y = o, ol'—o, ^'—i, y'—Oy a^^o, (3"— o, y''— 1,
cette condition ne peut avoir lieu qu'en prenant y" positivement, et par conséquent aussi y' et y.
On trouvera, de la même manière,
y'oL'''-oL'y''—^, OLy^ — y^!' :=:^^\ ya' — a/=(3', /P^-(3'y''=a, y(3^'-;3y''=a', (3/- y?' zzz a";
de sorte que l'on aura
A=iaA'4-î3B' 4-yC,
B~a'A'4-(3'B'4-/C', Cr=:a''A'4-(3''B'4-y''C';
28i MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
d'où l'on lire, par les équations de condition de l'article 10 (Part. I, Soct. III),
V = Aa-hBa'4-Ca%
B'r-^A[3-hB3'-+-C(3%
C r^iA/ -f-B/4-C/
Il résulte de cette dernière équation qu'on a, on général,
= [S""(-f -•■•f )]•- [SK='^ -4?)T* [S-(/^ - ^■^■)]^
d'où l'on peut conclure que la fonction
a toujours une valeur indépendante du plan de projection et de la position des axes des coordonnées »r, v, z dans l'espace, pourvu que ces roordonnées soient rectangulaires entre elles.
H. Ces expressions de A, B, C en A', B', C qu'on vient de trouver sont semblables à celles de x, y, z en x\y' y z de l'article 9 de la Section précédente; par conséquent, si l'on prend
.;'=A, v'^B', z'^ÇJ,
on aura
et réciproquement
donnera
c'est-à-dire que A, B, C et A', B', (^ seront deux systèmes de coordonnées qui répondent à un même point, le premier étant relatif aux axes des Xy y, z et le second aux axes des x\ y, z\
On voit tout de suite par là qu'on peut faire
en faisant passer l'axe des C ou :;' par le point auquel répondent les coordonnées A, B, C, et qu'alors la coordonnée C aura sa plus grande valeur égale à v^A* -h B'* -h C^. On aura, dans ce cas,
Az^yC, B=r/C', C=:/C',
et il est facile de voir que les coefficients y, y', y" ne seront autre chose que les cosinus des angles que la ligne C fait avec les axes des A, B, C. '
Ainsi la résolution des équations
S/ ,dx' ,ds'\
donnera celle des équations
les quantités y, y', y" étant trois constantes telles que
et dont deux sont arbitraires.
Le plan perpendiculaire à Taxe des C, lorsque C devient un maximum, est celui que M. Laplace nomme plan iwariable, et dont il a le premier démontré l'existence et la position.
(lellc position est facile à déterminer par les équations
car, puisque les quantités y, y', y" sont les cosinus des angles que
Taxe des C ou z\ qui est perpendiculaire au plan variable, fait avec
les axes des a-, y, z du système, en nommant ces angles /, /w, w, on
aura, à cause de
G' 1= v^V*^ B* -Tes
(•OS/=: - -■■ ^z=zy COS///= , — . -) COSn=i — ■ ■^— r ■
vA»-hB*-hC* V A* -f- B* -f- C^ v^A«-hB»h-C«
12. Si le système est libre, c'est-à-dire s'il n'y a aucun des points du système qui doive être fixe, on peut prendre l'origine, supposée fixe, des coordonnées a:, y, z partout où l'on voudra; par conséquent, les propriétés des aires et des moments que nous venons de démontrer auront lieu par rapport à un point fixe quelconque pris à volonté dans l'espace.
Mais, par ce ([ue nous avons démontré dans l'article 6, ces mêmes j)ropriétés auront lieu également par rapport au centre de gravité de tout le système, soit que ce centre soit fixe ou non. En effet, si, dans les trois équations de l'article 7, on substitue pour x, j, :; les quantités a*' -h ^, j' -h y], z' -ht, en rapportant, comme dans l'article 3, les coordonnées œ\ y', :;' au centre de gravité du système, et qu'on ait égard aux trois équations de ce dernier article, on aura ces transformées
qui sont, comme l'on voit, semblables à celles de l'article 7, et dont toute la différence consiste en ce que, k la place des coordonnées ^r.
y, z partant d'un point fixe, il y a les coordonnées $, y], <^ dont l'origine est dans le centre de gravite du système.
Ainsi, lorsque les forces accélératrices sont nulles, on aura les intégrales
-ici -?§)=!.,
sur lesquelles on pourra faire des remarques analogues à celles que nous avons faites sur les équations de l'article 9.
13. Quand un des corps du système est retenu fixement par un obstacle quelconque, en plaçant dans ce corps l'origine des coordonnées, on a le cas de l'article 7. Mais, si deux corps du système sont supposés fixes, on regardera la ligne qui passe par ces deux corps comme un axe fixe autour duquel le système peut tourner librement, et, prenant cet axe pour celui des coordonnées :?, on aura simplement, par le même article,
ôo étant la rotation élémentaire autour de cet axe, laquelle doit demeurer indéterminée. On n'aura ainsi qu'une seule équation relative à cette variation Sç, laquelle sera
et lorsque le moment xY — jX des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation est nul, on aura par l'intégration, comme dans l'article 9,
équation qui donne le principe des aires par rapport au plan des a-y
perpendiculaire à Taxe de rotation, et sur lequel les aires décrites par les corps doivent être projetées.
Si trois corps du système étaient supposés fixes, alors la position de chacun des autres corps dans l'espace serait déterminée par ses distances a ces trois corps, et il n'y aurait plus de variations indépendantes de la nature du système et de la disposition respective des corps entre eux, d'où l'on pût déduire des équations générales pour le mouvement d'un système quelconque.
§ III. — Propriétés relatàes aux rotations produites par des forces
d'impulsion.
14. Quand un système libre de tourner en tout sens autour d'un point fixe reçoit des impulsions quelconques, on peut aussi employer, dans l'équation de l'article H de la Section précédente, les expressions de ox, Sy, Bz de l'article 7, après avoir réduit à X, Y, Z les forces d'impulsion P, Q, R, . . . ; et, en égalant séparément à zéro les termes multipliés par les variations Sy, oco, â'^, on aura les trois équations
J^ [m (.r K —yx) 4- x\ — rX] = o, ^[m(ca? — jcz)-h z\— xZ] = 0, § [m {yz — zv) -h vZ — zY] = o,
pour le premier instant du mouvement produit par les impulsions X, Y, Z.
Dans les systèmes qui sont tout k fait libres, on peut prendre le point fixe partout où l'on veut dans l'espace, et les équations précédentes auront toujours lieu par rapport à ce point.
15. Dans ces systèmes, on peut aussi rapporter leurs rotations à trois axes qui passent par le centre de gravité; car, en faisant, comme dans l'article 5,
dx =z dx' 4- ô£, dy — dy' -h dn, oz =z dz' ■+- ÔÇ,
les variations 8x\ Sy, Ss' donneront d'abord les trois équations relatives au mouvement du centre de gravité trouvées dans ce même article.
Il restera ensuite l'équation
§ [(mi- 4- X) 04 -h (m> 4- Y) drî H- (mi -^ Z) dC] = o.
Or, en rapportant les rotations O'^, oco, Sç aux axes des coordonnées ^, Tp J^, et n*ayant égard qu'à ces rotations, on a, comme dans Tarticle 7,
et les trois variations indéterminées S'^, Sw, Sç donneront les trois
équations
§[m(?/-rîx) + ?Y-rîX]rz:o,
S[m(Û-4S)4-ïX-^Z]:-:0,
|S[m(rîi~:>)4-r,Z-CY]ziio.
Mais
donc, substituant ces valeurs, faisant sortir hors du signe § les quan-
tités X , y\ z\ qui ne se rapportent qu'au centre de gravité, et observant que, par les propriétés de ce centre, on a
les trois équations précédentes deviendront
S^ [m {ù - ^i) 4- n' - ri X] ^ o,
|^[m(Y)C~Cri)-hriZ-:Y]^o,
qui sont tout à fait semblables à celles de l'article précédent, et dans
lesquelles les coordonnées \, y), J^ ont leur origine au centre de gravité,
et les vitesses ç, r,, X, sont relatives à ce centre.
