I -t- X, 1-hXsJï, I — X \Jl

et l'on décomposera ensuite la fraction

en ces trois-ci

(i -+- X) (l + X^l) (i X\jl)

l-\-X\Jl l—X\J7,

d'où l'on tirera sur-le-champ le terme général

Remarque I.

13. Dans l'analyse du Problème précédent, nous avons observé que les restes des différentes divisions devaient être nécessairement divisibles par x2, ce qui suit de la nature même de la division, et nous avons prescrit de diviser chacun de ces restes par x1 pour avoir les polynômes s', s" ,..., qui doivent servir de diviseurs à leur tour. Or il peut arriver que quelqu'un de ces restes soit divisible par une puissance de x plus haute que le carré, auquel cas, après la division par x2, on aura un polynôme

dont le premier terme contiendra encore a?; en sorte que dans la division suivante il viendra des puissances négatives de x au quotient, ce qui pourrait causer quelque embarras; mais il sera aisé de l'éviter en divisant le reste dont il s'agit par la plus haute puissance de x dont il est divisible, et mettant ensuite cette puissance à la place de x2 dans les formules du n° 2.

En général, soient

r' x'k -+- (' xx-<-' -h . . . , r"xt+ t"x'f-+l H-. . . , r'"x'' -+- l'"x''+' -h. . . ,

les restes provenant de la première, de la deuxième, de la troisième,..., de la (n — i)ième division; on divisera d'abord, pour plus de facilité, chacun de ces restes par les premiers termes

r' xx, r"x''k, r'"x",..., r'"-'1^',

pour avoir des polynômes dont les premiers termes soient l'unité, et, ces polynômes étant nommés

on continuera l'opération comme on l'a enseigné dans le n° 10.

De cette manière, on trouvera la série s exprimée par la fraction continue

p -t- qx -+-

' pC-O-t-gC-O*;' et, pour la réduire à une fraction ordinaire, on cherchera les valeurs

des quantités |, £,', %",..., Qn) de la manière suivante

ensuite de quoi on aura ^- pour la fraction génératrice de la série, où il est bon de remarquer que le polynôme £(n) sera du degré

en sorte que l'ordre de la série récurrente sera aussi marqué par ce même nombre.

Exemple II.