I — 7.X + IX

1 — '6x -\- 4^2 — 3x3 + xi

D'où l'on voit que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, ayant pour échelle de relation les coefficients 3, — 4» 3, — 1 . Or, comme

le dénominateur

se résout dans les facteurs

et que ce dernier se résout encore dans ces deux facteurs imaginaires

ou bien

i — (cos6o° -+- s/— i sin6o°)a;, i — (cos6o° — ^—1 sin6o°)ar,

ou, ce qui revient au même,

, e60Ov/=ïar, i e-6o-V=î;Cj

on pourra décomposer la fraction génératrice en ces quatre-ci

i — x (i — xY i — e^'-^x i — e-^'-^x*

et l'on trouvera

e60°V— 1 g-60'V-l gGO'V— 1 g— 60" Y— 1

Y— i | e— 30°. v^ 2 cos 3o° et de même

„— 30"Y=Î 2 COsio0

de là on trouvera le terme général

[K + (m + i)K, + Le'"60*^ + Mr'»'» -V^J a:"1,

c'est-à-dire, en substituant les valeurs des coefficients K, K(, L, M et réduisant,

r cos(3o° -+- m.6o°)

cos3o°

Remarque II.

15. Au reste il serait peut-être encore plus simple et plus commode d'employer dans le calcul les restes tels qu'ils se trouvent, sans les diviser par leurs premiers termes, comme nous l'avons dit ci-dessus; il est vrai que, de cette manière, les quotients renfermeront nécessairement des puissances négatives de x; mais il n'y aura alors qu'à faire

disparaître les puissances négatives de la fraction génératrice . {n) ■> en

multipliant le haut et le bas par la plus haute puissance négative qui s'y trouvera.

Ainsi l'on peut réduire la solution du Problème précédent à cette règle fort simple :

Divisez l'unité parla série proposée s, et continuez la division jusqu'à ce qu'il y ait dans le quotient deux termes qui renferment deux puissances consécutives de x, comme px* -+- qxk+' ; divisez ensuite la série s par le reste de cette division, et avec les mêmes conditions ; divisez, après cela, le second reste par le premier, et continuez ainsi en divisant le nouveau reste par le précédent, de manière qu'ily ail toujours dans chaque quotient deux termes de la forme précédente ; si la série s est récurrente, on parviendra nécessairement à une division exacte; et alors, nommant

pxk-hqxl+\ p' x'1- -+- q' xv+' , p" x' + q"x'+',. . ., pV'—^x" + q("-'îx',+'

les quotients trouvés dans les n divisions, on aura

pxk + qxK+i ■+-

p"x" -+- q"xv+i -+-

p<."-<) x" -+- g("-0 x' VI. 68

Donc, faisant

£" = (p(n->) x? -+- ç(«-J) xt+l )£'-)-£, £'"= (p(«-Vx* -+■ q(«-Vx*+>)t"-h l',

£(»)= (px* -4- gi.^+' )£(»-') -(- £<«-•> ,

Exemple III.

16. Pour confirmer la règle précédente par un Exemple, soit proposée la série

i, 4j io> <9> 3i, 46, 64, 85, 109, » 36, 166, 199,...,

on en formera la série

t = 1 -t- 4-»- -(- ioj:2 -+- igj.J -h 3i j' -+- 46 .r5 -+- 64 -r° -+■ 85 .r' -H 1 09 x8 -t- i36.r3-+- i66.r'°+ . . . ,

et l'on fera l'opération suivante, qui est analogue à celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités. Divisant d'abord 1 par s, on trouvera le quotient i — !\x, et le reste

s = 6x2 + 21^ + 4-5x* ■+■ ^8^5 -t- 1 20 x6 -+- 1 7 1 x"1 -+- 23 1 xe -+- 3oo.r' ■+-...•. Divisant ensuite s par s', on a le quotient ^-, -t > et le reste

r n OX2 I1X

3x2 qx3 q.r* i5.r6 45 x6 63 x1

continuant ainsi à diviser s par s", on aura le quotient 8 + l\x, et comme il ne reste rien de cette division, l'opération sera terminée ; en sorte qu'on sera assuré que la série proposée est véritablement récurrente.

Or, puisque les quotients trouvés sont

i — £x, y. — -h -, 8-\-ix,