En faisant

/=0, é'=:0, h=LO,

ce qui a lieu par rapport aux trois axes principaux, on a aussi, par les équations de l'article 23,

(il dm dn

dt dt ' dt '

ce qui fait voir que les quantités /, m, n sont alors les plus grandes ou les plus petites. Pour pouvoir distinguer les maxima et les minima, il

n y aura qu a chercher les valeurs de -^j -j-^i --r-r; et 1 on trouvera, à cause de Ô constante,

— z=z2[(n— /)cos*|jL — (/ — m)cos*v]6*,

-.jr =2[(/ — m)cos-v —{m — /i)cos* a]Ô',

-7-r = 2[(//i— /«) cos*}. — (/i — /)cos'|ul]^-.

dU

Donc, si />/«, m> w, la valeur de -^ sera toujours négative, celle

de -7-7 toujours posilive, et celle de —7-^ pourra être positive ou négative; par conséquent, /sera toujours un maximum, w unminimum, dm ne sera ni l'un ni l'autre. On voit aussi que ^ -4- -7-^ aura toujours

une valeur négative, et -j-^ -f- -^ aura toujours une valeur positive:

de sorte que la quantité /4-/w sera toujours un maximum, et /w -f- w un minimum.

Les quantités /-h/w, l-hn, m -h n, qui expriment les sommes des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance aux trois axes des 5, j, x, se nomment, d'après Euler, moments d'inertie

(lu corps relativement à ces axes; ils sont pour le mouvement de rotation ce que les simples masses sont pour le mouvement progressif, puisque c'est par ces moments qu'il faut diviser les moments des forces d'impulsion pour avoir les vitesses de rotation autour des mêmes axes.

C'est par la considération des plus grands et des plus petits moments d'inertie qu'Euler a trouvé les axes principaux; maintenant, on les détermine ordinairement par les trois conditions

CjrjDm = o, ^j:5Dm = o, ^j5Dm=:o.

30. Puisqu'on est assuré, par l'analyse de l'article 27, que l'équation en s (art. 25) a ses trois racines réelles, il sera toujours facile de les trouver en comparant cette équation, dégagée de son second terme, avec l'équation connue

x^ — 3 /•* jc — 2 r* ces 9 = 0,

dont les trois racines sont

2rcos|> — arcosf 6o<»4- | )> — arcosf 60*»— ^ J.

On aura ainsi les trois valeurs de s, que nous désignerons par ^, s\ s'\ et les valeurs correspondantes u, u\ u". Et, si l'on désigne de même par X, X', X'' les angles que les trois axes principaux font avec l'axe des X, par p., p.', p." les angles qu'ils font avec l'axe des y, et par v, v', v" ceux que ces mêmes axes font avec l'axe des z^ on aura, par les articles 24 et 25,