I -t- X2 = xz

et l'on remarquera que

(i + x2)2 = i -f- 2x2-h xi = x2z2, d'où i + x> = x2(z' — 2),

(1 -4- x:)3 = 1 -4- xe ■+■ 3x2(i ■+■ x2) — x3z3, d'où 1 -1- x6z=x3(zi — 3z),

et, en général,

en ne continuant cette série que tant que l'on aura des puissances positives de z.

On fera donc ces substitutions, et, divisant ensuite tous les termes par a?, il viendra un polynôme en z de la forme

«• + [(«)]*- + [(»)]*«+ [(3)]a- + ...+ [(v)], où l'on aura

[(0] = (0. [(2)]=(2)-Vj

De même, si Ton substitue #z à la place de 1 + #2 dans le produit des v trinômes

1 — ix cosa -1- x\ 1 — 2ic cos(3 -+- x2, . . .

et qu'on divise ce produit par x1, on aura celui-ci

(z — 2 cosa) (z — 2 cos(3) (3 — 2 cosy). . -,

lequel devant être identique avec le polynôme précédent, on en conclura aisément les valeurs des coefficients [(1)] , [(2)] , [(3)] .... , et de là celles des coefficients (r). (2), (3),....

Quoique les formules précédentes soient connues depuis longtemps, j'ai cru devoir les donner ici, parce que j'aurai occasion d'en faire usage dans la suite.

Quant aux coefficients [o], [i], [2],... du numérateur, il est trèsfacile de les déterminer par le moyen des équations trouvées dans le numéro précédent, lesquelles donnent

Corollaire II.

7. On voit, par l'analyse du Problème précédent, que non-seulement toute suite composée de sinus d'angles qui croissent en progression arithmétique, mais, en général, toute suite composée de termes qui procèdent en progression géométrique, est récurrente d'un ordre égal au nombre de ces termes.

Il est facile de prouver de même que toute suite algébrique qui a des différences constantes d'un ordre quelconque, multipliée, si l'on veut, terme à terme par une série géométrique quelconque, est une suite récurrente d'un ordre supérieur d'une unité; et qu'en général toute suite formée par l'addition de deux ou de plusieurs suites de cette espèce sera pareillement récurrente d'un ordre égal à la somme de ceux de chaque suite particulière.

En effet, on sait que la somme d'une suite infinie, dont le terme général sera (m + i)pmxm, est exprimée par — ^5 que celle dont le

, , , (ffi + l)(ffl + 2) . . • I

terme gênerai sera pmxm est exprimée par — — -, que

11 1 1 , • \ im -+- l)im ■+■ 2) (m -+- 3) ,„ ,„

celle dont le terme gênerai sera 5-* pmxm est expn-

mée par rj et ainsi de suite; donc la somme de la suite qui aura

r (i — px)' '

le terme général

■+- -l^-ii.— 1 5 ; ,

sera égale à

Ko K, K: K^,

I — px (l — /7X)! (i — pxf (i — /?^)1'

c'est-à-dire, à la fraction simple

K.(i— pxy-'-j-Ktji— px)v-* + K,(t — pxy-' -h . . . + Kp„i (1 — pxy

d'où il s'ensuit que, si l'on a une série dont le terme général soit représenté par la formule

(K + K'/w -+- K" m2 + K'"mz -+-...+ K^-'l m'-')pmx'n,

il n'y aura qu'à chercher les quantités K0, K,, K2,..., K^,, en sorte que l'on ait l'équation identique

K-(-K'w-^-K"OT2^-...^-K'^1-,>OTlt-, =K0-f-K,(m + i) + Ks- '-