C'est une chose digne de remarque que la même formule

^ — <^(x -h kt) -h W{j: — kl),

qui satisfait à l'équation en différences partielles

XL î>^

satisfait aussi à la même équation en difTérences finies, qu'on peut représenter par

pourvu qu'on y suppose Hx =z kDt, et D/ constant. En effet, on a, en ne faisant varier que x,

et, en ne faisant varier que le /,

D' ,^(x -t- kt) = ^(x -h kt 4- A- 1)0 — 2*(J7 4- kl) -h <^(^ -h A:/ — ADO,

expressions qui deviennent égales en faisant Dx =kl)i; et l'on trouvera la même chose pour la fonction W(x — kl).

Dans rinfiniment petit, la condition dx =^kdt disparait, et l'intégrale a toujours lieu; la raison en est qu'alors l'expression ^, qui

parait représenter la différence seconde de $ divisée par le carré de la différence de /, n'est plus qu'un symbole qui exprime une fonction simple de /, dérivée de la fonction primitive Ç et différente de cette fonction, laquelle est tout à fait indépendante de la valeur de dt. Il en

est de même de l'expression j\j par rapport à x; c'est dans ce changement de fonctions que consiste réellement le passage du fini à l'infiniment petit et l'essence du Calcul différentiel.

64. J'ajouterai encore ici une remarque qui peut être utile dans plusieurs occasions; elle a pour objet une nouvelle méthode d'interpolation qui résulte des formules de l'article 48.

Nous avons vu que la formule

;rTT2h(„^)S-'»('T^)]

devient égale à a^ lorsque r = i , 2, 3, . . . , /i. Donc, si l'on a une suite de quantités a,, aj, aj, .. ., a„, dont le nombre soit /i, on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire

dont le rang serait marqué par un nombre quelconque r, entier ou fractionnaire, puisqu'on faisant successivement r = i, 2, 3, ..., /i, la formule donne a^ , ol^, a,, . . . , a».

Le signe ^ indique la somme de tous les termes qui répondent à ^ = I, 2, 3, . . . , /i, et le signe 2] la somme de tous les termes qui répondent à p = I, 2, 3, . .. . /i, la quantité it étant l'angle de deux droits.

Supposons qu'il n'y ait qu'un terme a, donné, on fera n = r, * = i, p = I, et l'on aura, pour l'expression générale de a^.

(Xr'=^ OL* sm

Soient /i = 2, et les deux termes donnés a,, a^; on fera ^ = i, 2, p = I, 2, et l'on aura

«r — 2 ( A'sm-y 4- A'sm -0- )>

en supposant

A'^zotisin ^ H-aîSin-T-">

k0 • 271 . l\TZ

K" = a, sm -3- -h a, sm -5- •

Soient n = 3, et les termes donnés a,, aj, a,; on fera ^ = i, 2, 3, et p = r, 2, 3, et l'on aura

«^ =z y A' sm -^ 4- A'^ sm —, — h A*^ sm —r 4 \ 4 4 4

où les coefficients A', A", A** sont déterminés par ces formules

A = a, sm 7 4- «j sm -7- 4- «3 sm -7- j 4 4 4

A = «i sm -7- 4- «1 sm -7- 4- a» sm -7->

A =a, sm-7- 4- «j sm-7- 4- «3 sm^)

et ainsi de suite.

Dans la méthode ordinaire d'interpolation, on suppose qu'on fasse passer, par les extréniités des ordonnées qui représentent les termes donnés, une courbe parabolique de la forme

Dans la méthode précédente, au lieu d'une courbe parabolique, on suppose une courbe de la forme

A., TZ X Air» 27r»r 4v« ôTZ %P sin h A sm h A* sin h . . . ,

et il y a bien des cas où cette supposition peut être préférable comme plus conforme à la nature de la question.