L'équation en 0 s'intègre facilement; elle donne
E et £ étant deux constantes arbitraires.
A l'égard des équations en X, Y, Z, elles ne sont, en général, intégrables en termes finis, par les méthodes connues, que lorsqu'elles sont à coefficients constants; mais, si Ton développe les différences finies
marquées par D, elles deviennent de la forme (art. 16)
AX, -h BY, -h CZ, -f- A'X -H B' Y H- C'Z 4- AIX 4- BJ Y -h CZ = o ;
les coefficients A, B, C, A', B', ... sont constants ou variables, mais indépendants de /, et la quantité i n'entre que dans les valeurs de A', B', C, et seulement à la première dimension.
Si maintenant on désigne par Xo, X,, Xj, X,, ... les valeurs consécutives de X, en commençant par la première, qui répond au premier corps du système, et de même par Yo, Y,, Y'j» Y,, ..., Z©, Z,, Z5, Z3, ... les valeurs consécutives correspondantes de Y et Z, et qu'on substitue successivement ces valeurs dans les trois équations, réduites à la forme précédente, il est aisé de voir que les trois premières donneront les valeurs de Xa, Y'^, Zj en fonctions linéaires de X©, Yo» Zo, X,, Y,, Z,; que les trois suivantes donneront X3, Y3, Z, en fonctions
linéaires de Xj, Y^, Z^, X|, Y,, Z,, lesquelles, par la substitution des valeurs de X^, Y'a, Z^, deviendront aussi des fonctions linéaires de X©, Yo, Zo, X,, Y^, Z,, et ainsi de suite.
Donc, en général, les valeurs de X^^,, Y^»^,, Z;,^, seront de la forme
AXo 4- BYo4- CZo4- A'X, -h B' Y, 4- C'Z„
et il est facile de s'assurer, par le calcul, que les quantités A, B, C seront des fonctions rationnelles et entières de k de la dimension n — 2, et que les quantités A', B', C sont de pareilles fonctions de la dimension /i — i.
Nous avons supposé (art. 17) que le premier et le dernier corps du système étaient fixes; le premier corps appartient à l'indice o, et si Ton désigne par n le nombre des corps mobiles, le dernier corps, qui doit être fixe, appartiendra à l'indice n -h i. Il faudra donc que Ton ait
Xy=o, Yo = o, Zj — o, X«+i=:o, Y„H-, = o, Z«^t = o,
ce qui donnera entre X,, Y^,, Z, trois équations linéaires de la forme A'X, 4- B'Y,-f- C'Z, =0, dans lesquelles les coefficients A', B', C seront des fonctions rationnelles et entières de X* de la dimension n.
En éliminant les quantités X,, Y,, Z,, on aura une équation en k du degré 3/i, nombre des inconnues X, Y, Z, et qui aura, par conséquent, 3/1 racines.
Les mêmes équations donneront les rapports entre les trois quantités X,, Y,, Z, ; de sorte qu'on pourra prendre à volonté la valeur d'une de ces quantités. Comme ces rapports se trouveront exprimés par des fonctions rationnelles de X:, on pourra exprimer les valeurs des trois quantités X,, Y,, Z, par des fonctions rationnelles et entières de k^ et, par ce moyen, les inconnues X, Y, Z seront aussi exprimées, en généi*al, par des fonctions connues, rationnelles et entières de A:.
25. Nous dénoterons par k\ k'\ k'\ ... , X:^'"^ les différentes racines de l'équation en k, dont la résolution doit être supposée connue; et nous dénoterons pareillement par X', X', X*^, . . . , Y', Y'', Y'", . . . , Z', Z", Z'% ..., les valeurs correspondantes des quantités X, Y, Z, qui résultent de la substitution de ces différentes racines à la place de k.
Donc, puisqu'on a trouvé (art. 23 et 24)
Ç=XEsin(^V^--+-£), Yî n= YE sin(/ v^' -t- s), Ç—ZE sin(/v^^4-£),
en substituant successivement les différentes valeurs de k, et en prenant différentes constantes arbitraires E et £, on aura autant de valeurs particulières de ^, y), ^, dont la somme donnera les valeurs complètes de ces variables, par la nature des équations linéaires.
Ces valeurs particulières de $, y), X, sont analogues à celles qui représentent les petites oscillations d'un pendule dont la longueur serait ~
(art. 11), pourvu que k soit une quantité réelle et positive; et le mouvement de chaque corps sera composé d'autant de pareilles oscillations qu'il y aura de valeurs différentes de k\ de sorte que, si toutes ces valeurs sont incommensurables entre elles, il sera impossible que le système reprenne jamais sa première position, à moins que les
valeurs de Ç, tq, Ç ne se réduisent aux valeurs particulières qui répondent à une seule des racines k. Dans ce cas, en faisant / = o dans les formules précédentes, on aura XEsine, YEsinc, ZEsine pour les valeurs
de Ç, Y), î^, et XEcosE, YEcose, ZEcose pour celles de ^> •—> ^• Ainsi, pour que ce cas puisse avoir lieu, il faudra que les déplacements primitifs $, y), ^, ainsi que les vitesses initiales ^> ^> ~> soient proportionnels à X, Y, Z; et il y aura autant de manières de satisfaire à ces conditions qu'il y a de valeurs différentes de k.
26. Si l'on désigne, par des traits supérieurs, des constantes arbitraires différentes, on aura
?= X'E'sin(^V^F -t- £') -H X''E''sin(^V^F-+- eO -H X''E''sin(V>t^-^ £'')-+-••• . Y) = Y'E' sin(/ v^' 4- £') -+- Y'E'' sin(^ y^P 4- 1") -+- Y'^E"' sin(/ V^ 4- £*') 4- . . . , .
Ç=Z'E' ^\n{t\fk'-¥z')-\'V'E: sin(^v^4-e'')4-Z'"E«' sin(/v/Â'^4- £*) 4- ...,
pour les valeurs complètes des variables $, rj, X, qui représentent les oscillations de chacun des corps du système donné, quel que soit leur état initial.
On peut représenter ces valeurs d'une manière plus simple, en employant le signe 2] pour exprimer la somme de toutes les valeurs correspondantes aux différentes valeurs de k\ on aura ainsi
^=2][XEsin(/v^-h£)l, ^i = 2][YEsin(/v/^ + £)],
et l'on aura les expressions particulières des variables Ç,, rj,, Ç,, Ç^, ^i2> ^2» • • • > pour chacun des corps du système, en changeant, dans les précédentes, X, Y, Z en X,, Y,, Z,, Xa, Ya, Z^, ..., et prenant pour E et £ différentes constantes arbitraires E,, Ej, ...,£,, £2, ... , qui dépendent de l'état initial du système.
27. Pour déterminer ces constantes de la manière la plus simple, je reprends les équations en $, y], X, de l'article 21, et je les ajoute ensemble, après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y et la troisième par Z ; je prends ensuite la somme de toutes ces équations ainsi composées, relativement à tous les corps du système, et je dénote cette somme par la caractéristique §; si Ton fait attention que cette caractéristique est indépendante de la caractéristique </des diflorentielles relatives à /, on aura l'équation
^,S(XÇ4-YY,4-Z0Dm
ôa Ou ca oc j
^O '^'H v^ ^'n v^ ^'"y^rn
-h \ -T r- X H- T7-1- ï -^ -T-V / C ^ÏU
da de ôb Oc âc^
-s -.[►•SI-»- ("■§-'■ SI -■-1)1 -Sv«,[K^-a.(..|-..|;;.4))|
Dans cette équation, les termes qui contiennent des diflerences marquées par D sous le signe sommatoire ^ sont susceptibles de réductions analogues à celles des intégrations par parties, et dont nous avons donné le type dans l'article 16. Pour cela, considérons en général un terme quelconque de la forme §XD^(VDi); nous aurons, par les réductions de l'article cité, en faisant attention que les quantités X et Ç sont nulles au commencement et a la fin des intégrations marquées parD (art. 24),
Or J^^,D(VDX) est la même chose que §ÇD,(VDX), en prenant à la
place du terme Ç, D(VDX) celui qui le précède.
