PROPOSITION II
Problème.
10. Étant donnée une suite de termes dont les valeurs soient connues, trouver si cette suite est récurrente, et déterminer dans ce cas la forme générale de ses termes.
Soient les termes donnés et connus
on en formera la série
T + Y x -+- T" x1 -+- Y"x3 -t- Yvx* -+- . . . ,
que je supposerai égale à s, pour abréger; et il n'y aura qu'à chercher si cette série peut résulter du développement d'une fonction rationnelle quelconque, où la plus haute puissance de x dans le numérateur soit moindre que dans le dénominateur.
Supposons d'abord que la série proposée soit récurrente du premier ordre; on aura, dans ce cas,
a -+- bx
i a -+- bx
- = ; — = V ■+- Qx>
s a ri
d'où il s'ensuit que, si l'on divise l'unité par le polynôme s, en ordonnant dans l'opération les termes suivant les puissances de x, on trouvera nécessairement un quotient fini de deux termes p-+- qx. ' Supposons ensuite que la série proposée soit récurrente du second ordre; on aura, dans ce cas,
a -t- bx -y- ex1
donc
i a -+- bx + ex2
qu'on divise le numérateur trinôme a -+- bx + ex2 par le dénominateur
binôme a! h- b'x, on aura un quotient binôme/? -+- qx et un reste a"x2 ;
donc
- = p -+- qx -+-
d'où je conclus d'abord que, si l'on divise l'unité par le polynôme s, et qu'on pousse la division jusqu'à ce que l'on ait dans le. quotient deux termes tels que p + qx, ce qui ne demande que deux opérations, on aura un reste qui sera nécessairement divisible par x2 et que je représenterai par s' x2, s' étant une nouvelle série de la forme
Donc
- = P -+- Q x -i =/» + WH — ; rr— ;
c * * c ' * rt — U h' nr
par conséquent et de là
Donc, si l'on divise le polynôme s par le polynôme s', on aura nécessairement un quotient fini de deux termes tels que p' + q' x.
Supposons que la série proposée soit récurrente du troisième ordre,
on aura alors
a! '-f- b' x -\- d x1 ~ a -h bx -+- ex' -f- dx3 '
donc
i a + bx -+- ex1 -+- dx1
qu'on divise le numérateur de cette fraction par son dénominateur, on aura un quotient de la forme/? + qx et un reste de la forme a"x2 -+- b"x3 ;
i a" x' -+- b" x2 - = P -+■ Qx H i r, ; — ; ■
De là il s'ensuit aussi que, si l'on divise l'unité par le polynôme s, et qu'on continue la division jusqu'à ce qu'on ait dans le quotient deux termes tels que/j -+- qx, le reste sera tout divisible par x2 et pourra être représenté par s'x'1 , s' étant une série de la forme
On aura donc
donc
■\'x + V"xJ-(- V"'.r3
s x2 a x1 -+- b x3 : p + qx H = n + qx -t : r. r— :
et de là
Or, en divisant le numérateur de cette fraction par le dénominateur, il est clair qu'on aura un reste de la forme a'"x2, en sorte que
s . . af"x2
?' ' * rt" i h" <v*
Donc, si l'on divise le polynôme s par le polynôme s', et qu'on pousse la division jusqu'à ce qu'on ait dans le quotient deux termes tels que p' -+- q'x, le reste sera nécessairement divisible par x2 et pourra être représenté par s"x-, s" étant une nouvelle série de la forme
X'x + X"x2-hX'"x3 ■
Ainsi on aura
d'où
et de là
D'où il s'ensuit qu'en divisant le polynôme s' par le polynôme s", on aura nécessairement un quotient fini, tel que p'"+ q'"x.
Si la série proposée était récurrente d'un ordre quelconque supérieur, on y pourrait faire des raisonnements et des opérations semblables. De là je conclus, en général, que, pour reconnaître si la série proposée s est récurrente d'un ordre quelconque, il n'y a qu'à diviser d'abord l'unité par s jusqu'à ce qu'on ait clans le quotient deux termes tels que/? 4- qx, et, dénotant le reste par s'x-, on divisera ensuite s par s' jusqu'à ce que l'on ait aussi dans le quotient deux termes comme p' -\- q'x; dénotant de même le reste par s"x2, on divisera encore s' par s" jusqu'à ce que l'on ait dans le quotient deux termes comme p" -+- qx"; et ainsi de suite. Si la série s est véritablement récurrente d'un ordre quelconque n, l'opération se terminera nécessairement à la nième division; en sorte que le reste s<-n)x- sera nul; sinon l'opération ira à l'infini.
Lors donc qu'on sera parvenu à une division qui ne laissera aucun reste, on sera d'abord assuré que la série proposée est récurrente d'un ordre égal au quantième de cette division; et, de plus, les quotients trouvés donneront la fraction même d'où la série tire son origine.
Car on a les équations suivantes
- = p -+- qx H 5
s" SIVX7
: pi"-') + qC'-'lx;
d'où
p -h qx -\ x2
Donc
Ainsi il n'y aura plus qu'à réduire cette fraction continue en une fraction ordinaire, qui sera par conséquent la fraction cherchée; et il est clair que cette fraction aura pour numérateur un polynôme du degré 71 — 1, et pour dénominateur un polynôme du degré n, dont les coefficients donneront l'échelle de relation de la série.
Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de la série, on en déduira aisément l'expression du terme général de la série par les méthodes connues.
Corollaire.
11. Pour faire avec facilité la réduction dont il s'agit, il n'y aura qu'à considérer la suite des quotients
p-\-qx, p'+q'x,..., /?("-') + q^-^x, VI. 67
et les disposer à rebours, de cette manière
/>!"-') -\-q("-i)x, p("--) -+- q("~2>x, p("-3î -h qC-V x , . . . , p-hqx; ensuite on formera par leur moyen les quantités suivantes
£' = p("->) -+- q(n-'Kv, %' = (pi—') + q<."-*)x)% + x% %" = (p("-v -+- qC~3)x)t,"-i~ x*%, £"— (p<."~*) -+- qC-»x) £"'+ x2^",
£<">= (p -f- qx)%"-» +x>Z("-->, et l'on aura ^— pour la fraction génératrice de la série récurrente.
Exemple I.
