VI
ce sont les formules que nous emploierons dans la suite, par préférence aux autres trouvées ci-dessus.
Enfin on observera que, comme n = -, on aura, par la formule <E ) du n° 16,
* i-hb2-h c-
de sorte que, en différentiant suivant â, on aura la valeur de iïn exprimée à volonté par iïh et da, ou par à/, àg, iïb, Se.
31. Les formules précédentes ont toute la généralité possible; mais, pour les appliquer à notre cas, il y faut supposer (nu 25)
ce qui donne [équation (G)]
dz z — o, -7- =b:
' dt
par conséquent
. x (x dr — Y dx ) y , y \ x dy — y dx ) x
donc
x S x -+- y Sy ,. x d§x -i-yddy (xày —yàx){x dy — ydx)
de plus on aura
rr m, Sh
K= dh, ôK= — =;
donc, faisant ces différents réductions dans les formules ci-dessus, elles deviendront
. , , dy èx — dx oy H- x dèy — ydèx
on = 2 h - -—. — : 1
dtJih(i -+- m)
s I x èx -+- ySy dx ddx ■+■ dy dô) ^V ' (i-t- m) dP
Ti * » , //■ x\dr§x—yddx
= —3 (xôy — y Sx) — ,/-+-- '
' / dtJah(i -t- m) y dy §y — ydèy idy ëh
r dl Jih[i -+- m) dt \Jih{i + m)
x\ dx Sx — x dèx
{x §r — r àx ) -+- [ f-h-
r ■ \ rj dt ^2/1(1 -h m)
y dx §y — x dèy i dx Sh
r dt\]?.ll(i -+■ m) dt y/2/1 (1-4- m)
dy ôz — y dêz
Se
dt y/ 2 /< ( i + m)
— dx §z -+- x d§z dtJih(i -t- m)
-t- m) èa i(pSq-qèp) q(p—^an)Sn
a «2(i-4«)v/« tft(?4»)»-î mais, à cause de 6 = 0, c = o, g = o, on aura
p=fx, q=fy, dp=fdx + xàf+yàg, àq = fdy +■ yèf- xèg;
donc
pàq — q §p =f7(x dy — y Sx) — (x2 -hy')fôg;
de plus
h i-f* , fôf
n=- = — r*—, àn=—-J-^-; a 4 3
donc la dernière formule deviendra
A^r-r^-^t r(f*-ih)v
ai = 3fv/2(1 + ,w)-
V «3 « t/o'A 2y/aA3
El l'on remarquera que, a c:iuse de n= - et de àn = — ^-^, on aura 1 ^ a 2
encore cette équation entre iïa, SA et âf, savoir
« ôh — h èa H : = o,
laquelle pourra tenir lieu d'une quelconque des trois premières formules.
Telles sont donc les valeurs des quantités 5A, Sa, ïïf, §g, iïb, Bc, 8i
» ~ . dëx dèv liez , , ■ ,, , i e
en &r, §y, èz, —=—, -7—) —j—\ par conséquent, si I on met dans ces tor- ■ J dt ai dl l J
mules les valeurs de x, y, dx, dy et dt en u et du, savoir
„r = -(COSJ( — f), >•=— y/l — /'2COSK,
etfn°21)
4/ —7 rdu = -ï/ — li — fcosa) du,
à cause de e=/, elles doivent devenir identiques avec celles du nu 27; de sorte qu'on pourra trouver, par la comparaison des coefficients de àx, dy, àz, dàx, . . . dans les expressions de Sa, §/...., les valeurs des quantités A', B', C',... des formules de ce numéro; lesquelles valeurs seront nécessairement les mêmes que si on les avait déduites des formules du n° 26, au moyen de l'élimination.
% 32. Revenons maintenant aux expressions de à.r, iSy, dz, trouvées dans le numéro que nous venons de citer; comme ces expressions satisfont aux équations différentielles du n° 23, les quantités Sa. 56, àc, à/, 8g, Si demeurant constantes et indéterminées, il s'ensuit que, par la substitution de ces valeurs de Sx, &y, ïïz dans les mêmes équations, tous les ternies doivent se détruire d'eux-mêmes, indépendamment des quantités iïa, db,...; donc, en général, les termes qui renfermeront les quantités finies Sa, àb,... se détruiront toujours dans les équations dont il s'agit, soit que ces quantités soient constantes ou non.
Donc, si l'on suppose, ce qui est permis, que les mêmes expressions de Sx, ày, 8z satisfassent aux équations du n° 22 (lesquelles ne diffèrent, comme l'on voit, de celles du n° 23 que par les termes — p.X, — f/.Y, — u.Z ajoutés à leurs seconds membres), mais en y regardant les six quantités Ba, àb, iïc, §f, âg, Si comme des variables indéterminées, et qu'on en fasse la substitution, il est visible que les termes qui
renfermeront ces variables finies s'en iront aussi, et que les équations résultantes seront (n° 26)
Ad'èa-hïid'êf+Cd'êg ■+- [)d2ài dAd èa-hdBdàf+ dCddg+ dPdèi ^~dP "' dP
Kd'Sa + Fd*§f-hGd-ôg+Ed'êi dEdèa-+-dFd§f+ dGddg + dlldài y ' dP ' dP
Kd3ob-hLd2èc-{-2(dKddb-hdLdèc)
dP
33. Comme il y a ici six variables indéterminées, et qu'il n'y a que trois équations pour la détermination de ces variables, il est clair qu'on peut supposer à volonté trois autres équations entre ces mêmes variables, et il sera à propos de prendre ces équations en sorte que les différences secondes des variables èa, §b,... disparaissent d'elles-mêmes; c'est de quoi on viendra à bout en supposant
A dèa + B dèf -+- Cdog-h Ddèi 7ft
E dèa -+- F dôf -h Gdèg -+- H dSi
dt
Kdàb+Ldèc
dt
car, en retranchant respectivement des équations précédentes les différences de celles-ci, on aura
d\ dèa -+- dli dôf '+ dC dèg -+- d\) dèi ^
dt2 [J" '
dEdèa-hdFdèf-h dGdèg-h dtidèi „
dp
dK dèb ■+■ dL doc
~~~dT' Ayant ainsi six équations entre les six quantités
— \xL.
don dôf dèg dài dèb ddc ~~dt~' 'W HT" dt" dt ' dt
on déterminera, par l'élimination, la valeur de chacune de ces quantités; ensuite il n'y aura plus qu'à multiplier ces différentes valeurs par dt, et les intégrer; on aura de cette manière les valeurs des variables âa, àb, Bc, âf, ftg, fo qu'il faudra substituer dans les expressions de for, fo/, fo;; et les équations du n° 22, (|ui expriment les perturbations de la comète, seront résolues.
34. Il est important de remarquer que, si l'on différentie les expressions de for, fo/, âz, on aura, en vertu des équations supposées ci-dessus,
dèx — d\ da -+- t/B ôf -+- </C ôg -t- dl) Si, dôy = dE Sa + d¥ àf+ dG dg 4- dE Si, dàz = dKSb -+- dL Se,
précisément comme si les quantités fo/, âf, âg, ai, âb, oc étaient constantes, parce que les termes dépendant des variations de ces quantités sont précisément ceux qui forment les équalions supposées. D'où il est facile de conclure que, si les équations différentielles du n° 22 contenaient aussi les différences premières de for, fo/, âz, elles s'intégreraient également par la méthode du numéro précédent, el l'on parviendrait aux mêmes résultats.
Il y a plus, et c'est ici le point essentiel, dans l'orbite non altérée on a pour coordonnées x, y, z, fonctions du temps t et des six constantes arbitraires a, f, g, i, b, c, lesquelles déterminent les six éléments de l'orbite, savoir, le grand axe, l'excentricité, la position du périhélie, l'époque du passage par le périhélie, le lieu du nœud et l'inclinaison (nus 17, 19, 20). Dans l'orbite troublée, les coordonnées sont x -h for, v+ fo/, z -t- fo;, les quantités àx, fo/, fo; n'étant autre chose que les variations de x, y, z provenant des variations âa, âf, §g, fo', ïïb, âc des six constantes a, f, s, i, b, c, comme on l'a vu ci-dessus. Ainsi, dans l'orbite troub'.ée, les coordonnées sont exprimées de la même manière que dans l'orbite non troublée, c'est-à-dire, qu'elles sont les mêmes fonctions de t et de a -+- foz, /-t- §/", g -+- fo»', i + ai, b -t- §b, c -+- âc,
DES PERTURBATIONS DES COMÈTES. Wl
qu'elles le sont de t, a, f, g, i, b, c dans l'orbite non troublée. Par conséquent on peut à chaque instant regarder l'orbite troublée comme étant de la même forme que l'orbite non troublée, mais dont les éléments dépendent des quantités a + da,f-\- Sf, g + èg, i+ Si, b + Sb, c -+- àc, lesquelles étant variables, il s'ensuit que les éléments de l'orbite troublée seront variables aussi, et que les quantités Sa, S/, âg, ai, Sb, de serviront à déterminer leurs variations. Or, comme nous venons de voir que les valeurs de ces quantités sont telles, que les différences prem ères dé Sx, Sy, Sz sont les mêmes que si ces quantités étaient constantes, il est aisé d'en conclure que les éléments de l'orbite troublée, quoique essentiellement variables, peuvent néanmoins être regardés et traités comme constants pendant un instant, et qu'ainsi non-seulement le lieu de la comète dans l'orbite troublée, mais encore son mouvement instantané, c'est-à-dire, sa vitesse et sa direction, seront' dans, chaque instant les mêmes que l'on trouverait en les déterminant à l'ordinaire dans une orbite fixe dont les éléments seraient ceux qui répondent à ce même instant.
35. La difficulté est donc réduite à déterminer les valeurs des quantités Sa, Sf Sg, Si, Sb, Se au moyen des six équations du n° 33.
Or, en examinant ces équations et en les comparant avec les formules
qui donnent les valeurs de Sx, ây, Sz et de leurs différences —7—1 -j^>
—j— (n°5 26, 27), il est aisé de voir qu'elles sont semblables, et qu'elles
peuvent se déduire de ces mêmes formules en y changeant seulement les
. , ». ^ /. ■n 1 i-n». dôa dèf dSg
quantités Sa, of, Sg en leurs dinerences -j- , ~, -^-.■■•) et en y
supposant en même temps
» » dàx ■ „ jlèr ,7 dôz '
ùx = o, or = o, os = o, — -, — = — M.X, . —7— = — liï, —7— = — u.L. dt dt ' dt
Donc, en faisant ces mêmes suppositions dans les expressions de Sa, Sf,
Sg,... en Sx, — ^ Sv,..., on aura les valeurs des différences — ;— , o' t/t J dt
^C-.; ainsi l'on aura (n° 23) dt x
^=MC'X + D'Y), ^=-,y.(G'X + H'Y,
<ft r ' dt l
36. En général, il est visible que les équations du n° 33 ne sont autre chose que les différentielles de celles qui donnent les valeurs de &r,
—r-, oj,... en <$a, àf, §g,..., en y faisant varier seulement ces dernières
... . , .-rp, ., dèx dày dSz
Quantités, ainsi que les ditierences premières » ——-■, — ,— , et met-
n n ' dt dt dt
, . , , , ,-rp, i d2ôx d2Sy cPèz ,
tant a la place des ditierences secondes — j— » — h-' -nr- 'es quantités 1 a/2 dP dt2 1
— jjlX, — |U.Y, — p.Z; de sorte qu'en faisant les mêmes opérations sur
les équations qui donnent directement les valeurs de 8a, §/",... en 8x,
dàx «, iiiiii-i d oa dèf
—r- ? àv, ..., on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de-^— » -7^-, dt J ' a/ <//
-r^v- C'est ce qu'on peut aussi démontrer à priori par le raisonnement
suivant.
Soit, en général,
une quelconque des équations dont il s'agit, A étant une des six constantes arbitraires 8a, 8f, 8g, &i, 8b, de, et $ la fonction de t et de 8x,
8y, àz, —r-, -j-, -j— qui lui est égale, il est clair que cette équation
considérée en elle-même n'est autre chose qu'une intégrale première, ou du premier ordre, des équations du n° 23, dans laquelle A est la constante arbitraire introduite par l'intégration; donc, en différentiant, on aura cette équation du second ordre
laquelle, ne contenant plus de constantes arbitraires, devra être identique, c'est-à-dire, avoir lieu en même temps que les équations du numéro cité; de sorte que la différentielle d<S> devra être telle que, si l'on
y substitue à la place des différences secondes —rr-i — rr-» —r— leurs r dt2 dt- dP
valeurs données par ces mêmes équations, tous ses termes se détruisent
d'eux-mêmes; c'est aussi de quoi on pourra se convaincre à posteriori
par le calcul.
Or, comme les équations du n° 22 ne diffèrent de celles du n° 23 que
, , , d2èx d2ôr d2èz . , -r r
parce que les valeurs de —tt^j -fj~-> —tjt ont les termes — p.X, — p,Y,
— pi de plus, il s'ensuit que si, au lieu de substituer dans l'expression
i ;« i 7 i d2èx d2§r d2èz , , , . , , . , „„
de d<D les valeurs de -^rr» -ji--> -j^-> déduites des équations du n° 23,
on y substituait les valeurs de ces mêmes quantités, déduites des équations du n° 22, on aurait nécessairement le même résultat que si l'on y
substituait simplement — ,u.X, — f/.Y, — p.Z à la place de —n^-> ~JT"1
—rj-i et qu'on y effaçât en même temps tous les autres termes. Soit dA
ce que devient alors la valeur de d$ (A étant ici regardée comme variable); on aura donc, pour les équations du n° 22,
eM> = dA, et de là $ = A,
comme pour celles du n° 23, mais avec cette différence, que A ne sera plus ici constante, mais une fonction donnée de t; et cette équation $ = A sera par conséquent aussi une intégrale première des équations du n° 22.
D'où il est aisé de conclure, en général, que, pour trouver les intégrales de ces dernières équations, qui sont proprement celles qui déterminent les perturbations de la comète, il n'y aura qu'à différentier chacune des formules A = <ï> trouvées plus haut (nos 30, 31), en n'y faisant
, . . , ,.„>, ., dèx ddr dôz
varier que la constante A et les ditlerences premières —r- , -jp, —r-,
., < , , i d2èx d2ôr d2èz , ,.,, ^
et y substituer ensuite a la place de -777-' -7/yr' "ff 'es quantités — [J.X, VI. 57
— fiY, — juiZ; on aura par ce moyen la valeur de dA, dont l'intégrale
sera celle de A.
Ayant déterminé ainsi les valeurs des différentes quantités A qui
étaient auparavant constantes, et qui sont devenues maintenant des
fonctions de t, on aura des intégrales premières de la même forme
qu'auparavant; par conséquent les intégrales secondes ou finies qui
résulteront de celles-là par l'élimination des différences premières
dèx dêy d§z , , . „ ,, , ., , .,
—r-i —jj-i -y— seront encore de la même tonne; d ou il s ensuit que
tant ces différences que les variables finies Sx, fy, H>z seront aussi de la même forme, c'est-à-dire, les mêmes fonctions de t et des différentes quantités A que dans le cas où ces quantités seraient constantes.
Et il est facile de se convaincre qu'il n'est pas nécessaire, pour l'exactitude de cette méthode, que les différentes constantes A soient dégagées tout à fait des variables dans les intégrales premières des équations du n° 23, ainsi que nous l'avons supposé : il suffit de lès imaginer dégagées, ce qui est toujours possible, et de les traiter comme toutes variables à la fois dans la différentiation des mêmes équations intégrales; on éliminera ensuite successivement les différentielles de ces différentes quantités A, pour avoir la valeur de chacune de ces différentielles.
Voilà, comme l'on voit, un moyen aussi simple que direct pour déduire les intégrales des équations du n° 22 de celles des équations plus simples du n° 23, et, en général, pour intégrer toutes sortes d'équations linéaires, en supposant qu'on sache déjà intégrer ces mêmes équations dans le cas où elles ne contiendraient aucun terme tout connu.
37. Qu'on différentie donc, d'après la méthode précédente, les formules du n° 31, en y faisant varier seulement les quantités §h, âa, à/,
âg, ai, 8b, de, ainsi que les trois différences premières -jr-> —ff ~jt~} et qu'on y mette ensuite, à la place des différences secondes — y— > —r±-i -jrj-r les quantités — p.X, — (J.Y, — fxZ, c'est-à-dire, — pXdt, — (j.Ydf,
iôx , d§r jddz dt dt dt
ri i - î î î jdov , dêr 7doz -, .• „ •
\j.Ldt a la place de d—r—, d—j—, a— r— ; on aura les équations sui
vantes
dô/t = - nJ?J!-(xY— rX) dt,
doa = — a2(\dx + Ydr),
ijrdt [( ? , ^\Yj rvl . ^drdèh
'dt VI „ x\ „ r ,,H 2.dxd§h
deg= f^ X(/+£\x+r.Yn
6 v/a/Ki+mlLV-7 'V '• J
^2A(i+m)L\ '' / '' J dt\jih(\-\- m)
dèb= ^r Zt/l,
Jzfi[i -+- m)
d§c = *** Zrff,
y(fx — ^li)dèf
V a3 a fi/a'A
./Va3 A ay^3
et l'équation entre c?a, <?A, c?/-, étant différentiée aussi, donnera
a dèh — h doa -A L—J- = 0,
qui servira à déterminer, si l'on veut, diïf, en connaissant dâh et dda. Or je remarque qu'on a cette combinaison
x dôf+ rddg=a xdr-rdx dôh = idôh; dt\/2./i(i -H m)
de sorte qu'on aura
,. zdôh — xdàf
dêg = ^ ;
ainsi, comme
i(hdèa — adèh) dàf= -
on aura
c/Ôg':= —pr- (af-i-x) dSk — xll )
b afx L J «
valeurs que l'on pourra employer à la place des précédentes.
Telles sont les formules par l'intégration desquelles il faudra déterminer les valeurs des quantités dh, àa, âb, §c, âf, âg, ai; et il est visible que ces intégrations ne demandent que de simples quadratures, puisque les quantités x, y et X, Y, Z sont censées données en t d'après les mouvements supposés connus de la comète dans l'orbite non altérée, et de la planète perturbatrice dans son orbite.
38. Connaissant ces différentes quantités, on aura les éléments de l'orbite troublée, au moyen desquels on pourra calculer, par les méthodes ordinaires, tant le lieu que la vitesse et la direction de la comète dans un instant quelconque, ainsi que nous l'avons démontré plus haut (n° 34J.
Pour cet effet, on se ressouviendra que a est le grand axe de l'orbite
non altérée, l\h le paramètre du grand axe. et e = w i l'excentricité (n° 17).
Ainsi a -+- Sa sera le grand axe de l'orbite troublée, L\h + 4^ le pa-
. . . . hôa — a dh , . . . .
rametre de cette orbite, ete + tfe = e + 2 ; son excentricité.
ea-
Ensuite, en différentiant suivant 5 les valeurs de b et de c de ce même n° 17, et faisant, suivant l'hypothèse du n° 25, ty = o, on aura
ô6 = — sinwâij;, ôc = cos m 541 ;
ainsi cty sera l'inclinaison du plan de l'orbite troublée sur le plan de l'orbite non troublée, et w sera l'angle que la ligne des nœuds de ces deux plans fait avec l'axe des x, lequel est en même temps le grand axe de l'orbite non altérée (n° 25); de sorte que u sera proprement la longitude du nœud ascendant de l'orbite troublée, comptée sur le plan de l'orbite non troublée depuis le périhélie de cette dernière orbite.
En différentiant de même les valeurs de/et de g du n° 17, et faisant, d'après le n° 25, <h = o et e = o, on aura
Sf= Se, èg = e <5e ;
et il est clair, par les dénominations du n° 13, que 900-!- as sera la Ion-
DES PERTURBATIONS DES COMÈTES. iS3
gitude du point de l'orbite troublée qui est à 90 degrés du périhélie, comptée sur le plan de l'orbite non troublée, depuis le périhélie de celle-ci; mais, à cause que ces deux orbites ne font entre elles qu'un très-petit angle &p, et que nous négligeons ici les 5<J'2, il est très-facile de prouver que 5s sera la longitude même du périhélie de l'orbite trouhlée, la projection d'un arc de 90 degrés ne pouvant différer de 90 degrés que par des quantités de l'ordre de 5i|>2. Ainsi le petit angle 5é exprimera proprement le mouvement du périhélie en longitude, en vertu des perturbations.
Enfin on se rappellera que i est l'époque de l'anomalie moyenne dans l'orbite non troublée, c'est-à-dire, la valeur de cette anomalie ldrsque / = o (n° 20 J; donc i-i- ai sera aussi l'époque de la même anomalie dans l'orbite troublée; en sorte qu'ajoutant à cette époque le mouvement moyen pendant le temps t, dans une orbite dont le grand axe serait fl+(?fl, on aura l'anomalie moyenne qui servira à déterminer le lieu de la comète dans l'orbite troublée.
Ainsi
étant (numéro cité) l'anomalie moyenne dans l'orbite non troublée, on aura 8 ■+- 53 pour l'anomalie moyenne dans l'orbite troublée, et l'on trouvera la valeur de 55 par la différentiation de l'équation précédente, en y faisant varier a et «seulement, en sorte qu'on aura
m) da
Comme 5a et 5t sont ici des quantités variables, si l'on différentie à l'ordinaire cette valeur de 55, on aura
... „. /2(i + m) da li ( 1 -+- m ) d ëa ...
dS0 = — 3 dt \ / v — 3m/- — '- hdài;
et substituant pour dfti sa valeur trouvée dans le numéro précédent,
d Ô6 — - 3 dt 4 h^z
a zr'ddg + r(xf-ïh)d3fi 1 f\Ja3h 2 \Jah3
dont l'intégrale donnera directement la valeur de dd, qui est l'altération de l'anomalie moyenne causée par les perturbations.
39. Nous avons donné, dans la première Section (nos 10, 11), une manière de transformer les équations générales des perturbations, en sorte que les forces perturbatrices deviennent très-petites lorsque la comète est à une grande distance du Soleil; comme cette transformation est d'une grande utilité pour le calcul des perturbations dans la partie supérieure de l'orbite, il faut voir maintenant comment elle peut s'appliquer aussi aux formules que nous venons de trouver.
La transformation dont il s'agit consiste en ce que, si l'on fait
et de plus
dx dy dz
on aura entre Sx', §y , dz' et X', Y', Z' les mêmes équations qu'entre èx, §y, dz etX, Y, Z, c'est-à-dire, des équations de la même forme que celles du n° 22, en y marquant seulement les quantités dx, dy, dz, X, Y, Z, chacune d'un trait.
On peut donc appliquer à ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire dans cette Section sur les équations du n° 22, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si l'on dénote par da', db', de', df, dg', dh', dï des quantités analogues aux quantités da, db, de,..., on aura des formules semblables à celles des
nos 31 el 37 ci-dessus, en y marquant d'un trait les quantités 8a, 8b, 8c, 8f, 8g, 8h, 8i, 8x, 8y, 8z, X, Y, Z. Par les premières, on aura les valeurs
de 8a', 8b',... en 8x', — -, — , 8y ,..., et par les autres les valeurs de d8à
dW\... enX', Y', Z'.
Supposons maintenant qu'on substitue dans les formules du n° 31 les valeurs précédentes de 8x, 8y, 8z; il est aisé de voir (à cause que ces quantités n'entrent dans les mêmes formules que sous une forme linéaire) que les valeurs des quantités àh, 8a, &/,... deviendront
ôh =
f/.H + ÔA',
ôa =
f*A -h Sa',
p. F -+- if,
ôg =
■fiG + àg',
/jtB -\-Sb',
dc =
fj.C +Sc',
■■ fil -t- èi',
en dénotant par p.H, p.A, p.F,... les valeurs de 8h, 8a, 8/,... provenant de la simple substitution de u. (5- H — ) à la place de 8x, de
3{i-h m) 1 -+- jj.
u. ( - — 1 — ) à la place de 8y, et de u. ( — H : — - ) à la
r\3(i-t-m) i-i-mj ' J ~\3(i-i-m) » »
place de 8z.
De sorte qu'en faisant
dz
et mettant à la place de xdy—ydx sa valeur dt\jnh{i-\-m) (n°s29, 31 J, on aura
4 A 2 h \dy — ndx -+- x d-n — y d\
3(n- m) i-t-p dtJvh(i-i-m)
i dx7 -+- dy'1 \ a1 fx% +yn dx d\ -+- dy dn
3(H-m)\r (\ + m)dl7) i-f- p. \ r> {i-hm)dt7 /'
/+7 yM^-rl) (/+*)(Erfr-r^) + 7(««(r-r*i) 2Hrfr
3(i + m) i-j-f/. {\ + p.)dtsj'ïh[i+m) dt\Jah{i-hm)
£ —Ax-D — rl) (/-+-— \(&dx— xdl)+^-{-ndx— xdy) „ .
r r3 ' " y7 r I r 2 a dx
3(n-m) 1+// (i-t-p)a7v/2A(i-t-m) dtjih{i + m)
Çdy — y d'C,
(1 -l- [j.) dt\Jnh(\ -h m) x d'C — 'C dx
(1 -+- p.)dt<Jo.h{i -hm)
=ïv^
De plus on aura, par les formules du n° 37, en y marquant d'un trait les quantités âh, âa,..., X, Y, Z,
dàh'= — a-^- {xY'-yX')dt,
\i.y dt Vif x\\i T v~l idydèh'
^ i/aAd + in) LV ''/ r J
y/2A(n-m)L\ r / r J dtjih(i-h-m)
dèg>= v-xdt [7/+gW+£Y'l- 2^âA'
& y/2A(i-t-m) L\ '•/ »■ J dt^h^+m)
dôb'= ^r 7.'Hi,
rf ôc' = r Z'a7,
\Jih(i ■+- m )
V «3 « A/Ô^Â 2i/fl/l1
/ya3 A 2 y/a y
Donc, si l'on différentie les valeurs de <ih, Sa, . . . données ei-dessus, et
qu'on y substitue ensuite les valeurs précédentes de d$h', dîia',..., il viendra
d àk = p. dH - {j. Jl±- (£Y' — yTL') dt,
dda=u.dA aHX' dx -h Y' dr),
îzf ix? V-ydt VI ~ x\ y "1 zdrdèh'
dàf=[j.dF ; ' /+ - X'-H - Y' H J ,.
^2A(n-m)L\ '' / '' J dt\fzh(i-\- m)
,n ii.xdt V I x\v, y ,„"] idxdèh'
•;~ u. dG + ' /-l- - X' -t- ^ Y'
v/^fn-m) LV ''/ r J dt\l*h{i + m)
dô
dèb = (>.dB+ F'r Z' cfr,
ddc=[xdC 1=^==Z'dt,
\jih(i -h m)
dèi=u. dl + 3a/2" + ffll ^ - ar'lfe' + r{f*-là)dift V «3 « /7«3/' 2V/aA3
formules qu'on pourra employer à la place de celles du n° 37, avec lesquelles elles sont identiques dans le fond.
40. En comparant les formules précédentes avec celles du n° 37, il est aisé d'en tirer cette conclusion générale, qu'il est permis de changer dans ces dernières les quantités X, Y, Z en X', Y', Z', pourvu qu'on ajoute en même temps aux valeurs de dùh, diïa, dâf, ... les quantités [xdE, ii.dk, \i.d¥
De là il s'ensuit que, soit, par exemple, ij.IT dt la valeur de dùh dans les formules du n° 37, on aura, en intégrant,
àh
- \ fj.Wdt,
cette intégrale étant supposée commencer au point où dh = o. Supposons maintenant qu'à commencer d'un point donné de l'orbite on veuille employer les quantités X', Y', Z' à la place des X, Y, Z, et qu'on dénote VI. 58
par Sh' la valeur de à h pour ce point, c'est-a-dire, la valeur de l'intégrale |/j.n dl étendue jusqu'à ce point; soit n' ce que devient n en y
changeant X, Y, Z en X', Y', Z' : on aura, en général, par les formules du
numéro précédent,
ddh = (j.dE + y.Wdt:
donc, intégrant,
dh = y. H -+- l fj.ïï'dt + consi.
Soit H' la valeur de H dans le même point de l'orbite, et supposons que l'intégrale / \j.ï\.'dt commence aussi à ce point dans lequel on a supposé
que finit l'intégrale I (j.Udt; on aura donc dans ce point
oh' = pW -+- const., donc const. =Sh' — p. H' ; donc on aura, en général,
oh = f/H — fj.B' -4- dfi' -+- / fj.n' dt,
savoir
§h — p.H — y. H' + ! f/.n dt + / f/H dt.
Supposons ensuite que, dans un autre point quelconque de l'orbite, on veuille changer de nouveau les quantités X', Y', Z' en X, Y, Z, et soient dénotées par àh" et par H" les valeurs de iïh et de H pour ce second point: on aura donc dans ce point
è/l" = y.U" — u.H' -h fu.U(/l-h j y.U'dt,
l'intégrale j (j.U'dt étant supposée étendue jusqu'à ce second point. Or, lorsqu'on emploie les quantités X, Y, Z, on a, en général,
dèh = plldt, donc dh = / pH dt -h const. ;
supposons que l'intégrale / p.Ildt commence à ce second point dans lequel âh devient âh", et l'on aura dh" = const.; donc, en général,
oh — j [j.B dt ■+ oh" ,
et, substituant la valeur de âh",
oh
.H"- [j- 11' -+- Cuîl dt + f [j.Tl'd/. + f fj.Ildi;
dans cette formule, la première intégrale j fj.ïldt est supposée commencer au point de l'orbite où âh est nul et s'étendre seulement jusqu'au point où les quantités X, Y, Z se changent en X', Y', Z'; la seconde intégrale / [iW dt est supposée commencer à ce point et s'étendre jusqu'à l'autre point où les quantités X', Y', Z' redeviennent X, Y, Z; enfin la troisième intégrale I fi II dt commence à ce dernier point et s'étend indéfiniment; de sorte que ces différentes intégrales ne forment proprement qu'une seule intégrale, qui commence au point où âh est nul et qui s'étend indéfiniment, mais avec cette condition que la quantité II se change en II' dans une certaine étendue.
On voit par là que, dans l'intégration de la valeur de dâh du n° 37, on peut changer à volonté les quantités X, Y, Z en leurs analogues X', Y', Z', et rétablir ensuite celles-là à la place de celles-ci, pourvu qu'on ajoute en même temps à la valeur finie de âh la quantité p.H" — /xH', qui est la différence des deux valeurs de p.H, dont l'une (j.H' se rapporte au point où X, Y, Z se changent en X', Y', Z', et dont l'autre ;xH" se rapporte au point où X', Y', Z' redeviennent X, Y, Z.
On fera le même raisonnement sur chacune des autres formules du n° 37, et l'on tirera des conclusions semblables. Ainsi, dans l'intégration de la valeur de dàa, on pourra, pour un certain espace à volonté, changer X, Y, Z en X', Y', Z', pourvu qu'on ajoute ensuite à la valeur finie
de àa l'excès de la valeur de p. A qui répond à la fin de cet espace sur la valeur de jjlA qui répond au commencement du même espace, etc.
Et, si l'on voulait substituer à plusieurs reprises les quantités X', Y', Z' à la place de X, Y, Z, on ferait la même opération pour chaque nouvelle substitution.
41. Une des déterminations les plus importantes de la Théorie des perturbations des comètes est celle de l'altération du temps périodique. Rien n'est plus facile que de trouver cette altération par le moyen de la formule que nous avons donnée (n° 38) pour l'anomalie moyenne dans l'orbite troublée. En effet, 6 exprimant, en général, l'anomalie moyenne dans l'orbite non altérée, et 6 -h <$Q l'anomalie moyenne qui a lieu en même temps dans l'orbite troublée, on aura, pour l'instant du périhélie dans l'orbite troublée, Ô-)-d5 = o; d'où 5 = — 5$, ou (ce qui revient au même), 6 = 36o°— §6. D'où l'on voit que, lorsque la comète passera au périhélie dans son orbite troublée, une comète fictive, qu'on supposerait se mouvoir dans l'orbite non altérée, serait encore éloignée de son périhélie de la quantité qui répond à l'anomalie moyenne §(5 dans cette même orbite. Donc, comme on a, en général (n° 20),
,=MV/îSi+5l
i étant une constante dans l'orbite non altérée, si l'on dénote par Si le temps qui répond à l'anomalie âô dans cette orbite, on aura
•=>»>\TÏ.
donc
c'est le temps dont le passage au périhélie de l'orbite troublée précédera le passage au périhélie de l'orbite non altérée, ce temps étant exprimé par le mouvement moyen du Soleil qui y répond (numéro cité).
Dénotons par 86' et â6" les valeurs de 86 qui répondent à deux périhélies consécutifs, et par &t', 8f les valeurs correspondantes de 8t, en sorte que l'on ait
/ n3 ... ... là?
df=\/Tr. -00', ôl"=\/ë-,
soient de plus t' et t" les temps des passages par les deux périhélies consécutifs dans l'orbite non altérée : on aura, pour les temps de ces passages dans l'orbite troublée, t'—8t', f—àf; donc la différence de ces temps, c'est-à-dire, l'intervalle de temps entre deux passages consécutifs au périhélie de l'orbite troublée, sera t" — t' -\- âl' — 8t", où t" — ï est le même intervalle pour l'orbite non altérée. D'où il s'ensuit que la durée de la révolution anomalistique dans l'orbite troublée surpassera la même durée, dans l'orbite non altérée, du temps exprimé par
ou par
c'est l'altération produite par les perturbations.
Il faut remarquer que, pour avoir les valeurs de è6' et 86", il faudrait à la rigueur supposer, dans 86, t = f— 8t', t = t" — èt"\ mais, comme nous négligeons les carrés et les produits des forces perturbatrices, et par conséquent aussi de toutes les quantités résultant de ces forces, il suffira d'y faire l = t' et t = t".
Nous venons de déterminer l'altération de la révolution anomalistique de la comète; si l'on voulait avoir l'altération de sa révolution périodique, il faudrait défalquer de l'altération précédente le temps dû au changement du périhélie. Or nous avons vu (n° 38) que le périhélie de l'orbite troublée est plus avancé que celui de l'orbite non altérée de
l'angle 8e = ^-\ donc, si l'on dénote par 8e' et 8b" les valeurs de 8s qui
répondent à l = t' et t = t", on aura de" — 8e pour l'angle dont le périhélie de l'orbite troublée aura avancé pendant une révolution; ainsi la
quantité à défalquer de l'altération de la révolution anomalistique, pour avoir celle de la révolution périodique, sera le temps qui répond à l'angle ou a l'anomalie vraie de"— 8-.'.
Pour trouver ce temps, on pourra employer la formule différentielle (n°2t)
, r-do
\fu.h{ i -+- m)
en taisant dcp = as" — 8s' et r égal à la dislance périhélie dans l'orbite non altérée, laquelle est
de sorte qu'on aura, pour le temps cherché, la quantité I ih \ * èe" — es'
V + e) V3.A(I-hW)
Donc la durée de la révolution périodique de la comète dans l'orbite troublée, c'est-à-dire, le temps qu'elle mettra à faire une révolution entière depuis son départ du périhélie jusqu'à ce qu'elle revienne sur la ligne du même périhélie, surpassera le temps de la révolution entière, dans l'orbite non altérée, de la quantité
ièd'-W) ' 2/l v oV'-ôV
8(i+m Vu-*/ Jih{i-^m)
laquelle, en substituant pour âô' et 89" leurs valeurs déduites de la formule du n° 38, et dénotant par &a', 8i' et par 8a", 8i" les valeurs de 8a, ai, qui répondent à t = l' et t = t", se réduit à celle-ci
' t" oa" — I' 6a' / a3 ..„ , ., / 2 fi \s ôê" — Se'
ia y 8[i-h m)
\jih(i
DES PERTURBATIONS DES COMETES. i63
