Etant proposée la suite des nombres

dont on ignore la loi, on demande si cette suite est récurrente, et quelle est, dans ce cas, l expression de son terme général.

Ayant formé la série

* = I -I- IX -+- "ix% -+- 3x3 -f- "] X* -+- 5xb -f- lSxs -+- QfX1

on divisera, par la méthode ordinaire, l'unité par cette série, et l'on trouvera le quotient 1 — 2a? et le reste ar+3;r3 — •»"+..., qui est, comme l'on voit, tout divisible par x'1 ; on divisera donc ce reste par x2, et l'on aura la nouvelle série

.s' = 1 -f- 3 a; — x- -4- qx3 — 5 x4 -+- 11 xb — i3xs

-f- 45.r' — o.gx' -f- 93a;9 — 61 x" -f- 18#' -(-...,

par laquelle il faudra maintenant diviser la série s; la division faite, on aura le quotient i — x et le reste 7a-2 — 7a;3 + 21a;4 +..., lequel, étant divisé par x2, donnera la série

*"=7 — 7J + 21X' — 2i x^-h/^gx' — 49-r5 t~ io5.276 — io5.r'-t- 21 7X8 — 217 .r9-)-...;

on continuera donc l'opération en divisant l'avant-dernière série par s",

et l'on trouvera le quotient — h — ; comme ensuite il ne reste rien, ce

sera une marque que l'opération est terminée, et que la suite proposée est effectivement récurrente du troisième ordre.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, on considérera les trois quotients qu'on vient de trouver, et on les rangera ainsi par ordre, en commençant du dernier,

1 Lx

— I -, 1 — x, 1 — ix;

ensuite on en formera les quantités £, £', £",... de cette manière

E" et la fraction génératrice de la série s sera ^5 savon

d'où l'on voit d'abord que l'échelle de relation est

en sorte que, si t, t', t", i" sont quatre termes consécutifs quelconques de la série proposée, on aura

t'"= — t" -t- if ■+■ it.

Pour trouver maintenant l'expression du terme général, on cherchera d'ahord les facteurs du quadrinôme

i -4- x — 2X2 — aa;3, lesquels sont