JJeV
Donc le temps d'une oscillation totale sera de
— 07— 7 — mois périodiques = environ 5 04° jours.
On peut regarder au reste tout ce que nous venons de dire sur la libration de la Lune comme un commentaire de la Proposition XXXVIII, Livre III des Principes Mathématiques.
Résolution de l'équation { 2 )
K- 3T ,E'-3gE-=o.
On aura d'abord, en négligeant dans la valeur de E (Article IX] les termes qui renferment les quantités très-petites M, N et K — yH,
6?(COS7T dû) -h dz)
E = de H'
expression qu'on peut mettre sous cette forme COS7T d{dùi -+- cosirrfs) T, sin-n du do> sin^n dH -+- siii7t C0S7T dn dt ¥T
7— H — r- Il + j— H,
dt2 dt2 dt2
ou simplement, à cause de sin7r très-petit, et de du et dz très-petits aussi
par rapport à d<x>, comme on le verra dans la suite,
cosk d(das -f- COSTvde) „ sin?r dn da> dP dC-
c'est-à-dire (Article XIX)
„ sin 7r drt </w TT
E = 12 COS7T r- — — H,
dt2
En second lieu, on aura (Article XIV)
E'=— (K — J-H)rcos(u — e)sin7r+ MAAcos7r-+--îMr(Acosw -+• Asinw)sin7r -+- {N(A] — A:)cos7r -+-{Nr(Acoso) — A sin go) sinTr,
c'est-à-dire, en substituant pour A et pour A (Article XVI) les expressions
cos9 cos^s/' ■+" ^S sin0 cos^v/' "*" ^ et mettant i2' à la place de MAA +|N( A2 — A2) (Article XIV),
E'= û'costt -l- T sinTr [({H — K) cos(u — e) -+- {M cos^y/n-X2 cos(w — 6)
— |N cos^ y/1 + ^ sin(w — 0)].
On mettra ici, comme dans l'Article XIX, i au lieu de cost^y/i -+- X2 et v — g — B au lieu de w, c'est-à-dire u — a — 2$ au lieu de w — 6, ou bien simplement v — s, à cause que l'angle d est toujours très-petit, et l'on aura
E'=i2'cos7r-H r sinTr [(jH — K -t-|M)cos(u — e) — |Nsin(u — e)].
On substituera donc ces valeurs dans l'équation proposée (2), et, ôtant
, „, , , , . ■ . 3rfV2
ce qui se détruit en vertu de 1 équation (1), on aura, après avoir mis — j—
au lieu de r et effacé les termes qui contiennent — comme dans
l'Article XIX, l'équation
(6) —dnclo)— — '- Tcosfy — e)dV2-\ = Tsin(u — e)dV2 = o.
Or (Article XIII)
T = sln(u — .e)simr-f-7coS7r
et (Article cité)
~X = / sin(u — Ç);
rcos(v — e) = -jsin(2i;— 2.e) s'inTî + yf sin(2i;— e — Ç) cosn — yisin(£ — e) cos-,
r sin(u — e) = |[i — cos(2t( — 2e)]sin7r— £i côs(.2-u — e — Ç) costt
-+- ~i cos(Ç — s) cos-.
De plus
« = u — s — 9 et du — du — de — dd = (î -)- ft) d\', à très-peu près,
[j. étant le rapport de la précession moyenne des points équinoxiaux lunaires au mouvement moyen V; en faisant ces substitutions, on remarquera que les termes qui renferment les angles Ç — s deviendront, par l'intégration, beaucoup plus grands que les autres, parce qu'ils auront alors pour diviseur la quantité très-petite /j. —p,p exprimant le rapport du mouvement rétrograde moyen des nœuds de la Lune à- son mouvement moyen V; donc, n'ayant égard qu'aux termes dont nous parlons, on changera l'équation (6) en celle-ci
, . , 3(H — aK-i-M)7COS7r . ,„ . ... 3N/COS- .., . „7 3Nsinîr
7 dn= -i -. ; r^ Sin (i — S rfV-+- — — COS g— S rfV-H- —. -jj dX.
D'où l'on tire, en prenant rs pour la valeur moyenne de n, lorsque V = o,
3(H ■- iK-t-MW'cosw 3NfCosra . ,„ . 3Nsinra TT
