DX2 12X

on fera

?'+? = J- + JL + Î,

6x' ' izx ) 3x- 3x 3

et l'on aura ^p c'est-à-dire, en multipliant le haut et le bas par -1r-

pour la fraction génératrice de la série proposée. On voit par là que, comme le dénominateur de cette fraction est le cube de i — x, la série ne peut être autre chose qu'une série algébrique du second ordre; c'est aussi ce que l'on aurait pu reconnaître d'abord, puisque les différences secondes sont constantes.

Remarque III.

17. Quoique, généralement parlant, dans la fraction génératrice-^-*

le dénominateur doive être un polynôme d'un degré plus grand que celui du numérateur, cependant il peut arriver que quelques-unes des. plus hautes puissances de x s'évanouissent dans le dénominateur, en sorte qu'il se trouve abaissé par Là à un degré égal ou moindre que celui du numérateur; dans ce cas, la série récurrente qui en résultera sera aussi d'un ordre moindre qu'elle n'aurait dû être; mais elle contiendra au commencement un certain nombre de termes irréguliers, après lesquels seulement elle commencera à être véritablement récurrente. Ainsi

notre règle sert également, soit que la série soit récurrente dès son commencement, ou qu'elle contienne d'abord quelques termes irréguliers. Éclaircissons ceci par un Exemple.

Exemple IV.

1 8 . Soil proposée la série

i, i, 3, 7, 18, 47» I23, 3a2, 843, 2207, 5778,...; on en formera d'abord celle-ci

s = 1 -+- x -4- 3a;2 4- 7a:1 -1- i§xf -+- ^ x& -+- i23x6-t- 322.r' + 843^* •+-...,

et l'on procédera comme dans l'Exemple précédent. Divisant donc 1 par s, on a le quotient 1 — x, et le reste

s' = — ix'2 — /^x3 — nz' — 29 xb — 76a:6 — 199^' — 521 a;9 — ... ;

divisant ensuite s par s', on a le quotient ; H > et le reste

divisant encore s' par s", on trouve le quotient 4 — 8a;, et le reste s'" = — 5x* — 1 5 a;5 — 4° x<* — 1 o5a?' — ... ;

enfin, divisant s" par s'", on a le quotient H > et il ne reste rien ;

d'où il s'ensuit que la série proposée est nécessairement récurrente. Ayant donc trouvé les quatre quotients

■2.xJ ix ioar' io.r

on en formera les quantités suivantes

IOT1 \ox

w// I * 1 fc// W

or 5.r3 5x!

dont les deux dernières donnent la fraction génératrice

or, comme x est élevé à une puissance plus haute dans le numérateur que dans le dénominateur, il s'ensuit qu'en divisant celui-là par celui-ci, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste où l'exposant de x soit moindre que a, qui est le plus grand exposant du dénominateur, la fraction se réduira à

3 — nx

d'où l'on voit que la série s n'est autre chose qu'une suite récurrente

provenant de la fraction

3 — ix i — 5x -t- x7

à laquelle on a ajouté au commencement les deux termes arbitraires

de sorte qu'en retranchant ces deux termes de la série s on aura celle-ci

3 + ix -+- 3 x1 + 7 x" •+■ 1 8 x 4 -+- . . . ,

qui sera récurrente dès le commencement; ou bien on pourra diviser le numérateur

par le dénominateur

en commençant par le terme i, et, continuant la division jusqu'à ce que l'on arrive à un reste qui renferme un nombre de termes moindre d'une unité que le diviseur, on aura ainsi le quotient i -\- x et le reste 3x- — ix3; en sorte que la fraction deviendra

3 — ix

d'où il est facile de conclure qu'en retranchant de la série s les deux premiers termes i -+- x, et divisant les autres par x-, on aura une série récurrente régulière, dont la fraction génératrice sera

Remarque IV.

19. La solution du Problème précédent n'est, comme l'on voit, qu'une simple application de la Théorie des fractions continues; mais, quoique cette Théorie ait déjà été traitée par plusieurs grands Géomètres, il parait que l'application dont il s'agit peut néanmoins être regardée comme neuve à plusieurs égards, et surtout relativement au point de vue sous lequel nous venons de l'envisager. En effet on n'avait point encore de méthode générale pour reconnaître si une série proposée, dont on ne connaît que la valeur de quelques termes consécutifs, est du genre des récurrentes, et pour trouver en même temps la loi de ses termes. Le seul cas où l'on pût trouver à posteriori la loi d'une série était lorsque, en prenant les différences successives de ses termes, on parvenait à des différences constantes; or il est clair que ce cas n'est

qu'un cas particulier de notre Théorie générale, car on sait que toute série qui a des différences constantes d'un ordre quelconque n'est autre chose qu'une série simplement algébrique du même ordre; par conséquent ce n'est qu'une espèce de séries récurrentes dont l'échelle, au" lieu d'être un polynôme quelconque, est une puissance du binôme particulier i — x (n°7). J'avoue que la méthode des différences est plus simple et plus commode que celle des fractions continues que nous venons d'exposer; aussi est-elle préférable pour trouver la loi des séries qui ont des différences constantes d'un ordre quelconque; mais, si en prenant les différences successives des termes d'une série on ne parvient jamais à des différences constantes, il faut alors avoir recours à notre méthode, pour voir si la série est au moins du genre des récurrentes.

Au reste il est bon de remarquer que, si l'on prend les différences successives des termes d'une série récurrente quelconque, ces différences formeront elles-mêmes une autre série récurrente du même ordre ; car soit la série récurrente

T + Tx-h T" x2 -+- T"x= + T"x< -f- T1 ar5 -t- . . . , laquelle résulte de la fraction

[o] + [i],r + [2]-»' + . ..+ [/» — i]-r""' (o) -f- (i)x -+- (2)#2-f-. . .-t-(re)a?"

qu'on mette, tant dans la série que dans la fraction, ^ à !a place

de x, et qu'on divise ensuite l'une et l'autre par i + x, il est clair que la série deviendra celle-ci

T Vx T'x' T"x3

i -h x [i-\-xY- n'-i-^)3 ii -t- xy

laquelle, en développant les puissances de i + x, suivant les règles connues, et ordonnant les termes suivant x, se réduit à cette forme

T -+- (f - T) x + (T"- iT + T) .*» ■+■ . . . ,

c'est-à-dire, à

T + AT.^+A2T.^2-(- A3T..a?3 + .. .,

en marquant par AT, A2T, A3T,... les différences successives des premiers termes de la série T, T', T",..., c'est-à-dire, les différences première, deuxième, troisième,... de ses termes, en sorte que l'on ait

AJT = T"— aT'-i-T,

A3T jm 3Tv/ ( 3 î" — T,

A>*T = 1W — fjiT^-') 4- t-^ Td4-2) — ... ± T.

Cette nouvelle série sera donc égale à la fraction

[o](i 4- •*)"-' 4-[i]ar(i -+■ «)"-*+ [2] *2(i -+- x)'-3 4- . . .-)- [71 — i]x"-'

(o) (1 -4- x)" -h {i)x{i -4- a?)"-' -4- (i)x2{i -t-^y—^-f-. . .-h(n)xn

dont le numérateur et le dénominateur, étant développés et ordonnés suivant les puissances de x, seront aussi des polynômes, l'un du degré n — 1, l'autre du degré n, comme ceux de la fraction génératrice de la série primitive; d'où il est aisé de conclure que la série des différences

T4-AT.^4-A!T.^ + AîT.a;1 + .

sera également une série récurrente du même ordre n que la proposée

On pourra donc aussi appliquer notre méthode à la série des différences dont nous venons de parler, et dès qu'on en aura trouvé la fraction génératrice, si elle en a une, il n'y aura qu'à y substituer à la

place de x, et la diviser en même temps par 1 — x\ on aura sur-le-champ la fraction génératrice même de la série proposée.

Si la série proposée est purement algébrique de l'ordre n — 1 , alors on sait que les différences de l'ordre n — 1 doivent être constantes, et par conséquent celles des ordres suivants nulles; en sorte qu'on doit

avoir dans ce cas

or c'est aussi ce qui résulte de l'analyse précédente; car dans ce cas la fraction génératrice de la série aura pour dénominateur (i — x)", et il est facile de voir qu'en y faisant les substitutions et les réductions indiquées pour avoir la fraction génératrice de la série des différences, cette dernière fraction ne contiendra plus x à son dénominateur, de sorte qu'elle deviendra un simple polynôme du degré n — i; d'où il s'ensuit que les termes affectés de x", x"+t,... dans la série des différences devront être nuls; ce qui donnera donc

En général, si la série proposée

qu'on suppose toujours de l'ordre n, contient une partie purement algébrique de l'ordre m — i, le dénominateur de sa fraction génératrice aura nécessairement pour facteur la puissance (i — x)'", laquelle s'évanouira par la substitution de à la place de x; en sorte que la série

des différences se trouvera rabaissée d'elle-même à l'ordre n — m; mais elle aura au commencement m termes irréguliers, après lesquels elle deviendra régulière de l'ordre n — m, comme on l'a expliqué ci-dessus

Ainsi, en rejetant les termes irréguliers

ï, AT . x, A2T . x\ . . . , A"-' T . x"'- ', et divisant les autres par x'", on aura la série régulière

laquelle sera donc récurrente de l'ordre n — m et ne contiendra plus de partie algébrique.