Soit proposée la série des nombres

i, i, i, 2, 4, 6, 7, 7, 7, 8, io, 12, i3, i3, i3, i4, 16,...,

dont la loi est assez claire ; on demande si cette série est du genre des récurrentes, et quelle doit être, en ce cas, l'expression de son terme général.

On formera pour cela la série

s = i -+- x -+- x3 -t- i x3 ■+■ 4*"' -+- &xh -+- 7 xe -+- 7 x1 -+- 7 x* -4- 8 x» -t- . . . ,

et l'on divisera d'abord i par s, ce qui donnera le quotient i — x et le reste

— x3 — ixk — ixi — x6 ** — x* — ix" — ix" — x'- * * — x" — ... ; qu'on divise ce reste par le premier terme —x3, et l'on aura le polynôme

s'±= I -+- IX -+- IX- + X*** -t- Xe -h 7.X-1 -+- 1Xs-h X* * * +X" + . . . ,

par lequel on divisera maintenant le polynôme s, ce qui donnera le quotient i — x et le reste

x'-h 3 x%-\- 5x*-\- 6x*-h 6x"-h 6 x7-h 7 x*-h gx*-i- 1 1 xw-+- 1 2 #"-t- 1 2 xa-h 1 2 x'3-\- . . . ;

on divisera donc ce reste par le premier terme a?2 pour avoir le polynôme

s"= 1 -\-5x-heix2-ï-6x3-î-6xi -h6xi+']x6-irC)x'' -\-iixe-ï-i,zx3-hiix,°+ . . . ,

et ensuite on divisera le polynôme s' par le dernier polynôme s", ce qui donnera le quotient 1 — x et un reste nul; d'où l'on conclura d'abord que la série proposée est effectivement récurrente.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, il n'y aura qu'à considérer les quotients 1 — x, 1 — x, 1 — x, et les premiers termes des restes — xa , x2; et, prenant tant les uns que les autres à rebours, on en formera les quantités suivantes

£"= (l — X) £' — X*\ = I — 2X H- IX*,

%"= (1 — x) l"— x3%= 1 — àx ■+■ 4-»' — 3a;3 -+- x\

?" dont les deux dernières donneront la fraction cherchée ^> savoir