K3 = SIV— 3 S'" -+ 3 S"— S

en sorte que les coefficients K0, K,, K2, K3,... ne seront autre chose que les différences successives des quantités S', S", S'",... prises alternativement en — et en -k

Enfin il est clair que, si la suite proposée est composée de plusieurs suites de la forme précédente, il n'y aura qu'à ajouter ensemble les fractions qui expriment la somme de chacune de ces suites continuées à l'infini, et l'on aura une fraction unique qui sera égale à la série proposée, et dont le dénominateur sera de la forme

(i — px)"-{i — qx)\ . . .

De sorte que cette série sera récurrente de l'ordre

ayant pour échelle les coefficients pris négativement des puissances x,

x-, x'\... du polynôme qui résultera du développement de la formule

{i—pxY{i — qx'y

En général, si l'on a une suite récurrente quelconque

T + T'* + T'x- -+- T"x3 + T"*4 ■+- Tx> + . . . ,

et qu'en dénotant par <p une fonction rationnelle, et sans diviseur, d'une ou de plusieurs quantités, on forme les nouvelles séries

<p(T) + 9(T')^-f-cp(T")^2-i-cp(T'")^3+...,

<p(T, T') + <p(T\ T")« + 9(T", T")x2-hu(T", T')xs + ...,

<p(T, T\ T")-t-cp(T', T", T")x + y(T", T", T"T).r2+.. .,

et ainsi de suite, toutes ces séries seront pareillement récurrentes, et l'on pourra en trouver l'échelle de relation, dès qu'on en aura formé le terme général à l'aide de celui de la série proposée; et ces nouvelles échelles pourront toujours s'exprimer par les seuls termes de l'échelle de la proposée; car la difficulté ne consistera qu'à chercher les coefficients d'une équation dont les racines dépendent de celles d'une équation donnée, Prohlème dont l'AIgèhre fournit plusieurs solutions.

De plus, si dans la série proposée on ne prend les termes que de deux en deux, ou de trois en trois,..., les séries résultantes

seront aussi récurrentes et du même ordre que la proposée ; et il est facile de voir que, si l'échelle de relation de celle-ci est représentée par

le polynôme

{i—pxY{i — qx)\..,

celles des séries dont il s'agit le seront par les polynômes

(i — p2x7)v-{i — q2x2)\ . ., (i — p*xay[i — q3x3)\ . .,

ainsi, mettant a; à la place de oc2, ou œ3,..., les séries

T -+- T" x 4- T"x2 4- TVIx3 -)-..., ï -+- T'"x 4- TTI x2 4- T**x3 4- . . . ,

seront récurrentes et auront pour échelles de relation les polynômes

(ï — p'xy{i — q2x)\. . , (ï — p3xy{\, — q3x)'' . . . ,

Enfin, si l'on a différentes séries récurrentes, telles que

V+V'*+ V"a?J 4- Vf 4- V" x4 4- . . . , X+X'i + X"a?! 4- X'"f 4- Xivf 4- • • • ,

et que l'on en compose une nouvelle de la forme

tp(T, V, X,...)4-<p(T", V, X',...)x 4-<p(T", y,", X",...)f 4-...,

celle-ci sera encore récurrente, et son échelle dépendra uniquement de celles des séries particulières d'où elle est formée; et la difficulté de trouver cette échelle ne consistera qu'à trouver l'équation dont les racines seront des fonctions données de celles, de quelques équations données, Problème toujours résoluble par les méthodes connues.

Corollaire III.

8. De même que, lorsqu'on connaît le terme général d'une série récurrente, on peut trouver la fraction génératrice de la série, de même, en connaissant cette fraction, on pourra en déduire l'expression du terme général; car il n'y aura d'abord qu'à chercher tous les facteurs du dénominateur, et à décomposer ensuite, par les méthodes connues, la frac- VI. 66

tion proposée en autant de fractions partielles qu'il y a de facteurs, et dont chacune ait un de ces facteurs pour dénominateur, en observant cependant que, s'il y a des facteurs doubles ou triples, . . . , ou p.c"p'es, chacun de ces facteurs donnera (x fractions partielles, dont les dénominateurs seront successivement la première, la deuxième, la troisième,..., la \j.ième puissance du même facteur.

De celte manière, la fraction dont il s'agit se trouvera décomposée en

autant de fractions simples de la forme -, -r que le dénominateur

r (i — pxf l

aura de facteurs, et chacune de ces fractions donnera une série dont le terme général sera

YLpmx'";

de sorte que, en ajoutant ensemble tous ces différents termes, on aura la valeur du terme général cherché. Tout cela est trop connu pour que je doive m'y arrêter davantage; je crois cependant qu'on me permettra de donner ici une formule générale et fort simple, pour trouver tout d'un coup, à l'aide du Calcul différentiel, la partie du terme général qui vient d'un facteur multiple quelconque du dénominateur de la fraction donnée.

Soit (i — pxy ce facteur, et dénotons par X la fraction proposée, après en avoir retranché par la division le même facteur, en sorte que

soit ésrale à la fraction donnée; on cherchera, en faisant varier .r

(i— pxf s

et regardant dx comme constante, la valeur de la quantité

xv-d^-'PJx-"-')

r.2.3...(fz — i)(— dxY~r

ensuite on y mettra - à la place de x, et la quantité résultante sera le

coefficient de xm dans le terme général de la série provenant du facteur en question.

Je supprime la démonstration de ce Théorème, parce qu'elle n'est pas difficile à trouver d'après les principes connus.

Corollaire IV.

9. Concluons de là que chaque facteur simple du dénominateur de la fraction génératrice proposée, tel que i — px, donnera, dans l'expression du terme général de la série, le terme Kp"lxm, et que chaque facteur multiple, tel que (i — px)*, y donnera les termes

(K + K'm + K" m2 -+- K.'" m" 4- ... H- K>~' ' m?—' ) pmxm.

S\p est imaginaire, il sera réductible à la forme t -+- u\j— i , et il y aura nécessairement un facteur correspondant i — qx, où q sera de la forme t — u\j — i ; de là on trouvera que les coefficients K, K', K",... seront chacun de la forme

h-hl\/—\, h'+l'sj—i, h" -h l" \/—ï , . . .,

et les quantités correspondantes, provenant de l'autre facteur i — qx, seront de la forme

h-lsj~i, />'-/' y/— 7, h"— l" ytT,.... Or soient

y/ t2 -f- u1 = r, — = tan g a, y/ h1 -+- 12 = f, j = tanga, y/A'2 4- /" =/', y7= tanga',

p = r(cosa + sinay/— i ),

pm — /'"(cosma -f- sinma y/ — i ),

K=/ (cosà + sina y/— i ), K'=y(cosa'+ sina' y/— i), ....

K pm = frm [cos(a 4- mac) -t- sin(a -f- mtx)\j — i], K'/>m =/''/"; [cos(a'+ mat) + sin(a'+ ma.)\J — i], .

el les quantités correspondantes ne différeront de celles-ci que par le signe du radical \J — i ; de sorte qu'en rassemblant toutes ces quantités on trouvera que les facteurs multiples imaginaires (i — pxY, (i — qx)^ donneront, dans l'expression du terme général de la série, les termes suivants

[/ cos [a -h ma) +f m cos ( a' -+■ ma) ■+■ f" m7 cos ( a" -+- m a ) + . . . ] r'" xm,

et chaque autre couple de facteurs imaginaires donnera des termes semblables.

Quoique toutes ces choses soient assez connues, j'ai cru devoir les rappeler à mes lecteurs, parce qu'elles donnent lieu à des conséquences importantes dans la matière qui fait l'objet de ce Mémoire. Une des principales, c'est que, quelque dérangement que les Corps célestes puissent éprouver en vertu de leur action mutuelle, et même de la résistance d'un fluide très-rare dans lequel ils nageraient, leurs mouvements en temps égaux seront toujours représentés par des séries du genre des récurrentes; car les termes les plus compliqués que la Théorie puisse jamais donner dans l'expression du mouvement vrai d'une planète quelconque

seront de la forme

K œ'" e"° cos ( a -£■ b œ ),

'ù étant l'arc du mouvement moyen et a, b, c, m, n, K des coefficients constants quelconques; or il est clair, par ce qu'on a vu ci-dessus, que toute série qui naîtra de cette formule ou de la somme de plusieurs formules semblables, en donnant successivement à © des valeurs qui augmentent en progression arithmétique, sera.toujours récurrente.

Donc, si l'on a une suite d'observations d'une planète quelconque, faites à des intervalles de temps égaux, on est en droit de regarder les résultats de ces observations comme formant une suite récurrente d'un ordre quelconque, et toute la difficulté se réduira à trouver la loi de la série; c'est l'objet du Problème suivant.