XI

kZk MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Il en sera de même des valeurs de ri^ et de ^^, en changeant A' en A, c'est-à-dire F' en F; ainsi la durée des vibrations transversales sera

Tous les auteurs qui ont traité jusqu'à présent des vibrations des cordes sonores n'ont considéré que les vibrations transversales, et ils ont trouvé pour leur durée la même formule que nous venons de donner.

A l'égard des vibrations longitudinales, M. Chiadni est le seul, que je sache, qui en ait fait mention dans son intéressant Traité d' Aœustique, § 43; il donne le moyen de les produire sur une corde de violon, et il remarque que le ton qu'elles rendent n'est pas le même que celui des oscillations transversales, d'où il suit que F' est différent de F; par conséquent, dans l'hypothèse très vraisemblabje que la force élastique par laquelle chaque élément de la corde résiste à être allongé, ou tend à se raccourcir, soit proportionnelle à la puissance m de cet élément, c'est-à-dire qu'on ait $ = K(D5)'" (art. 14), il faudra que m soit différent de l'unité (art. 32); et si, comme M. Chiadni parait l'insinuer, le ton longitudinal est toujours plus élevé que le transversal, il faudra que F'> F et, par conséquent, /w> i.

57. Nous avons vu (art. 36) qu'une corde tendue, de la longueur / et chargée de n corps, peut se mouvoir comme si elle n'avait qu'une

longueur -> v étant un diviseur de n -hi. Lorsque n est un nombre

infini, v peut être un nombre entier quelconque; ainsi une corde sonore de la longueur / pourra osciller comme une corde dont la longueur serait y c'est-à-dire une partie aliquote de /, et la durée de ses

oscillations se réduira alors à — \/p7> pour les oscillations longitudinales, et à — i/p > pour les oscillations transversales.

En effet, si les valeurs initiales et arbitraires a et a sont telles, que les courbes ou les lieux de ces valeurs sur l'axe / coupent cet axe en

SECONDE PARTIE. - SECTION VI. iSk35

deux ou en v parties égales, et que les branches qui répondent à ces parties soient les mêmes, mais situées alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe, de manière qu'à distances égales de part et d'autre de chacun de ces points d'intersection les ordonnées soient égales et désigne contraire; ces courbes, étant ensuite prolongées à l'infini, suivant la construction de l'article 49, auront la même forme que si elles

provenaient d'une corde dont la longueur ne serait que -> et l'expression générale de i^. (art. 52) fait voir que les valeurs de l qui répondent aux points d'intersection sont toujours nulles; de sorte que la corde, dans ses oscillations longitudinales, se partagera d'elle-même en autant de parties égales, qui oscilleront comme si leurs extrémités étaient fixes.

11 en sera de même par rapport aux oscillations transversales représentées par les variables y) et ^.

58. Comme le ton que donne une corde sonore ne dépend que de la durée de ses oscillations isochrones, laquelle, pour une même corde tendue, est proportionnelle à sa longueur, il s'ensuit qu'une corde, en se partageant ainsi d'elle-même en parties aliquotes, rendra des tons qui seront au ton principal, dans lequel l'oscillation est entière, comme les fractions qui expriment ces parties sont à l'unité. Ainsi, si la corde se partage en deux, trois, quatre, ... parties égales, ces tons seront exprimés par les fractions ^, j, 7, {, • . . » et seront, par conséquent, à l'octave, à la douzième, à la double octave, à la dix-septième, ... du ton fondamental.

On appelle ces tons qu'une même corde peut donner d'elle-même Ions harmoniques, et l'on sait qu'on peut les produire à volonté en touchant légèrement la corde pendant sa vibration, dans un des points de division qu'on nomme nœuds de vibration d'après Sauveur, qui a expliqué le premier, par ces nœuds, les sons harmoniques de la trompette marine et des autres instruments, dans les Mémoires de V Academie des Sciences de 1701. Wallis les avait déjià observés dans les

cordes qui sont à Toctave, à la douzième, à la double octave, ... au-dessous d'une corde qu'on fait résonner, et qui frémissent en se divisant naturellement en deux, trois, quatre, ... parties égales, dont chacune donnerait le même ton que la corde qu'on fait résonner. ( Voir le Chapitre 107 de son Algèbre,)

59. La théorie et l'expérience sont bien d'accord sur la production des sons harmoniques; mais il n'est pas aussi facile de rendre raison de ce qu'on appelle, d'après Rameau, qui en a fait la base de son Système, la résonance du corps sonore, et qui consiste dans la réunion des sons harmoniques avec le son principal de toute corde qu'on fait résonner d'une manière quelconque.

Si ces sons harmoniques sont, en effet, produits par la même corde, en même temps que le son principal, il faut supposer que la corde fait à la fois des vibrations entières et des vibrations partielles, et que ses vibrations effectives sont composées de ces différentes vibrations, comme tout mouvement peut être composé ou regardé comme composé de plusieurs autres mouvements.

Nous avons déjà vu plus haut (art. 47) qu'on ne peut expliquer d'une manière plausible la coexistence des sons harmoniques par la formule de Daniel BernouUi; on peut ajouter que les séries qui pourraient donner ces différents sons disparaissent de la formule lorsqu'on suppose le nombre des corps infini, et qu'il en résulte, pour chaque point de la corde, une loi d'isochronisme simple et uniforme qui dépend immédiatement et simplement de l'état initial, comme nous venons de le démontrer.

Au reste, si l'on voulait k toute force expliquer la résonance multiple des cordes par les vibrations composées, il faudrait regarder la figure initiale, par exemple, comme formée de différentes courbes superposées l'une à l'autre, de manière que l'une serve d'axe à la suivante, et dont la première ne forme qu'une branche dans toute l'étendue de la corde; la seconde forme deux branches égales et placées symétriquement, qui divisent les axes en deux parties égales; la

troisième forme trois branches égales qui divisent Taxe en trois parties égales, et ainsi de suite.

Alors les vibrations de la corde pourront être regardées comme composées de vibrations entières dans toute la longueur de la corde, et de vibrations qui ne répondent qu'à la moitié de la corde, au tiers, au

quart, Mais cette composition de courbes et de vibrations n'étant

qu'hypothétique, les conséquences qu'on pourrait en déduire, relativement à la coexistence des sons harmoniques, seraient tout à fait précaires.

60. Revenons à la formule générale trouvée dans l'article 55. Comme les quantités a^+MV et a^-M> sont les coordonnées d'une courbe donnée, qui répondent aux abscisses x -f- Ui't et a? — /A'/, on peut les représenter par des fonctions de ces abscisses de la même forme. Ainsi, en désignant par la caractéristique F une fonction indéterminée, on aura

a:c-H/A7= F(j? -h /A'0> ax-/A'/= F(j? — Ih' t).

Pareillement, en prenant une autre fonction désignée par la caractéristique/, on pourra faire

Ainsi l'expression de ij. (art. 55) pourra se mettre sous cette forme

. Y(x-\-Ui't)-¥-¥{x — lh't) f{x-hUi't)—f(x — lh't)

dans lesquelles les fonctions marquées par les caractéristiques F et/

sont arbitraires, puisqu'elles dépendent de l'état initial de la corde.

On peut même réduire cette expression à une forme plus simple,

en observant que h — — ip — - ne représente proprement

qu'une fonction de x-hlh'l qu'on peut marquer par la caractéris-

A é. ¥(x—lh't) f{x — lh't) , , . ,

tique $, et que — ^ — ^^ — jj-, — - ne représente aussi qu une

seule fonction de a? — Ih't, mais différente de la précédente, et qu'on peut marquer par une autre caractéristique W.

De cette manière, l'expression générale de $ deviendra simplement

61. On peut parvenir directement à cette expression par Téquation différentielle qui détermine la variable Ç (art. 31). Cette équation, en

faisant -p = o et F' constant, comme dans l'article 32, et changeant

la caractéristique D des différences finies dans la caractéristique d des différences infiniment petites, devient

Si maintenant on fait df=dx^ dm = y^^ ^^ ^ = vTm' ^^''^ équation devient

laquelle est aux différences partielles du second ordre, entre les trois variables 5, x eX /, et qui a pour intégrale complète

5 —<i>{x -f- Ih't) -+- W(,x — Ih't),

les signes $ et ^ dénotant deux fonctions arbitraires comme ci-dessus. Ces fonctions doivent être déterminées par l'état initial de la corde et par les conditions que ses deux bouts soient fixes. Si on les décompose en deux autres fonctions marquées par les signes F et/, et telles

que $=--+- ^777 et V = ^tt» de manière que l'on ait

^ 1 ilh' 2 lin' ^

. ¥{x -h Ih't) -h F(:f — Ih't) f{x 4- Ih't) —/{x — Ih't)

^= -^ "^ ^Th' '

comme nous l'avons déduit de notre construction, la première condition donnera, en faisant / = o,

l^Y{x)^a et ^^^f\x)=:k;

d'où l'on tire

f{x) —J<xdx\

ainsi on a tout de suite les valeurs des fonctions ¥{x) et /{x) dans toute l'étendue / de la corde, par le moyen des valeurs initiales a et a. Les conditions de Tinimobilité des extrémités de la corde donnent ^ = o, lorsque ^r = o et lorsque x = t, quelle que soit la valeur de /. En assujettissant séparément, ce qui est permis, à ces deux conditions, les deux fonctions F et/, on a, pour la première,

et, pour la seconde,

ce qui donne par la difTérentiation

d'où Ton voit que les conditions de la fonction/' sont les mêmes que celles de la fonction F.

Ces conditions déterminent les valeurs des fonctions ¥{x),/'{x) pour les abscisses x négatives ou plus grandes que /, d'après les valeurs de ces fonctions pour les abscisses comprises entre o et /; et il est facile de voir qu'il en résulte les constructions données dans les articles 52 et 53.

Si, au lieu des excursions longitudinales $, on considère les excursions transversales y] et î^, on a la même équation différentielle et, par conséquent, aussi la même intégrale et les mêmes constructions, en changeant seulement A' en /i, et a, a en [^, ^ ou en y, y.

Ces constructions sont semblables à celle qu'Euler avait donnée pour déterminer la figure de la corde dans un instant quelconque, d'après sa figure initiale, en faisant abstraction des vitesses imprimées au commencement du mouvement. Mais il faut remarquer que, comme elles ne sont fondées ici que sur les fonctions qui représentent les intégrales des équations aux différences partielles, elles ne peuvent avoir plus d'étendue que ne comporte la nature des fonctions, soit algé- 'briques ou transcendantes. Or, l'équation différentielle étant la même

pour tous les points de la corde et pour tous les instants de son mouvement, la relation qu'elle représente doit régner constamment et uniformément entre les variables, quelque étendue qu'on leur donne; par conséquent, quoique les fonctions arbitraires soient en elles-mêmes d'une forme indéterminée, néanmoins, lorsque cette forme est donnée dans une certaine étendue par Tétat initial de la corde, il est naturel d'en conclure qu'elle doit demeurer la même dans toute l'étendue de la fonction, et qu'il n'est pas permis de la changer pour la plier aux conditions qui dépendent de l'immobilité supposée des extrémités de la corde.

Aussi d'Alembert, à qui on doit la découverte de cette intégrale en fonctions arbitraires, a toujours soutenu que la construction qui en résulte n'est légitime que lorsque la courbe initiale est telle qu'elle ait par sa nature des branches alternatives égales et semblables, toutes renfermées dans une même équation, pour que la même fonction puisse représenter cette courbe avec toutes ses branches à l'infini. Euler, au contraire, en adoptant la solution analytique de d'Alembert, a cru qu'il suffisait de transporter la courbe initiale alternativement au-dessus ou au-dessous de l'axe à l'infini pour en former une courbe continue, sans s'embarrasser si ses différentes branches pouvaient être liées par une même équation et assujetties à la loi de continuité des fonctions analytiques. V^oir les Mémoires de Berlin de 1 747» 1 74^» ^t les Tomes I et IV des Opuscules de d'Alembert.

62. Comme les formules qui donnent le mouvement d'une corde tendue et chargée d'un nombre indéfini de corps égaux ne sont sujettes à aucune difficulté, parce que le mouvement de chaque corps est déterminé par une équation particulière, il est évident que, si l'on peut appliquer ces mêmes formules au mouvement d'une corde uniformément épaisse, en supposant le nombre des corps infini et leurs distances mutuelles infiniment petites, la loi qui en résultera pour les vibrations de la corde sera entièrement indépendante de son état initial ; et, si cette loi se trouve la même que celle qui se déduit de la considé-

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ration des fonctions arbitraires, il sera prouvé que ces fonctions peuvent être d'une forme quelconque, continue ou discontinue, pourvu qu'elles représentent l'état initial de la corde. C'est ainsi que je démontrai, dans le premier Volume des Mémoires de Turin, la construction d'Euler, qui n'était encore fondée que sur des preuves insuffisantes. L'analyse que j'y employai est, à quelques simplifications près que j'y ai apportées depuis, la même que je viens de donner, et j'ai cru qu'elle ne serait pas déplacée dans ce Traité, parce qu'elle conduit directement à la solution rigoureuse d'une des questions les plus intéressantes de la Mécanique.

La généralité des fonctions arbitraires et leur indépendance de la loi de continuité étant démontrées pour l'intégrale de l'équation relative aux vibrations des cordes sonores, on est fondé à admettre ces fonctions, de la même manière, dans les intégrales des autres équations aux différences partielles; j'ai même fait voir, dans le second Volume des Mémoires cités, comment on pouvait intégrer plusieurs de ces équations sans la considération des fonctions arbitraires, et parvenir aux mêmes solutions que l'on trouverait par le moyen de ces fonctions, envisagées dans toute leur étendue.

Maintenant, le principe de la discontinuité des fonctions est reçu généralement pour les intégrales de toutes les équations aux différences partielles; et les constructions que M. Monge a données d'un grand nombre de ces équations, jointes à sa théorie de la génération des surfaces par les fonctions arbitraires, ne laissent plus aucune incertitude sur l'emploi des fonctions discontinues dans les problèmes qui dépendent des équations de ce genre.