f/(/— m)(/?i — /i) -\'gh{n — 'im-h l) -h /{P-\- h^— ^g^)]s
('ette équation, étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle; ainsi Ton aura une valeur de s et une valeur correspondante de //, par le moyen desquelles on pourra déterminer la position d'un axe invariable et de rotation uniforme. Mais, comme cette détermination dépend des quantités /, m, //, /, g, h qui varient avec le temps /, il faut encore prouver que la variabilité de ces quantités n'influe point sur la valeur des deux quantités s et //.
26. Pour y parvenir, nommons P, Q, R les premiers membres des trois équations de l'article 22; les premiers membres des équations de
l'article 24 seront — » ~> - — > en y mettant pour r//, r/w, ... leurs
Odt Odt Odt ^ i » »
valeurs. Or il est facile de voir qu'on a, par la substitution de ces
mêmes valeurs,
ciP =i(Rcos|UL — Qcosv){/^/,
e/Q~(P cosv —J{cosl)Sdt,
dl\ — (Qcosl — Pcosix)Ô cit.
D'après ces équations, dans lesquelles X, [x, v et Ô sont des quantités constantes, il est facile de voir que, si les valeurs de -j-y -7^, -7- sont
■ dt dt di
nulles lorsque / est nul ou égal à une quantité quelconque donnée,
,, , r/*P e/«Q ^*R , d^V d^Q d^l\ , . . , .. ^ p. r» • relies de -^> -^, -^> de -^y -^y -^y et ainsi de suite a 1 mfini,
seront aussi nulles pour la même valeur de /.
Or on sait, par le théorème de Taylor, que la valeur d'une fonc-
^P tion -j- de ^ lorsque / devient / -h/', devient en même temps
dt
dP
dt dt* 2 dt^ 2,3 dt
dP
Donc, si -j- est nul lorsque Ton a /'= o, on aura toujours
quel que soit /'. Et la même chose aura lieu pour les valeurs de -^ , dR
^^ dt
Il s'ensuit de là que, si les équations de l'article 25, qui ne sont que
les transformées des équations -^j =0, -^ = o, -^ = 0, ont lieu
dans un instant quelconque, elles auront lieu, quel que soit le temps /, dans l'hypothèse des quantités s et u constantes. Par conséquent, les valeurs de ces quantités seront indépendantes de la variabilité des quantités /, m, n, /, g^ h\ de sorte qu'il suffira de déterminer les valeurs de ces dernières quantités pour line position quelconque du corps à l'égard des axes fixes des Xy j, 5, pour avoir celles des quantités s et u qui déterminent la position de l'axe de rotation, lequel doit demeurer immobile dans l'espace ou du moins toujours parallèle à luimême si le corps a un mouvement progressif.
Et comme cet axe, par sa nature, est fixe dans rintérieur du corps pendant un instant, puisque le corps est censé tourner autour de lui, il s'ensuit qu'il y doit toujours demeurer fixe; car il est évident que si, dans l'instant suivant, il changeait de place dans le corps, il changerait nécessairement de place dans l'espace, ce qui est contre l'hypothèse.
27. Avant trouvé la position de cet axe dans l'espace, rien n'empêche de supposer qu'il coïncide avec l'axe des a-, dont la position est arhitraire.
On pourra ainsi supposer X = o et, par conséquent, cosX = i, ce qui donnera
De là on trouve, par les équations de l'article 25,
rr -■ -
Ainsi cet axe a la propriété qu'en le prenant pour l'axe des .r, les valeurs des deux intégrales j^ryDm, j§a?:;Dm (art. 22) deviennent nulles.
Supposons maintenant dans nos formules
et désignons par /', /', m\ ri ce que deviennent les quantités/, /, m, n dans ce cas. Cette supposition donne d'abord
c'est le cas précédent. Ensuite elle donne aussi s et a infinis et, par conséquent,
cosX = o, }. = 90°;
cette valeur répond aux deux autres racines de l'équation en s du troisième degré et, par conséquent, à la position des deux autres axes. Or la première des équations en s et u (art. 25) devient, lorsque f( et A sont nuls,
/' ( U' — a' ) -h ( m' — /i' ) su -:. ; o,
principaux y d'après Euler, à qui on en doit la connaissance; on les nomme aussi axes naturek de rotation ou, en général, a^es principaux, soit qu'ils passent par le centre de gravité ou non.
